人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.15圆与圆的位置关系》同步测试题及答案

第第页人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.15圆与圆的位置关系》同步测试题及答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.2．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.3．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.

设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.4．圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：

(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.

(2)与圆同心的圆系方程是.

(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.

(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是.

(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是().(其中不含有圆:,注意检验是否满足题意,以防漏解).

①当时，l:为两圆公共弦所在的直线方程.

②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.【题型1圆与圆的位置关系及判定】【方法点拨】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要);②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距d；④比较d与的大小关系；⑤根据大小关系确定位置关系.【例1】（2022·河南·高二阶段练习）圆(x+1)2+y2=4A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆C1:x2+A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知圆C1:x2+y2−2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【变式1-3】（2022·安徽·高三开学考试）已知直线l:mx+y−3m−2=0与圆M:(x−5)2+(y−4)2=25交于A,B两点，则当弦AB最短时，圆A．内切 B．外离 C．外切 D．相交【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】【方法点拨】根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.【例2】（2022·全国·高二单元测试）已知圆C1(x−2)2+(y+2)2=r2(r>0)与圆A．7 B．3 C．3或7 D．5【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆C:x−32+y−42=25−m与圆A．1 B．9 C．10 D．16【变式2-2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆C1：x−32+y+22=1与圆C2：x−72+A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）若圆C1:x2+y2A．12 B．23 C．1 【题型3与两圆相切有关问题】【方法点拨】处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).【例3】（2022·全国·高二课时练习）设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）下列方程中，圆C1:x2−2x+A．x+3y+3=0 C．3x+y+3=0 D．【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）圆x2+y−22=4与圆xA．−∞,−5C．−5,5【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2A．1 B．2 C．3 D．2【题型4两圆的公共弦问题】【方法点拨】解决两圆公共弦问题的一般步骤：第一步：判断两圆有没有公共弦；第二步：如果存在公共弦，那么只需要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；第四步：利用勾股定理求出公共弦长.【例4】（2022·全国·高二专题练习）圆x2+y2=4A．x−y+2=0 B．x−y−2=0C．x+y+2=0 D．x+y−2=0【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）圆C1:x2+A．6 B．210 C．4 D．【变式4-2】（2022·全国·高二专题练习）已知圆C1:x2+A．2 B．22 C．2 【变式4-3】（2022·江苏·高二开学考试）若圆C1:x2+y2A．aB．aC．AB中点的轨迹方程为xD．AB中点的轨迹方程为x【题型5圆系方程及其应用】【方法点拨】求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简捷.【例5】（2022·江西省高一阶段练习（理））求过两圆x2+y2−2y−4=0和xA．x2+yC．x2+y【变式5-1】（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【变式5-2】（2021·全国·高二专题练习）过点M(2,−2)以及圆x2+y2−5x=0A．x2+yC．x2+y【变式5-3】（2021·江苏·高二专题练习）若圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2−4x−6=0和x2+A．