2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：方程与不等式（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：方程与不等式（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•蒸湘区校级模拟）若点P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，则x的取值范围是．2．（2024•哈尔滨）不等式组x+2＞33x-8＜1的解集是3．（2024•滨州模拟）甲、乙两同学同时从家出发，分别到距离家6千米和10千米的实践基地参加劳动，若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达基地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x千米/小时，则依据题意可列方程为．4．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为．5．（2024•徐汇区校级三模）分式方程x-ax+1=a有增根，则a的值是6．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．7．（2024•垦利区模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝．8．（2024•泰安二模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝．9．（2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请个球队参赛．10．（2024•吴忠一模）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为．

2025年初中数学复习之小题狂练450题（填空题）：方程与不等式（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•蒸湘区校级模拟）若点P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，则x的取值范围是x＜1【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＜【分析】根据第二象限内横坐标小于零，纵坐标大于零，建立一元一次不等式组求解，即可解题．【解答】解：∵点P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，∴3x-解①得：x＜2，解②得：x＜则x的取值范围是x＜故答案为：x＜【点评】本题考查象限内的坐标特征，以及求一元一次不等式组的解集，熟练掌握以上知识点是关键．2．（2024•哈尔滨）不等式组x+2＞33x-8＜1的解集是1＜【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】1＜x＜3．【分析】依据题意，根据解不等式组的一般方法，先分别解出不等式的解集再找出公共部分，从而可以判断得解．【解答】解：x+2＞由①得，x＞1，由②得，x＜3，∴原不等式组的解集为：1＜x＜3．故答案为：1＜x＜3．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．3．（2024•滨州模拟）甲、乙两同学同时从家出发，分别到距离家6千米和10千米的实践基地参加劳动，若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达基地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x千米/小时，则依据题意可列方程为63x=【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】63x【分析】由甲、乙两人速度之间的关系可得出乙的速度为每小时4xkm，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前20min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵甲、乙的速度比是3：4，甲的速度为3x千米/小时，∴乙的速度为4x千米/小时，根据题意，得63x故答案为63x【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．4．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为4．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．【解答】解：令方程的另一个根为m，因为方程的一个根为﹣2，所以﹣2+m＝2，解得m＝4，所以方程的另一个根为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．5．（2024•徐汇区校级三模）分式方程x-ax+1=a有增根，则a的值是﹣1【考点】分式方程的增根．【答案】见试题解答内容【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+1＝0，得到x＝﹣1，然后代入整式方程算出a的值即可．【解答】解：方程两边同时乘以x+1得，x﹣a＝a（x+1），∵方程有增根，∴x+1＝0，解得x＝﹣1．∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．6．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为2．【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0，解得：k＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＝0有两个相等的实数根是解题的关键．7．（2024•垦利区模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝2．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据根与系数的关系得：x2+1＝3，求出即可．【解答】解：则根据根与系数的关系得：x1+x2＝1+x2=-＝3，解得：x2＝2，即方程的另一个根为2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根时，那么x1+x8．（2024•泰安二模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a＝﹣1．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】﹣1．【分析】把x＝1代入一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，再解方程，然后利用一元二次方程的定义得到满足条件的a的值．【解答】解：把x＝1代入方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，因为a﹣1≠0，所以a的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．（2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请6个球队参赛．【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】6．【分析】设应邀请x个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），x个球队比赛总场数为12【解答】解：设应邀请x个球队参赛，由题意得：12解得：x＝6或x＝﹣5（不符合题意，舍去），即应邀请6个球队参赛，故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2024•吴忠一模）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为4．【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；模型思想．【答案】4．【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【解答】解：x2+12x＝m，∵阴影部分的面积为64，∴x2+12x＝64，设4a＝12，则a＝3，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为64+32×4＝64+36＝100，则该方程的正数解为10﹣6＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

考点卡片1．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．3．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．5．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．6．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分