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极限与连续习题课(极限与连续部分)一、重点内容1.

常用等价无穷小2.间断点分为两类:第二类间断点:第一类间断点:若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为称为无穷间断点.及均存在,及中至少一个不存在.例1求解则设二、典型例题例2已知求常数a,b.解因例3设解分子、分母同乘以因子

则求解例4设解原极限例5已知求常数a,b.故例6当是

x的几阶无穷小?解设其为

x

的

k

阶无穷小,所以,当则例7讨论的连续性.解显然,解即求常数a,b.例8设为连续函数,即得证讨论:令例9设由零点定理知,综上所述:必存在一点若则及可去间断点试确定常数a及b.例10设函数有无穷间断点所以存在故解因为可去间断点,因为无穷间断点,

x

=–1为第一类可去间断点;x=1为第二类无穷间断点;x

=0为第一类跳跃间断点.例11求的间断点,并判别其类型.解是间断点,例12设函数内有定义,对任意实数证可得x,y

满足关系式处处连续.由点连续.试证:可得所以,一、证明奇次多项式至少存在一个实根.二、设函数在区间(a,b)内连续,且证明函数

在区间(a,b)内有零点.练习题三、求下列极限:

四、已知极限存在,求常数

a.解因因由于极限存在,所以左、右极限相等,故所以所以五、求出曲线的水平与铅直渐近线.解

的一条水平渐近线.又因所以,的铅直渐近线.

的一条水平渐近线.解令于是则六、求解(1)七、求证(舍负)的极限存在,并求其极限值.八、证明数列于是即所以解九、求的间断点,并判断其类型.

易判断,x

=0为第一类跳跃间断点.解十、求的间断点,并判断其类型.

为函数间断点.故,

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