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第1页(共1页)2025年初中数学复习之小题狂练450题(解答题):反比例函数(10题)一.解答题(共10小题)1.(2024•蒸湘区校级模拟)如图,反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A(2,5),B(n,(1)求反比例函数和一次函数的关系式.(2)根据图象直接写出不等式kx+b-mx(3)若动点P在x轴上,求PA+PB的最小值.2.(2024•驻马店模拟)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(x>0)的图象与直线OA交于点A(8,4),过点A作AB(1)求k的值;(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AO的垂直平分线;(要求:不写作法,保留作图痕迹)(3)(2)中所作的垂直平分线与AB交于点C,与x轴交于点D,连接OC、AD,求证:四边形OCAD是菱形.3.(2024•湖北模拟)如图,直线l:y=x+2的与曲线y=kx交于点A(1,n),(1)求不等式x+2>(2)直线x=a(a>0)分别与l,双曲线交于C,D两点(点C与点D不重合),若AC=AD,求a的值.4.(2024•榕江县校级二模)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A(﹣2,﹣5),C(5,n),交y轴于点B,交(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接OA,OC,求△AOC的面积.5.(2024•礼县模拟)如图,反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=﹣2x+m的图象交于点A(﹣1,4),BC⊥y轴于点D,分别交反比例函数与一次函数的图象(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)当OD=1时,求线段BC的长.6.(2024•汇川区三模)如图,在平面直角坐标系中,△OAB是等腰直角三角形,OB=4.反比例函数y=kx(x>0)的图象分别与OA,AB交于点C(2(1)求反比例函数的表达式和点D的坐标;(2)若一次函数y=mx与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上C,D之间的部分时(点M可与点C7.(2024•东营)如图,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(﹣3,a),B(1,3),且一次函数与x轴,y轴分别交于点C,(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)根据图象直接写出不等式mx+n>k(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得S△OCP=4S△OBD,求点P的坐标.8.(2024•夏邑县校级一模)如图1是某新款茶吧机,开始加热时,水温每分钟上升20℃,加热到100℃时,停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)是通电时间x(min)的反比例函数.若在水温为20℃时开始加热,水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示.(1)将水从20℃加热到100℃需要min.(2)在水温下降的过程中,求水温y关于通电时间x的函数表达式.(3)加热一次,水温不低于40℃的时间有多长?9.(2024•武都区校级二模)如图,一次函数y1=mx+n与反比例函数y2=kx(x>0)的图象分别交于点A(a,4)和点B(8,1),与坐标轴分别交于点C和点(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)在x轴上是否存在点P,使△COD与△ADP相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.10.(2024•山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=kx-7a12x+ba1kx7(1)求a、b的值,并补全表格;(2)结合表格,当y=2x+b的图象在y=kx的图象上方时,直接写出
2025年初中数学复习之小题狂练450题(解答题):反比例函数(10题)参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1.(2024•蒸湘区校级模拟)如图,反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A(2,5),B(n,(1)求反比例函数和一次函数的关系式.(2)根据图象直接写出不等式kx+b-mx(3)若动点P在x轴上,求PA+PB的最小值.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【专题】一次函数及其应用;反比例函数及其应用;运算能力;推理能力.【答案】(1)反比例函数的解析式为y=10x,一次函数解析式为y(2)x<0或2<x<10;(3)10.【分析】(1)先将点A坐标代入反比例函数解析式可求出m的值,再将点B坐标代入所得反比例函数解析式可求出n的值,最后将A,B两点坐标代入一次函数解析式即可.(2)利用数形结合的数学思想即可解决问题.(3)作出点B关于x轴的对称点,利用轴对称的性质及两点之间线段最短即可解决问题.【解答】解:(1)将点A(2,5)坐标代入y=mm=2×5=10,所以反比例函数的解析式为y=10将点B(n,1)坐标代入y=10n=10,所以点B的坐标为(10,1).将A,B两点坐标代入y=kx+b得,2k+b=510k+b=1解得k=-所以一次函数解析式为y=-(2)由函数图象可知,当x<0或2<x<10时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,即kx+b>m所以不等式kx+b-mx>0得解集为:x<0或2(3)过点B作x轴的对称点B′,连接AB′,PB,根据两点之间线段最短可知,当点P在AB′与x轴的交点处时,AP+PB′取得最小值,即PA+PB取得最小值.