0 B．85 C．2 D．【题型6直线与圆、圆与圆的位置关系的应用】【方法点拨】对于实际生活中直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，通常采用建立平面直角坐标系来解决，一般步骤如下：第一步：认真审题，理解题意，把题中的实际问题转化为直线与圆、圆与圆的有关问题；第二步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将实际问题转化为解析几何问题；第三步：通过点的坐标及方程的有关运算解决问题；第四步：将运算结果“翻译”成实际问题中的结论；第五步：检验与作答.【例6】（2021秋•濮阳期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【变式6-1】（2021·全国·高二专题练习）某品牌的logo是用一系列1，2，3，5，8，13，⋯⋯为半径的圆截得的，如图所示，右上方是三个半径为8的圆，自上而下依次为圆A，圆B，圆C，已知它们的圆心在斜率为−1的同一直线上，已知圆A与x轴相切于坐标原点O，且圆A的圆心在x轴上方，圆B与y轴相切，且圆心在y轴右侧，圆C与圆B外切．（1）求圆B的方程；（2）求圆A与圆B的公共弦所在直线方程；（3）写出圆C的标准方程（不用写过程）．【变式6-2】如图：为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M（在线段OA上）与BC相切的圆．建立如图所示的直角坐标系，已知新桥BC所在直线的方程为：4x+3y﹣680＝0．（1）求新桥端点B的坐标；（2）当圆形保护区的圆心M在古桥OA所在线段上（含端点）运动时，求圆形保护区的面积的最小值，并指出此时圆心M的位置．【变式6-3】（2022秋•姜堰区校级期中）某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处（AP的长度不超过1百米）开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切（不计木桥宽度），与BC相交于Q点．过Q点继续建造直线木桥NQ与小岛边缘相切，NQ与中轴线EF交于N点，N点与E点也以木桥直线相连．（1）当AP＝1百米时，求木桥PQ的长度（单位：百米）；（2）问是否存在常数m，使得mQN+NE为定值？如果存在，请求出常数m，并给出定值，如果不存在，请说明理由．参考答案【题型1圆与圆的位置关系及判定】【方法点拨】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要);②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距d；④比较d与的大小关系；⑤根据大小关系确定位置关系.【例1】（2022·河南·高二阶段练习）圆(x+1)2+y2=4A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【解题思路】首先确定两圆的圆心与半径，再求出圆心距，即可判断.【解答过程】解：由(x−2)2+(y−1)2=25由(x+1)2+y2=4∴AB=10，R+r=7，R−r=3，∴故选：B．【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆C1:x2+A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【解题思路】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【解答过程】由题意，知圆C1的圆心C1(0,0)圆C2的方程可化为x−522+因为两圆的圆心距C1故选：C.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知圆C1:x2+y2−2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【解题思路】由圆C1的面积被直线x+2y+1=0平分，可得圆心在直线上，求出m，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆C1与圆【解答过程】因为圆C1的面积被直线x+2y+1=0平分，所以圆C1的圆心1,−m所以1+2×−m2+1=0，解得m=2，所以圆C1因为圆C2的圆心为(−2,3)，半径为5，所以C故5−1<C1C2<5+1故选：B．【变式1-3】（2022·安徽·高三开学考试）已知直线l:mx+y−3m−2=0与圆M:(x−5)2+(y−4)2=25交于A,B两点，则当弦AB最短时，圆A．内切 B．外离 C．外切 D．相交【解题思路】由直线l:mx+y−3m−2=0过定点P3,2且定点在圆M内，当弦AB最短时直线l垂直PM，根据斜率乘积为−1求出m，进而求出圆N【解答过程】易知直线l:mx+y−3m−2=0即mx−3+y−2=0过定点P3,2，因为3−52+故弦AB最短时直线l垂直PM，又kPM=4−25−3=1此时圆N的方程是x+22两圆圆心之间的距离MN=5+2又65>故选：B.【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】【方法点拨】根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.【例2】（2022·全国·高二单元测试）已知圆C1(x−2)2+(y+2)2=r2(r>0)与圆A．7 B．3 C．3或7 D．5【解题思路】根据两圆内切或外切即可求解.【解答过程】C1因为圆C1与圆C所以圆C1与圆C所以r−2=5或r+2=5，所以r=7或r=3，故选：C．【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆C:x−32+y−42=25−m与圆A．1 B．9 C．10 D．16【解题思路】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解.【解答过程】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，即3−02+4−0故选：B．