2025年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：锐角三角函数（10题）

第1页（共1页）2025年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：锐角三角函数（10题）一．选择题（共10小题）1．（2024•吉安一模）tan60°的值等于（）A．2 B．3 C．22 D．2．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=3，那么∠BA．15° B．45° C．30° D．60°3．（2024•仁和区一模）在锐角△ABC中，(tanC-3)2A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2024•运城三模）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．12 C．5 D．5．（2024•云南模拟）观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为60°，则小船和山崖之间的水平距离为（）A．1503米 B．1003米 C．503米 D6．（2024•海淀区校级模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）A．asin26.5° B．atan26.5° C．acos26.5° D．7．（2024•东莞市三模）河堤横断面如图，河堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度＝1：3，则坡面AB的长是（）A．10米 B．53米 C．15米 D．103米8．（2024•新宁县校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（）A．12 B．22 C．33 9．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（）A．sinα﹣cosα B．1sinαC．cosα﹣sinα D．110．（2024•大观区校级三模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（）A．3cm B．4cm C．25cm D．27cm

2025年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：锐角三角函数（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•吉安一模）tan60°的值等于（）A．2 B．3 C．22 D．【考点】特殊角的三角函数值．【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案．【解答】解：tan60°=3故选：B．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=3，那么∠BA．15° B．45° C．30° D．60°【考点】特殊角的三角函数值．【专题】解直角三角形及其应用；模型思想；应用意识．【答案】D【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB=AC∴∠B＝60°，故选：D．【点评】考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．3．（2024•仁和区一模）在锐角△ABC中，(tanC-3)2A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【专题】实数；符号意识．【答案】D【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案．【解答】解：∵(tanC-3∴tanC=3，sinB=∴∠C＝60°，∠B＝45°，∴∠A＝75°．故选：D．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4．（2024•运城三模）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．12 C．5 D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】过点C作CD⊥AB，利用正切的定义，求解即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，则：∠CDA＝90°，AD＝2，CD＝4，∴tan∠BAC=CD故选：A．【点评】本题考查网格中的三角函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．5．（2024•云南模拟）观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为60°，则小船和山崖之间的水平距离为（）A．1503米 B．1003米 C．503米 D【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】C【分析】由已知条件即可得出∠B＝60°，AC＝150米，则BC=AC【解答】解：根据题意如下图：则∠B＝60°，AC＝150米，∴BC=AC∴小船和山崖之间的水平距离为503故选：C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形解决问题．6．（2024•海淀区校级模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（）A．asin26.5° B．atan26.5° C．acos26.5° D．【考点】解直角三角形的应用．【专题】常规题型．【答案】B【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：ACtan∠ABC故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．7．（2024•东莞市三模）河堤横断面如图，河堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度＝1：3，则坡面AB的长是（）A．10米 B．53米 C．15米 D．103米【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：3；∴AC＝BC÷tanA＝53米，∴AB=AC故选：A．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用﹣坡角问题、勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．8．（2024•新宁县校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（）A．12 B．22 C．33 【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tanB的值．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴ADCD∵AD＝8，BD＝4，∴8CD解得CD＝42，∴tanB=CD故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出CD的值．9．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（）A．sinα﹣cosα B．1sinαC．cosα﹣sinα D．1【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的的定义求出AC，BC的长，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝α，AB＝1，∴AC＝ABsinα＝sinα，BC＝ABcosα＝cosα，由题意得：AC＝BD＝tanα，∴CD＝BD﹣BC＝sinα﹣cosα，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键．10．（2024•大观区校级三模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（）A．3cm B．4cm C．25cm D．27cm【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】D【分析】过点B作BM⊥AC2于点M，根据含30°角的直角三角形的性质求出BM＝3cm，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出C1M＝C2M=7cm【解答】解：过点B作BM⊥AC2于点M，∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm，∴BM=12AB＝3∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2，∴C1M＝C2M=42∴C1C2＝27cm，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形，根据题意作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．

考点卡片1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=12；cos30°=32；sin45°=22；cos45°=22；sin60°=32；cos60°=12；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．5．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）6．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比