高等数学教程（第4版）课件：定积分及其应用

定积分及其应用

6.1

定积分的概念与性质

6.1.1定积分的概念所围成的平面图形.引例一求曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线x轴与两条直线

定积分及其应用

6.1

定积分的概念与性质

6.1.1定积分的概念应用极限的思想,分四步求面积A.(1)

划分(2)

取近似长度为为高的小矩形,面积近似代替任意用分点(3)

求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4)

取极限为了得到A的精确值,分割无限加细,取极限,形的面积:极限值就是曲边梯即小区间的最大长度设某物体作变速直线运动,已知速度是时间间隔的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.引例二

求变速直线运动的位移

(1)划分表示在时间区间内走过的路程.(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)取近似设函数

f(x)在[a,b]上有界,定义6.1

把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为一点作乘积如果不论对[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干个分点(2)在各小区间上任取(3)并作和(4)记被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.积分下限积分上限积分变量[a,b]称为积分区间也不论在小区间上点说明:3.对定积分的补充规定:而与积分变量的字母无关.2.定积分是数值,仅与被积函数及积分区间有关,1.如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,f(x)在[a,b]上可积,否则,称f(x)在[a,b]上不可积.则称(2)当

时,定理6.1(定积分的存在定理)(1)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上(2)如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且最多只有(3)如果函数f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]可积.有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.上可积.例6.1

利用定义计算定积分解将[0,1]n等分,分点为小区间

的长度取解原式例6.2将和式极限表示成定积分.注:原式也可表示成例6.3设函数

f(x)在区间

[0,1]上连续,且取正值.试证证由指数与对数的连续性,有6.1.2定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值取负号.一般地,定积分表示介于x轴、函数

f(x)的图形在

x轴上方的面积取正号;在

x轴下方的面积及两条直线

x=a,x=b之间的各部分面积的代数和.物理意义t=b所经过的路程

S.作直线运动的物体从时刻

t=a到时刻定积分表示以变速由定积分的几何意义立即得到下面的几个结论:2.如果f(x)是

上连续的奇函数,则4.如果f(x)是以T为周期的连续函数,则3.如果f(x)是

上连续的偶函数,则例6.4

计算解在几何上,是上底长a,下底长b,高为的直角梯形的面积,所以例6.5

计算解在几何上,是底边为4,高为2的三角形的面积,所以例6.6

计算解因被积函数是连续的奇函数所以在下面的性质中,所涉及的函数都是可积的.性质6.1(线性性质)

性质6.2

(区间可加性)6.1.3定积分的性质设则注:无论

a,b,c

的相对位置如何,上式总成立.例如,

若则性质6.3(保号性)如果在区间

[a,b]上则推论6.1(保序性)

如果在区间[a,b]上则解因于是例6.7

比较积分值

和

的大小.推论6.2证因由保序性,有

即性质6.4(定积分的估值定理)证因设M及m分别是函数

在区间[a,b]上则

所以即的最大值与最小值,解设例6.8

估计定积分

的值的范围.故证由定积分的估值定理,有性质6.5

(定积分中值定理)使得则至少存在一点由闭区间上连续函数的介值定理知,上至少存在一个点如果函数

在闭区间

上连续,使得在区间在区间[a,b]上至少存在一点

使得以区间[a,b]为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积.称为函数

f(x)在[a,b]上的平均值.积分中值公式的几何解释：

例6.9计算证由积分中值定理，存在使得所以设某物体作变速直线运动,位移函数为s(t),运动速度为物体在时间段内的位移

6.2

微积分基本定理则有而所以定积分记为称为积分上限函数.是

x的函数,设函数

在区间[a,b]上连续,上的一点,并设

x为[a,b]注意:证定理6.2(微积分第一基本定理)

在[a,b]上可导,且其导数为即是

f(x)的一个原函数.如果f(x)在[a,b]上连续,则积分上限函数有由积分中值定理即解例6.10

设在

内连续，求令则练习

解这是型未定式,应用洛必达法则及等价无穷小代换来计算.例6.11计算极限

解例6.12证明所以令得原命题得证.证令练习设

在[0,1]上连续,且

证明方程在[0,1]上只有一个实根.由零点定理和单调性，原方程在[0,1]只有一个实根.在[0,1]上为单调增加函数.定理6.3(微积分第二基本定理,牛顿—莱布尼茨公式)证的一个原函数,如果是连续函数在区间[a,b]上因已知

是

的一个原函数，而

也是

的一个原函数,令则令牛顿—莱布尼茨公式解解例6.13

计算定积分

例6.14

计算定积分

解例6.15

设

,求解例6.16

计算原式例6.17

计算解解因定积分是数值,于是例6.18设

则等式两边在[0,1]上积分,得练习计算练习

计算解练习

设连续，求解原式=而故练习求极限

解由定积分的定义,有练习设

,求

在[0,2]上的表达式.