【变式2-2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆C1：x−32+y+22=1与圆C2：x−72+A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【解题思路】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a.【解答过程】圆C1：x−32+圆C2：x−72+C1因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1故1−r2=5或r2+1=5所以r2=50−a=6或r2所以实数a等于34或14，故选：D.【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）若圆C1:x2+y2A．12 B．23 C．1 【解题思路】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.【解答过程】由x2+y2−2ay=0a>0可得x2由x2+y2−4x+3=0可得x−22+因为两圆相外切，所以4+a2=a+1故选：D.【题型3与两圆相切有关问题】【方法点拨】处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).【例3】（2022·全国·高二课时练习）设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解题思路】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．【解答过程】由题意，得圆C1:x−12+y+22=32，圆心C11,−2，圆故选：B．【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）下列方程中，圆C1:x2−2x+A．x+3y+3=0 C．3x+y+3=0 D．【解题思路】设公切线l与圆C1，圆C2分别相切于第一象限的A，B两点，由几何关系求出P3,0【解答过程】根据题意可知C1:x−1如图，设公切线l与圆C1，圆C2分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点由几何关系可知C1A=1，OB=3所以OP=3，P3,0，sin∠OPB=12，∠OPB=则l的方程为y=−33x−3根据对称可得出另一条公切线方程为x−3故选：B．【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）圆x2+y−22=4与圆xA．−∞,−5C．−5,5【解题思路】由题知两圆的位置关系为外切或相离，进而根据圆心距与半径和的关系求解即可.【解答过程】解：将x2+2mx+y2+m2圆x2+y−22=4因为圆x2+y−2所以两圆的位置关系为外切或相离，所以m2+4≥2+1，即m故选：D.【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】设直线l交x轴于点M，推导出C1为MC2的中点，A为BM【解答过程】如下图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1:x+12+y2则AC1⊥l，B∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故选：C.【题型4两圆的公共弦问题】【方法点拨】解决两圆公共弦问题的一般步骤：第一步：判断两圆有没有公共弦；第二步：如果存在公共弦，那么只需要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；第四步：利用勾股定理求出公共弦长.【例4】（2022·全国·高二专题练习）圆x2+y2=4A．x−y+2=0 B．x−y−2=0C．x+y+2=0 D．x+y−2=0【解题思路】将两圆方程作差可得出两圆相交弦所在直线的方程.【解答过程】圆x2+y2=4圆x2+y2−4x+4y−12=0的标准方程为x−2因为AB=22所以，圆x2+y将两圆方程作差得4x−4y+8=0，即x−y+2=0.因此，两圆的相交弦所在直线的方程为x−y+2=0.故选：A.【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）圆C1:x2+A．6 B．210 C．4 D．【解题思路】根据圆C1与圆C【解答过程】圆C1与圆C2的方程相减得−10y=−10，即又C20,0到直线所以公共弦长为210−1故选：A.【变式4-2】（2022·全国·高二专题练习）已知圆C1:x2+A．2 B．22 C．2 【解题思路】圆方程相减得到公共弦方程，计算圆心到直线的距离，计算弦长得到答案.【解答过程】由题意知C1:x将两圆的方程相减得x+y−3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y−3=0.又因为圆C1：x+22+y−12所以圆C1的圆心到直线x+y−3=0的距离d=所以这两圆的公共弦的弦长为2r故选：C.【变式4-3】（2022·江苏·高二开学考试）若圆C1:x2+y2A．aB．aC．AB中点的轨迹方程为xD．AB中点的轨迹方程为x【解题思路】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得a2+b2=3，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，进而可得【解答过程】两圆方程相减可得直线AB的方程为a2即2ax+2by−a因为圆C1的圆心为C1且公共弦AB的长为1，则C10,02ax+2by−a2−所以a2+b故A、B错误；由圆的性质可知直线C1C2所以C10,0到直线2ax+2by−即为AB中点与点C1的距离，设AB中点坐标为x,y因此x−02即x2故选：C.【题型5圆系方程及其应用】【方法点拨】求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简捷.【例5】（2022·江西省高一阶段练习（理））求过两圆x2+y2−2y−4=0和xA．x2+yC．