2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的相似（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的相似（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•榕江县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，与BD交于点G，连接DF、AC．（1）试判断四边形ACDF的形状，并证明；（2）若CF＝12，求CG的长．2．（2024•徐汇区校级三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．3．（2024•徐汇区校级三模）如图所求，过△ABC的顶点C作任一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E，过点D作DM∥FC交AB于点M．（1）若求S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED．（2）试说明AE•FB＝2AF•ED．4．（2024•珠晖区一模）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．5．（2024•乌兰浩特市校级模拟）已知a2=b3=c5，且3a﹣2c＝﹣8，求26．（2024•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点F，BE⊥CD，垂足为E，AC＝5，BC＝10．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AC＝CF，求AF和ED的长．7．（2024•武威二模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且DEBC（1）若AC＝25，求线段AE，GF的长．（2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积．8．（2024•湖北模拟）如图，E，F是正方形ABCD边AB，BC上点，∠EDF＝45°．（1）在图（1）中，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，求证：△ADE≌△CDG；（2）在图（2）中，若∠BFE＝45°，求tan∠ADE值；（3）在图（1）中，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求EFMN9．（2024•吉安一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）若AC＝210，CE：EB＝1：4，求CE的长．10．（2024•天长市三模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点．（2）如图2，在OA边上找一点F，使得AFOF

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：图形的相似（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•榕江县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，与BD交于点G，连接DF、AC．（1）试判断四边形ACDF的形状，并证明；（2）若CF＝12，求CG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）四边形ACDF是平行四边形，见解析；（2）CG＝4．【分析】（1）先证明△AEF≌△DEC（ASA），则AF＝CD，可证四边形ACDF是平行四边形；（2）先证明△BCG∽△DEG，再由相似三角形的性质可得结论．【解答】解：（1）四边形ACDF是平行四边形，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD边上的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∠FAE=∴△AEF≌△DEC（ASA），∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）∵四边形ACDF是平行四边形，∴ AE=DE=12DA，CE∵CF＝12，∴CE＝6，∵四边形ACDF是平行四边形，∴CB∥DA，BC＝DA，∴△BCG∽△DEG，DE=1∴CGEG∴CG＝4．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．掌握平行四边形的判定与性质是关键．2．（2024•徐汇区校级三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；几何直观；运算能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）CD=6【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；（2）根据已知易证△ACD∽△CBD，然后进行解答即可．【解答】（1）证明：∵ADAC=ACAB，∠∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ADCD∴2CD∴CD=6【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．3．（2024•徐汇区校级三模）如图所求，过△ABC的顶点C作任一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E，过点D作DM∥FC交AB于点M．（1）若求S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED．（2）试说明AE•FB＝2AF•ED．【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）利用平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．【解答】（1）解：∵EF∥DM，∴△AEF∽△ADM，∵S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，∴AEAD∴AEDE（2）证明：∵DC＝DB，∴FM＝MB=12∵DM∥CF，∴AE：ED＝AF：FM，即AE：ED＝AF：12FB∴AE：ED＝2AF：FB，∴AE•FB＝2AF•ED．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．4．（2024•珠晖区一模）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，∴△BDC∽△ABC；（2）∵△BDC∽△ABC，∴BCAC∵BC＝4，AC＝8，∴CD＝2．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．（2024•乌兰浩特市校级模拟）已知a2=b3=c5，且3a﹣2c＝﹣8，求2【考点】比例的性质．【专题】计算题；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】设a＝2k，b＝3k，c＝5k，根据3a﹣2c＝﹣8，求出k＝2，即可得a＝4，b＝6，c＝10，然后代入计算即可．【解答】解：∵a2∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k，∵3a﹣2c＝﹣8，∴6k﹣10k＝﹣8，解得k＝2，∴a＝4，b＝6，c＝10，∴2c﹣3b+4a＝20﹣18+16＝18．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．6．（2024•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点F，BE⊥CD，垂足为E，AC＝5，BC＝10．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AC＝CF，求AF和ED的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）AF=25，ED＝3【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB＝90°，由已知条件可知∠BED＝90°，由同弧所对的圆周角相等得出∠BDE＝∠BAC，即可证明△DBE∽△ABC．（2）过点C作CG⊥AB，垂足为G，由勾股定理求出AB，证明△ACG∽△ABC，由相似三角形的性质得出AC2＝AG•AB，求出AG，由等腰三角形的性质得出FG=AG=5，∠CAF＝∠CFA，即可求出AF，根据对顶角相等以及同弧所对的圆周角相进一步得出∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，进一步可求出BD，由（1）得结论得出BDAB=【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵BC⌢所对的圆周角为∠BDE和∠BAC∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC．（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝10，∴AB=A∵CG⊥AB，∴AGC＝∠ACB＝90°，又∠A＝∠A，∴△ACG∽△ABC，∴ACAB即AC2＝AG•AB，∴AG=5∵AC＝CF，∴FG=AG=5，∠CAF＝∠CFA∴AF=25∵∠CFA＝∠BFD，∠CAF＝∠BDF，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD=BF=AB-∵△DBE∽△ABC，∴BDAB即35∴ED＝3．【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90°，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．7．（2024•武威二模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且DEBC（1）若AC＝25，求线段AE，GF的长．（2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【答案】（1）AE＝10，GF＝9；（2）125．【分析】（1）根据平行四边形的性质求出DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，即可判定△ADE∽△ABC，△BFG∽△BCE，根据相似三角形的性质及比例的性质求解即可；（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出S△BCE＝75，再结合比例的性质、三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵四边形DFCE是平行四边形，∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∵AC＝25，∴AE＝10，∴CE＝25﹣10＝15，∵DEBC∴BFBC∵DF∥AC，∴△BFG∽△BCE，∴GFCE∴GF＝9；（2）∵△BFG∽△BCE，BFBC∴S△BFG∵S△BFG+S四边形GFCE＝S△BCE，∴S四边形∵四边形GFCE的面积为48，∴S△BCE＝75，∵AEAC=25，AE+∴CEAC∴S△BCE∴S△ABC＝125．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．8．（2024•湖北模拟）如图，E，F是正方形ABCD边AB，BC上点，∠EDF＝45°．（1）在图（1）中，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，求证：△ADE≌△CDG；（2）在图（2）中，若∠BFE＝45°，求tan∠ADE值；（3）在图（1）中，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求EFMN【考点】相似形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）tan∠（3）EFMN【分析】（1）利用边角边的方法判定两三角形全等即可；（2）截取AH＝AE，证明HE＝DH，求tan∠（3）目的是求EFMN的值，考虑△DFE∽△DNM，现已有∠DEF＝∠DEF，再多找一个角相等即可．找出△DEF≌△DFG可得∠GDF＝∠EDF，找出△DEN∽△DAC可得△END为等腰直角三角形、DNDE=12，最后找出△DFE【解答】（1）证明：如图1，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCG＝90°，又∵CG＝AE，∴△ADE≌△CDG（SAS）；（2）解：如图2，截取AH＝AE，∴∠AEH＝∠AHE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD＝DC＝AB＝BC，又∵∠BFE＝45°，∴BE＝BF，∴AB﹣BE＝BC﹣BF，即AE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），又∵∠EDF＝45°，∴∠ADE=∴DE＝DF，∴∠DEF=∴∠HED＝180°﹣∠AEH﹣∠DEF﹣∠BEF＝22.5°，∴∠HED＝∠ADE，∴HE＝DH，设AE＝x，则在Rt△AHE中，AE2+AH2＝HE2，∴DH=HE=2∴tan∠（3）如图3，延长BC至点G，使CG＝AE，并连接DG，连接AC分别交DE，DF于点M，N，连接EN．由（1）可知△ADE≌△CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵四边形ABCD是正方形，∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠CDF＝90°﹣∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠CDF+∠CDG＝45°，∴∠GDF＝∠EDF，又∵DF＝DF，∴△DEF≌△DFG（SAS），∴∠DFE＝∠DFC，又∵∠MDN＝∠EAN＝45°，∴A、E、N、D四点共圆，∴∠DEN＝∠DAC＝45°，∴∠DEF＝∠DCE，∴△DEN∽△DAC，∴△END为等腰直角三角形，∴DNDE又∵∠FCN＝∠EDF＝45°，∠DMN＝∠CMF（对顶角相等），∴△CNF∽△DNM．∴∠DMN＝∠DFC，∴∠DFE＝∠DMN，又∵∠DEF＝∠DEF，∴△DFE∽△DNM．∴EFMN【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角函数的应用，勾股定理解直角三角形．准确画出辅助线是解题的关键．9．（2024•吉安一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）若AC＝210，CE：EB＝1：4，求CE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质．【专题】几何图形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF；（2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（210）2＝x2+（3x）2求得答案．【解答】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．解法二：AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴2∠BAC+∠ABC＝180°，∴∠BAC+12∠ABC＝∴∠CAF=12∠∴∠ABC＝2∠CAF．（2）如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即（210）2＝x2+（3x）2，∴x＝2．∴CE＝2．【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．10．（2024•天长市三模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点．（2）如图2，在OA边上找一点F，使得AFOF【考点】作图﹣位似变换．【专题】作图题；图形的相似；几何直观．【答案】（1）作图见解析过程；（2）作图见解析过程．【分析】（1）在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，根据位似图形的判定和性质可知△ODE即为所求作；（2）在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求．【解答】解：（1）如图1所示，在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，则ODOA∵∠DOE＝∠AOB，∴△ODE∽△OAB，故△ODE即为所求；（2）如图2所示，在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，则△AGF∽△OBF，∵OB＝2，∴AFOF故点F即为所求作．【点评】本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．

考点卡片1．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．5．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．6．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．7．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时