解故练习已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限解故所求切线方程为定理6.4(定积分的换元公式)6.3定积分的计算则设f(x)在[a,b]上连续,6.3.1定积分的换元法单调且有连续导数,应用定积分的换元公式时,“换元必须换限”.解上半椭圆方程为

由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积.例6.19求椭圆

的面积S.令奇函数例6.20

计算解原式偶函数单位圆的面积例6.21

计算解令原式做了一个翻转,即镜面反射.

区间上的变量代换称为反射变换.

几何上,它把区间[a,b]上函数的图像绕直线证做反射变换

例6.22

求故证(1)由反射变换例6.23

若

在[0,1]上连续,(2)计算(1)证明故

(2)由(1)的结论例6.24设

为连续函数,证令则求故定理6.56.3.2定积分的分部积分法则有

设函数

在区间[a,b]上具有连续

由不定积分的分部积分公式及牛顿－莱布尼导数,或茨公式立即可得到：

例6.25

计算解令练习

计算解令解练习计算由曲线和x轴所围成的区域的面积S.由定积分的几何意义,所求面积例6.26

计算解例6.27

计算解积分

关于下标的递推公式于是为正偶数为大于1的正奇数结论例6.28设解因求练习

计算解设函数在区间连续,称6.4广义积分6.4.1无穷限的广义积分如果存在,则称广义积分

否则,称广义积分发散.为在区间上的广义积分.

定义6.2

(无穷限的广义积分)收敛;称为在区间上的广义积分.

如果存在,则称广义积分

类似地,设函数在区间连续,

否则,称广义积分发散.收敛;设函数

在区间

连续,在区间

上的广义积分.为函数否则,称广义积分发散.称如果都存在,则称广义积分收敛;设是的一个原函数,则例6.29

计算例6.29

计算解解当

时广义积分发散.因此,当

时广义积分收敛,其值为例6.30

讨论广义积分

的收敛性.解例6.31

讨论广义积分的敛散性,收敛,发散.

因此,并计算故令则6.4.2无界函数的广义积分(瑕积分)定义6.3

设函数

在区间(a,b]上连续,称为

在区间(a,b]的广义积分,否则,称广义积分发散.如果

存在,则称广义积分收敛;如果函数在点a的任意邻域无界,则称点a是的一个瑕点.点a是的一个瑕点.称否则,称广义积分发散.如果

存在,则称广义积分收敛;类似地,设函数

在区间[a,b)上连续,点b是的一个瑕点.为

在区间[a,b)的广义积分,称否则,称广义积分发散.设函数

在

连续,为

在区间[a,b]的广义积分.如果

都存在,则称广义积分收敛;点c是的一个瑕点.类似地,设是的一个原函数,则当a为瑕点时,当b为瑕点时,解例6.32

讨论广义积分

的敛散性.因此,当

时广义积分收敛,其值为当

时广义积分发散.是瑕点.例6.33

计算广义积分解是瑕点.例6.34

计算广义积分解是瑕点.令则此瑕积分收敛,以瑕点划分积分区间有练习

计算广义积分解是瑕点,该积分称为混合型广义积分．令定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种简便方法--微元法(元素法)下面介绍它在几何,物理和经济等问题上的简单应用.什么量可以用定积分表示出来?6.5定积分在几何上的应用(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;则可以考虑用定积分来表达这个量U.(2)U对于区间[a,b]具有可加性.就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,(3)部分量

的近似值可表示为当所求量U符合下列条件：则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步骤：(1)根据问题的实际意义,确定恰当的坐标系,要部分,(4)求和取极限,得到并画出草图以帮助分析;(2)

确定所求总体量的非均匀分布函数及的变化区间(如);(3)在微小局部

上取得的线性主称为量的微元.

求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.它对应的面积元素dA为即1.直角坐标系下平面图形的面积6.5.1平面图形的面积和平面曲线的弧长

在[a,b]上任取一区间求由曲线和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应小区间解两曲线的交点选

x为积分变量例6.38

计算由两条抛物线

和所围成的图形的面积.面积元素解两曲线的交点选

y为积分变量例6.39计算由曲线

和直线所围成的图形的面积.所求面积面积元素曲边扇形的面积由极坐标方程给出的平面曲线和射线所围成的面积A.曲边扇形2.极坐标系下求平面图形的面积解该图形关于x轴对称性,所围成的图形的公共部分面积.例6.40

求心形线与圆

两曲线在x轴上方的交点为解利用对称性知练习求心形线图形的面积.所围平面设曲线弧L的参数方程为弧长为其中

在上具有连续导数,3.平面曲线的弧长且则称L为光滑曲线.

