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奔福德定律（Benford’sLaw）及其在欺诈审计中的应用Benford'sLawAndItsApplicationinFraudAuditing中国政法大学民商经济法学院张苏彤

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2024/12/301中国会计学会教育分会2005年年会老会计师的感觉：207.48125.9281.5654.735.063.355.47104.6635.9968.6748.110.667.143.5251.2116.2830.771.140.510.342.5480.6338.6440.294.460.940.634.03338.91149.32189.59104.5723.1715.532.42105.7560.3244.4421.281.761.462.2245.6819.7425.941.80.850.583.2474.4429.6543.321.040.860.853.9484.742.3282.425.993.753.274.28127.2375.4251.8141.592.912.624.14867.56444.46379.7293.1712.37.893.1566.6321.8142.813.921.781.382.582984.22884.9999.2130.015.193.122.364677.514542.36135.1550.069.36.062.61

以“1”或“2”开头的的所谓“小数字”数字似乎要比以“8”或“9”开头的“大数字”多。2024/12/302中国会计学会教育分会2005年年会奇妙数学规律：Benford’sLaw

揭示了整数1~9在数字首位出现的概率分布规律。

2024/12/303中国会计学会教育分会2005年年会历史的回顾

美国数学家、天文学家塞蒙.纽卡姆（SimonNewcomb）在1880年首次发现Benford’sLaw。2024/12/304中国会计学会教育分会2005年年会1938年美国通用电器（GE）的物理学家弗瑞克.奔福德（FrankBenford）注意到了同样的数学现象。2024/12/305中国会计学会教育分会2005年年会“第一位数分布规律”：Benford’sLaw整数1在数字中第一位出现的概率大约为30%；整数2在数字中第一位出现的概率大约为17%；整数3在数字中第一位出现的概率约为12%；……；8和9在数字中第一位出现的概率约为5%和4%。2024/12/306中国会计学会教育分会2005年年会奔福德定律的数学表达式

P[digit(n)]=log10(n+1)－log10(n)

=log10(1+1/n)

式中：N为整数1,2,3,4,5,6,7,8,9……；P[digit(n)]

为整数n在数字首位出现的概率。2024/12/307中国会计学会教育分会2005年年会

表1：整数1~9在数字首位上出现的概率

123456789P[digit(n)]

0.3010.1760.1250.0970.0790.0670.0580.0510.0492024/12/308中国会计学会教育分会2005年年会数据的限制性条件：数集不能设置最大值与最小值的限制；比如百分比，全世界政治家的年龄，人的身高，以秒为单位的400米跑的时间，邮件的邮资；数集在一个很宽的范围里连续变动，不存在间断点或间断区间；数字没有被特别赋值，如身份证号，股票代码社会保险号；数值既不完全随机，也不过度地集中，为不规则的数集；数集不能是等差与等比数列，因为它们太规则了；数值的形成受多种因素的影响，是多种因素综合作用的结果。2024/12/309中国会计学会教育分会2005年年会国外学者就不同数据类型所做过的验证性测试的结果：

2024/12/3010中国会计学会教育分会2005年年会

对我国上市公司主要财务数据符合奔福德定律的验证性测试截止2005年6月14日我国1349家上市公司公布的主要财务数据作为样本。数据摘自西南证券网上交易系统2004年4月15日财务数据。2024/12/3011中国会计学会教育分会2005年年会123456789Benford’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58资产总额32.4816.7211.828.548.106.425.915.114.89CorrelationCo-Efficient0.995706502024/12/3012中国会计学会教育分会2005年年会123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58负债总额30.3618.2212.149.388.535.765.235.844.53CorrelationCo-Efficient0.9977410882024/12/3013中国会计学会教育分会2005年年会123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58股东权益总额25.7314.2213.9212.119.108.885.796.024.21CorrelationCo-Efficient0..9736537522024/12/3014中国会计学会教育分会2005年年会123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58主营业务收入31.6519.5213.147.787.395.835.295.294.12CorrelationCo-Efficient0.9955297312024/12/3015中国会计学会教育分会2005年年会123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58净利润25.7318.3914.6010.658.236.216.215.164.84CorrelationCo-Efficient0.9827210172024/12/3016中国会计学会教育分会2005年年会123456789Benfird’sLaw30.1017.6112.499.697.926.695.805.124.58模拟造假数据14.7510.310.4513.349.7215.1112.408.415.83CorrelationCo-Efficient0.4400674872024/12/3017中国会计学会教育分会2005年年会初步的结论：