因为点B的坐标为(10,1),所以点B′的坐标为(10,﹣1),则AB′=(10-2所以PA+PB的最小值为10.【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键.2.(2024•驻马店模拟)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(x>0)的图象与直线OA交于点A(8,4),过点A作AB(1)求k的值;(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AO的垂直平分线;(要求:不写作法,保留作图痕迹)(3)(2)中所作的垂直平分线与AB交于点C,与x轴交于点D,连接OC、AD,求证:四边形OCAD是菱形.【考点】反比例函数综合题.【专题】反比例函数及其应用;三角形;图形的全等;运算能力;推理能力.【答案】(1)k=32;(2)见解析;(3)证明见解析.【分析】(1)把点A坐标代入反比例函数中求出即可.(2)分别以点O,A为圆心,以大于12OA的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线(3)由作图易知:OC=AC,OD=AD,证明得到OC=OD,从而证出OC=AC=AD=OD结论.【解答】解:(1)∵点A(8,4)在反比例函数y=kx(x∴k=4×8=32;(2)如图,分别以点O,A为圆心,以大于12OA的长为半径画弧,两弧分别相交于M,N两点,作直线MN即为线段(3)证明:设垂直平分线与OA交于点E,由作图易知:OC=AC,OD=AD,∴∠COA=∠CAO,∵AB⊥y轴于点B,∴AB∥OD,∴∠CAO=∠AOD,∴∠COA=∠AOD,又∵OE=OE,∠CEO=∠DEO=90°,∴△OCE≌△ODE(ASA),∴OC=OD,∴OC=AC=AD=OD,∴四边形OCAD是菱形.【点评】本题考查反比例函数综合,全等三角形的判定与性质,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.3.(2024•湖北模拟)如图,直线l:y=x+2的与曲线y=kx交于点A(1,n),(1)求不等式x+2>(2)直线x=a(a>0)分别与l,双曲线交于C,D两点(点C与点D不重合),若AC=AD,求a的值.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【专题】反比例函数及其应用;应用意识.【答案】(1)﹣3<x<0或x>1;(2)a=3.【分析】(1)先把A(1,n)代入y=x+2,求解得A(1,3),再把A(1,3)代入y=kx,求解得y=3x,联立解析式,解方程组求得点B的坐标,然后观察(2)过点A作AE⊥CD于E,根据等腰三角形的性质得点E是CD,利用中点坐标公式即可求解.【解答】解:(1)把A(1,n)代入y=x+2,得n=1+2=3,∴A(1,3)把A(1,3)代入y=k3=k1,解得:k=y=3联立y=3xy=x+2,解得:x∴B(﹣3,﹣1)由图象可得:不等式x+2>kx的解集﹣3<x<0或x(2)如图,过点A作AE⊥CD于E,∵AC=AD,AE⊥CD∴CE=DE,E(a,3),当x=a时,则y=x+2=a+2,∴C(a,a+2)y=3∴D(a,∴a+2+解得:a1=1,a2=3,∵点C与点D不重合∴a=1不符合题意,舍去,∴a=3.【点评】本题考查一次函数与反比例函数交点问题,等腰三角形的性质,中点坐标,利用数形结合,用图象法求解是解题的关键.4.(2024•榕江县校级二模)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A(﹣2,﹣5),C(5,n),交y轴于点B,交(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接OA,OC,求△AOC的面积.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【专题】一次函数及其应用;反比例函数及其应用;运算能力.【答案】(1)一次函数解析式为y1=x﹣3,反比例函数解析式为y2(2)212【分析】(1)先将点A坐标代入反比例函数解析式,求出反比例函数解析式,进而可求出点C坐标,再用待定系数法即可求出一次函数解析式.(2)求出点D的坐标,将△AOC的面积转化为△COD与△AOD的面积之和即可解决问题.【解答】解:(1)将点A坐标代入反比例函数解析式得,m=﹣2×(﹣5)=10,所以反比例函数解析式为y2将点C坐标代入反比例函数解析式得,n=2,所以点C的坐标为(5,2),将A,C两点坐标代入一次函数解析式得,-2k+b=解得k=1b=-3所以一次函数解析式为y1=x﹣3.(2)将y=0代入一次函数解析式得,x=3,所以点D的坐标为(3,0),所以S△AOC=S△COD+S△AOD=1【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键.5.(2024•礼县模拟)如图,反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=﹣2x+m的图象交于点A(﹣1,4),BC⊥y轴于点D,分别交反比例函数与一次函数的图象(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)当OD=1时,求线段BC的长.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【专题】一次函数及其应用;反比例函数及其应用;运算能力.【答案】见试题解答内容【分析】(1)利用待定系数法即可求解;(2)由题意可知B、C的纵坐标为1,即可求得B(﹣4,1),C(12,1【解答】解:(1)∵反比例函数y=kx(x<0)与一次函数y=﹣2x+m的图象交于点A∴4=k-1,4=﹣2×(﹣1)+∴k=﹣4,m=2,∴反比例函数为y=-4x,一次函数为y=﹣2(2)∵BC⊥y轴于点D,∴BC∥x轴,∵OD=1,∴B、C的纵坐标为1,把y=1代入y=-4x,得x把y=1代入y=﹣2x+2,得x=1∴B(﹣4,1),C(12,1∴BC=12+4=【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解题的关键.6.