弧微分设曲线弧的极坐标方程为弧长为其中

在

上具有连续导数.由直角坐标与极坐标的关系可化成参数方程弧微分弧长为曲线的直角坐标方程

也可以看作参数方程

其中在[a,b]上有一阶连续导数.

弧微分解由对称性,星形线的全长是第一象限部分的4倍例6.41求星形线

的全长.1.已知平行截面面积的立体的体积立体体积A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，A(x)为x的已知连续函数.如果一个立体介于过而垂直于x轴的两平面之间，体积元素6.5.2体积问题解取坐标系如图,底圆方程为截面面积立体体积垂直于x轴的截面为直角三角形.例6.42

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角

计算这平面截圆柱体所得立体的体积.底高旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积和侧面积直线旋转一周而成的立体.这直线称为旋转轴．旋转体的体积为如果旋转体是由连续曲线直线及

x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,求体积.取积分变量为x,为底的小曲边梯形绕

x轴旋转而成的薄片的体积元素旋转体的体积为思考:

由连续曲线直线及

x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,求其体积.取积分变量为x,小曲边梯形绕

y轴旋转而成的体积元素解例6.43求由椭圆围成的图形绕

x轴旋这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆转一周所得旋转体的体积.与x围成的图形绕

x轴旋转而成.所求体积为如果旋转体是由连续曲线及

y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,求体积.直线体积元素旋转体的体积解两曲线的交点为绕x轴旋转所得体积x轴旋转所得旋转体的体积.例6.44求抛物线所围成图形绕6.6定积分在物理中的应用

6.6.1变力沿直线所做的功由物理学知道,如果物体在作直线运动的且这力的方向与物体的运动方向一致.那么,在如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,过程中有一个不变的力F作用在这物体上,物体移动了距离

s时,力F对物体所做的功为就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想.例1已知距离为r的两个电荷间的作用力的大小为放在

r

轴上坐标原点O处,它产生一个电场．把一个带+q电量的点电荷场力将单位正电荷从

r=a移动到r=b处时,电场力对它所做的功．求电解功元素所求功为取

r

为积分变量，任取解建立坐标系如图例2一圆柱形蓄水池高为5米,底半径3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需做多少功?取

x为积分变量,这一薄层水的重力为功的元素为所求功为6.6.2液体的静压力由物理学知道,在水深为h处的压强为

如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强

p不相等,平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想．这里

是水的比重.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处,那么,平板一侧所受的水压力为解建立坐标系.oxyC(0,5)D(20,3)直线CD的方程为压力元素例3某水库的闸门是等腰梯形,上底长为10m,好位于水平面上,求闸门所受的水压力.下底长为6m,高为20m,闸门与水面垂直,上底恰闸门所受的压力为

解取液面上的某点为坐标原点,

建立坐标系.取

x为积分变量,例4边长为a和b的矩形薄板对应薄板上的小矩形的长为a,的密度为求薄板的一侧所受的压力.置于液体中,长边平行于液面位于深h处,设液体与液面成角yOx宽为

小矩形的面积为小矩形一侧所受压力的元素为薄板所受压力为相距为r的引力的方向沿着两质点间的连线方向.两质点间的引力大小为

但是若要计算一根细棒对一个质点的引力,由于细棒上各点与该质点间的距离是变化的,

简单的情况下,可以用定积分来计算.

且各点对该质点的引力方向也是变化的,6.6.3引力由物理学可知,质量分别为

用上述公式来计算.因此不能解建立坐标系如图将典型小段近似看成质点,小段的质量为例5有一长度为l,线密度为r的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M,计算该棒对质点M的引力.取

y为积分变量,取任小段与质点的距离为引力的元素水平方向的分力元素由对称性知,引力在铅直方向分力为例1求解定积分计算习题课例2求解设于是例3求解解因上式两端对x求导,有例4设函数

例5设解上式两端对x求导,有解例6

设令求例7计算定积分解令例8证明证则应用例9设证则应用证明例10设证设利用零点定理,即得所证命题.证明:例11设证由积分中值定理,使得例12求

解解上式两端分别在[0,1]与[0,2]上积分,有例13设

解得解例14设

由可导必连续知,例15

计算解原式例16

计算解例17

计算解例18

设

解(1)

求练习计算

解例1过坐标原点作曲线

y=lnx的切线,该切线与曲线

y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求

D的面积

A;(2)求D的绕直线

x=e旋转一周所得旋转体的体积V.解(1)设切点的横坐标为则曲线处的切线方程是由该切线过原点知从而所以该切线的方