2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：方程与不等式（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：方程与不等式（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•瑶海区校级模拟）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了50件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍少2件，各种奖品的单价如表所示：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元/件）20148数量（件）x（1）设一等奖奖品的数量为x件，请用含x的代数式填表；（2）购买这50件奖品所需的总费用为568元，求二等奖奖品的数量．2．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．3．（2024•广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）化简：1-m2|m-3|4．（2024•博罗县一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？5．（2024•海南）（1）计算：9÷|﹣3|+（12）0×2（2）解不等式组：x-6．（2024•海南）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．7．（2024•蒸湘区一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2．（1）求实数m的取值范围；（2）满足x1x28．（2024•榕江县模拟）（1）计算：(1（2）解方程：xx+29．（2024•南岗区校级二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+2003000乙x2000信息二甲工程队施工1500m2所需天数与乙工程队施工900m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．10．（2024•新城区校级二模）解不等式：x+35

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：方程与不等式（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•瑶海区校级模拟）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了50件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍少2件，各种奖品的单价如表所示：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元/件）20148数量（件）x（1）设一等奖奖品的数量为x件，请用含x的代数式填表；（2）购买这50件奖品所需的总费用为568元，求二等奖奖品的数量．【考点】一元一次方程的应用；列代数式．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）3x﹣2，52﹣4x；（2）二等奖奖品的数量为16件．【分析】（1）根据已知条件列出代数式即可；（2）将直接代入（2）中的结论列出方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：二等奖奖品为（3x﹣2）件，三等奖奖品为50﹣x﹣（3x﹣2）＝50﹣x﹣3x+2＝52﹣4x（件），填写表格：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元/件）20148数量（件）x3x﹣252﹣4x故答案为：3x﹣2，52﹣4x；（2）根据题意得20x+14（3x﹣2）+8（52﹣4x）＝568，解得：x＝6，∴二等奖奖品有3x﹣2＝3×6﹣2＝16，答：二等奖奖品的数量为16件．【点评】此题考查了列代数式与解一元一次方程，正确理解题意和熟练掌握整式的加减运算法则，及解方程是解题的关键．2．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；勾股定理．【专题】一元二次方程及应用；解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用因式分解法即可求出方程的解；（2）根据勾股定理分类讨论即可求出答案．【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边=32-当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边=1∴第三边的长为22或10．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和勾股定理，利用分类讨论得出是解题关键．3．（2024•广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）化简：1-m2|m-3|【考点】根的判别式；绝对值；分式的乘除法．【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）m＞3；（2）﹣2．【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．（2）根据m的取值范围化简即可．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，解得m＞3；（2）∵m＞3，∴m﹣3＞0，∴1-m2=(1+m)(1-m)m-3•2m-1＝﹣2．【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．4．（2024•博罗县一模）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（2024•海南）（1）计算：9÷|﹣3|+（12）0×2（2）解不等式组：x-【考点】解一元一次不等式组；实数的运算．【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）5；（2）x＜4．【分析】（1）先根据算术平方根、绝对值、零指数幂、有理数的乘方、有理数的乘除法运算法则分别计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）分别解不等式①、②，找出它们的公共部分即可得出不等式组的解集．【解答】解：（1）9÷|﹣3|＝3÷3+1×4＝1+4＝5；（2）x-解不等式①，得x＜4，解不等式②，得x≤5，所以不等式组的解集是x＜4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤以及实数的运算法则是解题的关键．6．（2024•海南）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．【考点】二元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15元、10元．【分析】设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元，由题意得：(10x+5y)×【解答】解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元，由题意得：(10x+5y)×解得：x=15y=10答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15元、10元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系并列出方程组是解题的关键．7．（2024•蒸湘区一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2．（1）求实数m的取值范围；（2）满足x1x2【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；推理能力．【答案】（1）m＞（2）m＝1．【分析】（1）根据判别式的意义得到（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，代入已知等式中，求出m值即可．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2，∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，∴m＞（2）∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，∵x1∴﹣2m+5+4＝m2+6，解得：m＝﹣3或m＝1，∵m＞∴m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．8．（2024•榕江县模拟）（1）计算：(1（2）解方程：xx+2【考点】解分式方程；实数的运算．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）﹣1；（2）x＝﹣3．【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂和绝对值，再根据实数的混合运算法则求解即可；（2）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．【解答】解：（1）(＝2﹣4+1＝﹣1；（2）xx+2去分母得：3x＝2x+3x+6，移项合并得：﹣2x＝6，系数化为1得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解为x＝﹣3．【点评】本题主要考查了实数的混合运算，解分式方程，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意分式方程最后一定要检验．9．（2024•南岗区校级二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+2003000乙x2000信息二甲工程队施工1500m2所需天数与乙工程队施工900m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据甲工程队施工1500m2所需天数与乙工程队施工900m2所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解；（2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：1500x+200解得：x＝300，经检验，x＝300是所列方程的解，∴x的值是300；（2）设乙工程队单独施工m天，2000m+3000（20﹣m）≤45000，解得：m≥15，答：乙工程队至少施工15天．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找到等量关系是关键．10．（2024•新城区校级二模）解不等式：x+35【考点】一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＞7，最小整数解为8．【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再找出最小的整数解即可．【解答】解：∵x+35∴3（x+3）＜5（2x﹣5）﹣15，∴3x+9＜10x﹣25﹣15，∴3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9，∴﹣7x＜﹣49，∴x＞7，∴最小整数解为8．【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．3．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．4．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．5．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．6．二元一次方程的应用二元一次方程的应用（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．（4）根据未知数的实际意义求其整数解．7．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．8．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．9．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．10．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．11．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为