八年级（上）期末数学试卷

2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小票，每小题3分，共30分）1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．若分式的值为零，则x等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或23．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，则ab的值（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣64．下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．5．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）26．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大6倍7．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（）A．40° B．45° C．50° D．60°8．能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C．（a+2）2＝a2+4a+4 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣49．化简的结果是（）A． B．a C． D．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．若分式有意义，则x的取值范围为．12．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为米．13．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为．14．如图，已知△ABC中，∠BAC＝140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为．15．代数式4x2+2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝．16．若ab＝1，a﹣b＝4，则＝．17．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF＝S△ABC；④BE+CF＝EF．上述结论中始终正确的有．（填序号）三、解下列各题（共46分）19．（8分）计算：（1）（用公式法计算）：（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）2．（2）因式分解：﹣4x2y+8xy2﹣4y3．20．（8分）先化简，再求值：，其中x从0、1、2、﹣1中任意取一个数求值．21．（8分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0），B点坐标是（﹣3，1），C点坐标是（﹣2，3）．（1）作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；（2）动点P的坐标为（0，t），当t为何值时，PA+PC的值最小，并画出点P；（3）在（1）的条件下，点Q为网格格点，当△QDE为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．22．（10分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？23．（12分）已知△ABC是等边三角形，点P，Q分别为边AB，BC上的动点（端点除外）点P，Q以相同的速度，同时从点A，点B出发，直线AQ，CP相交于点M．（Ⅰ）如图①，求证：△ABQ≌△CAP；（Ⅱ）如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小；（Ⅲ）如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小票，每小题3分，共30分）1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．2．若分式的值为零，则x等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：依题意得|x|﹣1＝0，且x2﹣3x+2≠0，解得x＝1或﹣1，x≠1和2，∴x＝﹣1．故选：A．3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，则ab的值（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，∴a＝﹣3，b＝2，∴ab＝（﹣3）×2＝﹣6．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式以及负整数指数幂计算法则进行解答．【解答】解：A、原式＝a6，故不符合题意；B、原式＝a4，故不符合题意；C、原式＝a2+2ab+b2，故不符合题意；D、原式＝4，故符合题意；故选：D．5．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．【解答】解：mx2﹣m＝m（x﹣1）（x+1），x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．6．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大6倍【分析】根据分式的性质即可得出答案．【解答】解：分式中的x和y都扩大3倍，得＝＝，所以分式的值扩大3倍．故选：C．7．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD＝DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，∴∠BEA＝∠ADC＝90°．∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，∴∠FBD＝∠FAE，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，故选：B．8．能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C．（a+2）2＝a2+4a+4 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4【分析】根据图形中各个部分的面积之间的关系得出答案．【解答】解：如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选：D．9．化简的结果是（）A． B．a C． D．【分析】首先把分式的分子分母分解因式，再把除法变成乘法，然后约分相乘即可．【解答】解：原式＝×，＝，故选：A．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．若分式有意义，则x的取值范围为x≠±3．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：要使有意义，必须x2﹣9≠0，则x≠±3，故答案为：x≠±3．12．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为2.2×10﹣8米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．故答案为：2.2×10﹣8．13．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为50°或130°．【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【解答】解：当为锐角时，如图∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，当为钝角时，如图∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故答案为：50°或130°．14．如图，已知△ABC中，∠BAC＝140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为100°．【分析】如图，由三角形内角和定理求出∠B+∠C＝40°；证明∠ADE+∠AED＝2（α+β）＝80°，即可解决问题．【解答】解：如图，∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°；由题意得：∠B＝∠DAB（设为α），∠C＝∠EAC（设为β），∴∠ADE＝2α，∠AED＝2β，∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣80°＝100°，故答案为100°．15．代数式4x2+2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝7或﹣5．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9，∴2（m﹣1）＝±12，∴m﹣1＝±6，∴m＝7或m＝﹣5．故答案为：7或﹣5．16．若ab＝1，a﹣b＝4，则＝18．【分析】先通分，再利用完全平方公式得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：原式＝＝，当ab＝1，a﹣b＝4，原式＝＝18．故答案为18．17．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是m＜6且m≠0．【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：∵关于x的方程+＝2有解，∴x﹣2≠0，∴x≠2，去分母得：2﹣x﹣m＝2（x﹣﹣2），即x＝2﹣，根据题意得：2﹣＞0且2﹣≠2，解得：m＜6且m≠0．故答案是：m＜6且m≠0．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF＝S△ABC；④BE+CF＝EF．上述结论中始终正确的有①②③．（填序号）【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP＝PC，∠EAP＝∠C＝45°，根据同角的余角相等求出∠APE＝∠CPF，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE＝CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定②正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定④错误，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定③正确．【解答】解：如图，连接EF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP＝PC，∠EAP＝∠C＝45°，∴∠APF+∠CPF＝90°，∵∠EPF是直角，∴∠APF+∠APE＝90°，∴∠APE＝∠CPF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE＝CF，故①正确；∴△EFP是等腰直角三角形，故②正确；根据等腰直角三角形的性质，EF＝PE，∵EF≤AE+AF，即EF≤AC，∵BE+CF＝AC，∴BE+CF≥EF，故④错误；∵△APE≌△CPF，∴S△APE＝S△CPF，∴S四边形AEPF＝S△APF+S△APE＝S△APF+S△CPF＝S△APC＝S△ABC，∴2S四边形AEPF＝S△ABC故③正确，综上所述，正确的结论有①②③共3个．故答案为：①②③．三、解下列各题（共46分）19．（8分）计算：（1）（用公式法计算）：（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）2．（2）因式分解：﹣4x2y+8xy2﹣4y3．【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝x2﹣1﹣（1﹣2x+x2）＝x2﹣1﹣1+2x﹣x2＝2x﹣2；（2）原式＝﹣4y（x2﹣2xy+y2）＝﹣4y（x﹣y）2．20．（8分）先化简，再求值：，其中x从0、1、2、﹣1中任意取一个数求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0、1、2、﹣1中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝＝，∵x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠0，﹣1，1，∴x可以等于2，当x＝2时，原式＝＝6．21．（8分）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0），B点坐标是（﹣3，1），C点坐标是（﹣2，3）．（1）作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；（2）动点P的坐标为（0，t），当t为何值时，PA+PC的值最小，并画出点P；（3）在（1）的条件下，点Q为网格格点，当△QDE为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．（2）连接CD交y轴于点P，连接PC，点P即为所求作．（3）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可．【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求作．（2）如图，点P即为所求作．（3）满足条件的点Q的坐标为（0，2）或（2，3）或（3，﹣1）．22．（10分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材（50﹣m）套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，根据题意，可得：，解得：x＝360，经检验x＝360是原方程的根，1.5×360＝540（元），因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材（50﹣m）套，根据题意，可得：360m+