x2+y【解题思路】先计算出两圆的交点A,B所在直线，进而求出线段AB的垂直平分线，与2x+4y−1=0联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.【解答过程】x2+y2−2y−4=0将y=x−1代入x2+y即2x设两圆x2+y2−2y−4=0则x=1±62，x1不妨设A1+所以线段AB的中点坐标为x1因为直线AB的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1，所以线段AB的垂直平分线为y=−x−1y=−x+1与2x+4y−1=0联立得：x=3故圆心坐标为32,−1所以圆的方程为x−3整理得：x2故选：D.【变式5-1】（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【解题思路】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．【解答过程】由x2解得两圆交点为M2+102因为kMN=1，所以线段MN的垂直平分线斜率k2=−1；所以垂直平分线为y＝﹣x+2，由y=−x+2x−y−4=0解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1），所以r=3−所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13，即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0，故选：A.【变式5-2】（2021·全国·高二专题练习）过点M(2,−2)以及圆x2+y2−5x=0A．x2+yC．x2+y【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为x2+y2−5x+λ【解答过程】设所求的圆的方程为x2把点M(2,−2)代入可得,4+4−5×2+λ4+4−2解得λ=13,所以所求圆的方程为故选:A.【变式5-3】（2021·江苏·高二专题练习）若圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2−4x−6=0和x2+A．0 B．85 C．2 D．【解题思路】求出过AB两点的垂直平分线方程，再联立直线x−y−4=0，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解【解答过程】设两圆交点为A,B，联立x2得x1=−1y1=−1则AB中点为1,1，过AB两点的垂直平分线方程为y=−x−1联立y=−x+2x−y−4=0得x=3y=−1，故圆心为3,−1由点到直线距离公式得d=故选：C.【题型6直线与圆、圆与圆的位置关系的应用】【方法点拨】对于实际生活中直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，通常采用建立平面直角坐标系来解决，一般步骤如下：第一步：认真审题，理解题意，把题中的实际问题转化为直线与圆、圆与圆的有关问题；第二步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将实际问题转化为解析几何问题；第三步：通过点的坐标及方程的有关运算解决问题；第四步：将运算结果“翻译”成实际问题中的结论；第五步：检验与作答.【例6】（2021秋•濮阳期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解题思路】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，通过F，M在圆上，求出变量的值，得到圆的方程．（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x=11代入圆的方程，求出y【解答过程】解：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．则E（﹣33，0），F（33，0），M（0，3），由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，因为F，M在圆上，所以(33解得b＝﹣3，r2＝36．所以圆的方程为x2+（y+3）2＝36．（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x=11得(11得y＝2或y＝﹣8（舍），所以h＝|CP|﹣0.5＝（y+|DF|）﹣0.5＝（2+2）﹣0.5＝3.5（m）．答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．【变式6-1】（2021·全国·高二专题练习）某品牌的logo是用一系列1，2，3，5，8，13，⋯⋯为半径的圆截得的，如图所示，右上方是三个半径为8的圆，自上而下依次为圆A，圆B，圆C，已知它们的圆心在斜率为−1的同一直线上，已知圆A与x轴相切于坐标原点O，且圆A的圆心在x轴上方，圆B与y轴相切，且圆心在y轴右侧，圆C与圆B外切．（1）求圆B的方程；（2）求圆A与圆B的公共弦所在直线方程；（3）写出圆C的标准方程（不用写过程）．【解题思路】如图建立平面直角坐标系，（1）由于圆A与x轴相切于坐标原点O，所以可得圆A的圆心和半径，由于圆B与y轴相切且rB=8．圆心B在y轴右侧，可得圆心为(8,0)，从而可求出圆（2）两圆方程相减可得公共弦的方程；（3）圆C与圆B外切，可得圆C的圆心为(8+82,−82【解答过程】解：由已知：可建立如下平面直角坐标系，（1）∵圆A与x轴相切于O点，圆心A在x轴上方且rA∴圆A：x2而A，B，C三点共线且其斜率为−1，∴l又∵圆B与y轴相切且rB=8．圆心B在∴圆心B应在x=8上，∴{y=−x+8∴圆B:(x−8)2（2）由（1）问知：将两圆方程作差得：16x−16y=0，即圆A与圆B的公共弦所在直线方程为：y=x，（3）圆C:[x−(8+8【变式6-2】如图：为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M（在线段OA上）与BC相切的圆．建立如图所示的直角坐标系，已知新桥BC所在直线的方程为：4x+3y﹣680＝0．（1）求新桥端点B的坐标；（2）当圆形保护区的圆心M在古桥OA所在线段上（含端点）运动时，