我国上市公公布的主要财务数据基本上都呈现出了奔福德定律所描述的数据首位数出现概率递减的规律。“模拟造假数据”则呈现各个首位数试图均衡出现的趋势，与奔福德定律所描述的数据首位数出现规律形成了显著差异。2024/12/3018中国会计学会教育分会2005年年会相关系数（CorrelationCo-Efficient）：

反映各个财务数据首位数出现概率与奔福德定律的相关程度

CorrelationCo-Efficient负债总额0.997741088主营业务收入0.995529731资产总额0.99540650净利润0.98272101股东权益总额0.973653752模拟造假数据0.4400674872024/12/3019中国会计学会教育分会2005年年会

我们可以将上述财务数据中的“主营业务收入”的数值分布按照不同的行业进行测试，以进一步考察我国上市公司财务数据披露的质量水平。

表5：按照不同的行业对“主营业务收入”的数值分布的测试结果2024/12/3020中国会计学会教育分会2005年年会2024/12/3021中国会计学会教育分会2005年年会

在分行业测试的情况下，各行业的“主营业务收入”的首位数分布的数值表现与Benford’Slaw的理论值存在一定的差距，相关系数的平均值为0.91。其中电力热力行业的“主营业务收入”的数值表现最差，其相关系数仅为0.82942。其次是电子行业，其相关系数为0.86024。数值表现相对最好的行业是地产建筑业，其相关系数为0.97531。显然，对于电力热力行业、电子业和金属加工业的上市公司的财务信息披露质量需要给予关注。CorrelationCo-Efficient0.82942CorrelationCo-Efficient0.860242024/12/3022中国会计学会教育分会2005年年会

笔者将上述财务数据中的“主营业务收入”的数值分布按照证券市场中的不同板块进行测试，以进一步分析不同板块的上市公司财务数据披露的质量水平。

2024/12/3023中国会计学会教育分会2005年年会相关系数0.67128相关系数0.86895对于ST板块和中小企业板块的上市公司的财务信息披露质量需要特别予以关注。2024/12/3024中国会计学会教育分会2005年年会奔福德定律在欺诈审计中的应用

奔福德定律揭示了财务数据首位数概率分布的统计规律。利用这样的规律，我们可以通过检查各类财务数据的首位数出现的频率是否符合奔福德定律来判定这些数字是真实的还是伪造的。因为欺诈者一般是不了解奔福德定律的，他们在编造虚假的会计数字时，不会也不可能顾及到金额数字首位的分布情况的。运用奔福德定律我们可以用来统计财务数据的第一位数出现的概率分布是否与符合奔福德定律来发现可能存在的欺诈舞弊活动。2024/12/3025中国会计学会教育分会2005年年会奔福德定律应用案例

欺诈审计人员就对某X公司近5年公司收到的820651张购货发票以及公司的4家主要供应商出具的发票金额首位数字出现的概率做了统计，并将统计的结果与奔福德定律进行对比。统计结果如下图表：表5：全部购货发票以及按照主要供应商出具的发票金额首位数字出现的概率分布

发票金额首位数字123456789相关系数Benford'sLaw0.3010.1760.1250.0970.0790.0670.0580.0510.0461.000全部发票(820651)0.2980.170.1220.1050.0840.0710.0630.0590.0520.999供应商A（35480）0.2950.1680.1380.0990.0730.0710.0620.0490.0430.996供应商B（560）0.3080.1730.1230.1020.0810.0610.0540.0580.0420.998供应商C（11023）0.2110.0250.0540.0780.0280.0480.0630.1980.2840.073供应商D（19605）0.1870.1040.1060.1250.1480.1360.1210.0580.0490.6422024/12/3026中国会计学会教育分会2005年年会2024/12/3027中国会计学会教育分会2005年年会运用奔福德定律进行欺诈舞弊审计的优缺点

优点：第一，它的使用成本低，几乎没有什么花费，只需要耐心，花点时间对有关的样本数据做些数据分析就可以了。目前在美国已经有人开发有专门的分析软件，利用该软件可以非常快捷有效地进行统计分析。第二，这种方法简便易行。在会计电算化的环境下，它只需要利用本公司自己的数据库资料就可以了，而且操作很简单易学，几乎任何人都可以做相关的统计工作，不需要高深的理论与技术。第三，保密性好。运用这种方法有很好的隐蔽性，可以在相关的人员不知情的情况下完成统计调查工作，防止欺诈者由于