九年级（上）期末数学试卷2

2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每题3分，共18分）1．（3分）计算sin45°的值等于（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程x2+px﹣6＝0的一个根为2，则p的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．（3分）把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1 C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣14．（3分）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD C．AB2＝CD•BC D．AB2＝BD•BC5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，则k的值为（）A．9 B．9 C．3 D．36．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心作⊙O交x轴正半轴于A，P为⊙O上的动点（点P不在坐标轴上），过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴于点C、D，B为CD中点，连接AB，则∠BAO的最大值是（）A．15° B．30° C．45° D．60°二、填空题：（每题3分，共30分）7．（3分）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标为．8．（3分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝．9．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为．10．（3分）在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是．11．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是m．12．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．（3分）已知圆锥的母线为10，底面圆的直径为12，则此圆锥的侧面积是．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAC＝22°，则∠ADC的度数是．15．（3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．16．（3分）如图，一次函数y＝1+x的图象与二次函数y＝2x2﹣8x+3的对称轴交于A点，函数y＝kx（k≠0）的图象与y＝1+x的图象、二次函数y＝2x2﹣8x+3的对称轴分别交于B点和C点，若△ABC是等腰三角形，则tan∠ACB＝．三、解答题：（共102分）17．（10分）（1）计算：（）﹣1﹣3tan30°+（1﹣π）0．（2）解分式方程：＝﹣1．18．（8分）已知M＝5y2+3，N＝4y+4y2．（1）求当M＝N时y的值；（2）求M﹣N的最值．19．（8分）某商场今年8～12月A、B两种品牌的冰箱的销售情况如下表（单位：台）：品牌8月9月10月11月12月A1314151617B1014151620通过整理，得到数据分析表如下：品牌平均数（台）中位数（台）方差（台2）A15b2Ba15c（1）求出表中a、b、c的值；（2）比较该商场8～12月这两种品牌冰箱月销售量的稳定性．20．（10分）学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是；（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．21．（10分）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．22．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+kx﹣6的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C，tan∠OCB＝．（1）求k的值；（2）若点P（m，﹣2m）在该抛物线上，求m的值．23．（10分）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°．（1）求B，C之间的距离；（保留根号）（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）24．（10分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB＝DC，延长BA、CD相交于E点．（1）求证：∠EAD＝∠CAD；（2）若AC＝10，sin∠BAC＝，求AD的长．25．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的右边），与y轴交于C点．（1）求抛物线y＝（x+a）（x﹣a﹣1）的对称轴；（2）若点D（2﹣2a，m）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）的图象上，其中m＜0，a为整数．①a的值；②点P为二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）对称轴上一点，△ACP为以AC为腰的等腰三角形，求P点的坐标．26．（14分）如图，已知矩形ABCD中AB＝2，BC＝a，E为DC延长线上一点，CE＝1．（1）连接AC、AE，求tan∠ACB•tan∠BAE的值；（2）P为线段BC上的点，且以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似．①若a＝4，求线段BP的长；②若满足条件的点P有且只有2个，求a的值或取值范围．

2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共18分）1．【解答】解：sin45°＝故选：C．2．【解答】解：把x＝2代入x2+px﹣6＝0得4+2p﹣6＝0，解得p＝1．故选：C．3．【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，故选：B．4．【解答】解：∵∠B＝∠B，∴当时，△ABC∽△DBA，当AB2＝BD•BC时，△ABC∽△DBA，故选：D．5．【解答】解：连接OB，过B作BG⊥OA于G，∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝OA＝AB＝6，∵BG⊥OA，∴∠BGO＝90°，∴∠OBG＝30°，∴OG＝OB＝3，由勾股定理得：BG＝3，即B的坐标是（3，3），∵B点在反比例函数y＝上，∴k＝3×3＝9，故选：B．6．【解答】解：∵B为CD中点，四边形OCPD为矩形，∴点B为对角线CD、OP交点，即点B为OP中点，连接OP，由题意可知，当BA⊥OP时∠BAO最大，设半径为2a，则OB＝a，OA＝2a，在Rt△ABO中，sin∠BAO＝，∠BAO＝30°．故选：B．二、填空题：（每题3分，共30分）7．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）．8．【解答】解：∵方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣5，故答案为：﹣5．9．【解答】解：∵sin∠1＝，∴∠1＝45°，∵直角△EFG中，∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣45°＝45°，∴∠4＝180°﹣∠3＝135°，又∵AB∥CD，∴∠2＝∠4＝135°．故答案为：135°．10．【解答】解：根据折线统计图可得：90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；故答案为：90．11．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，∴＝＝，解得：AC＝10，则AB＝＝20（m）．故答案为：20．12．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．13．【解答】解：底面圆的半径为6，则底面周长＝12π，圆锥的侧面积＝×12π×10＝60π．故答案为：60π．14．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣22°＝68°．∴∠ADC＝∠ABC＝68°．故答案为：68°．15．【解答】解：设利润为w元，则w＝（x﹣20）（30﹣x）＝﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x＝25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．16．【解答】解：分两种情况：如图1，当AB＝AC时，∠ACB＝∠ABC，y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴E（0，1），OE＝1，当y＝0时，+1＝0，x＝﹣，∴F（﹣，0），OF＝，∴EF＝2，∴∠EFO＝30°，∠OEF＝60°，∵OE∥AC，∴∠BAG＝∠OEF＝60°，∵∠BAG＝∠ACB+∠ABC，∴∠ACB＝30°，∴tan∠ACB＝tan30°＝；如图2，当AB＝BC时，∠BAC＝∠ACB，∵OE∥AC，∴∠BEO＝∠BAC＝60°，∴∠ACB＝60°，∴tan∠ACB＝tan60°＝；综上所述，tan∠ACB＝或；故答案为：，三、解答题：（共102分）17．【解答】解：（1）原式＝2﹣3×+1+2＝3+；（2）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）＝x（x+1）﹣（x+1（x﹣1），∴2x﹣2＝x2+x﹣x2+1，解得x＝3．检验：把x＝3代入（x+1）（x﹣1）＝8≠0，即x＝3是原分式方程的解，∴原方程的解：x＝3．18．【解答】解：（1）当M＝N时，即5y2+3＝4y+4y2所以y2﹣4y+3＝0解得：y1＝1，y2＝3即当y＝1或y＝3时，M＝N．（2）M﹣N＝5y2+3﹣4y﹣4y2＝y2﹣4y+3＝（y2﹣4y+4）﹣1＝（y﹣2）2﹣1即当y＝2时，M﹣N有最小值﹣119．【解答】解：（1）A品牌的销售量由小到大排列为：13，14，15，16，17，A品牌的中位数为15，即b＝15；B品牌的销售量由小到大排列为：10，14，15，16，20，平均数为＝15，方差为[（10﹣15）2+（14﹣15）2+（15﹣15）2+（16﹣15）2+[（20﹣15）2]＝10.4，即a＝15，c＝10.4；（2）∵10.4＞2，即B品牌的方差＞A品牌的方差，∴该商场8～12月A种品牌冰箱月销售量较稳定．20．【解答】解：（1）∵甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，∴小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图可知，一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，∴小明恰好取到两个白粽子的概率为＝．21．【解答】解：设这个增长率为x．依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）＝4.8，解得x1＝0.2，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．0.2＝20%．答：这个增长率是20%．22．【解答】解：（1）由题意C（0，6），∵tan∠OCB＝＝，OC＝6，∴OB＝3，∴B（3，0）代入y＝x2+kx﹣6得到，0＝9+3k﹣6∴k＝﹣1．（2）P（m，﹣2m）在抛物线y＝x2﹣x﹣6上，∴﹣2m＝m2﹣m﹣6，解得m＝﹣3或m＝2．23．【解答】解：（1）如图作AD⊥BC于D．则AD＝10m，在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴AD＝CD＝10m，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴tan30°＝，∴BD＝AD＝10m，∴BC＝BD+DC＝（10+10）m．（2）结论：这辆汽车超速．理由：∵BC＝10+1027m，∴汽车速度＝＝30m/s＝108km/h，∵108＞80，∴这辆汽车超速．24．【解答】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆，∴∠EAD＝∠BCD，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠BCD，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC＝∠CAD，∴∠EAD＝∠CAD；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵AC＝10，sin∠BAC＝，∴，∴BC＝6，AB＝8，∵∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC＝10，ED＝CD，∵∠ADE＝∠EBC，∠E＝∠E，∴△EAD∽△ECB，∴即得：ED＝3，AD＝．25．【解答】解：（1）y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝；（2）①当y＝0时，（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1，∴B（﹣a，0），A（a+1，0），∵点D（2﹣2a，m）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）的图象上，其中m＜0，∴点D在x轴下方的抛物线上，∴﹣a＜2﹣2a＜a+1，解得＜a＜2，∵a为整数，∴a的值为1；②a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，A点坐标为（2，0），当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，则C（0，﹣2），设P（，t），AC2＝22+22＝8，PC2＝（）2+（t+2）2，PA2＝（﹣2）2+t2，当CP＝CA时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形，即（）2+（t+2）2＝8，解得t1＝﹣2+，t2＝﹣2﹣，此时P点坐标为（，﹣2+）或（，﹣2﹣）；当AP＝AC时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形，即（﹣2）2+t2＝8，解得t1＝，t2＝﹣，此时P点坐标为（，）或（，﹣）