(2024•汇川区三模)如图,在平面直角坐标系中,△OAB是等腰直角三角形,OB=4.反比例函数y=kx(x>0)的图象分别与OA,AB交于点C(2(1)求反比例函数的表达式和点D的坐标;(2)若一次函数y=mx与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上C,D之间的部分时(点M可与点C【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【专题】反比例函数及其应用;应用意识.【答案】(1)y=4x;(4,(2)14【分析】(1)利用待定系数法解得反比例函数的表达式;结合题意可知D的横坐标为4,进而计算点D的坐标;(2)分别计算当一次函数y=mx的图象经过点C,D时m的值,即可获得答案.【解答】解:(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C∴k=2×2=4,∴反比例函数的解析式为y=4∵△OAB是等腰直角三角形,OB=4,且AB与反比例函数y=kx(x>0)∴D的横坐标为4,对于反比例函数y=4x,当x=4时,y=∴点D的坐标为(4,1);(2)把D(4,1)代入y=mx得,m=1把E(2,2)代入y=mx得,m=1,∴m的取值范围是14【点评】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数综合应用等知识,运用熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键.7.(2024•东营)如图,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(﹣3,a),B(1,3),且一次函数与x轴,y轴分别交于点C,(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)根据图象直接写出不等式mx+n>k(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得S△OCP=4S△OBD,求点P的坐标.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【专题】一次函数及其应用;反比例函数及其应用;运算能力.【答案】(1)一次函数解析式为y=x+2;反比例函数解析式为y=3x;(2)﹣3<x<0或x>1;(3)点P(-3【分析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可;(2)根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可;(3)根据一次函数解析式先求出点C、D坐标,再设点P大坐标为(m,3m)利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P【解答】解:(1)∵一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(﹣3,a),B(1,∴k=1×3=﹣3×a,∴k=3,a=﹣1,∴反比例函数解析式为y=3一次函数y=mx+n图象过A(﹣3,﹣1),B(1,3),-3m+n=-1一次函数解析式为y=x+2;(2)由图象可知,不等式mx+n>kx的解集为:﹣3<x<0或x>(3)在一次函数y=x+2中,当x=0时,y=2;当y=0时,x=﹣2,∴C(﹣2,0),D(0,2)∴S△OBD=12∴S△OCP=4S△OBD=4,设点P大坐标为(m,3m∴12×2×解得m=-∴点P(-34,﹣【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,交点坐标满足两个函数解析式是关键.8.(2024•夏邑县校级一模)如图1是某新款茶吧机,开始加热时,水温每分钟上升20℃,加热到100℃时,停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)是通电时间x(min)的反比例函数.若在水温为20℃时开始加热,水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示.(1)将水从20℃加热到100℃需要4min.(2)在水温下降的过程中,求水温y关于通电时间x的函数表达式.(3)加热一次,水温不低于40℃的时间有多长?【考点】反比例函数的应用.【专题】反比例函数及其应用;应用意识.【答案】(1)4;(2)水温下降过程中,y与x的函数关系式是y=400(3)一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min.【分析】(1)根据水温升高的速度,即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间;(2)设水温下降过程中,y与x的函数关系式为y=k(3)分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间,再相减即可判断.【解答】解:(1)∵开机加热时每分钟上升20℃,∴水温从20℃加热到100℃,所需时间为100-2020=4(故答案为:4;(2)设水温下降过程中,y与x的函数关系式为y=k由题意得,点(4,100)在反比例函数y=kx的∴k4=解得:k=400,∴水温下降过程中,y与x的函数关系式是y=400(3)在加热过程中,水温为40℃时,20x+20=40,解得:x=1,在降温过程中,水温为40℃时,40=400解得:x=10,∵10﹣1=9,∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min.【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数,解题关键在于读懂图象,灵活运用所学知识解决问题.9.(2024•武都区校级二模)如图,一次函数y1=mx+n与反比例函数y2=kx(x>0)的图象分别交于点A(a,4)和点B(8,1),与坐标轴分别交于点C和点(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)在x轴上是否存在点P,使△COD与△ADP相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】反比例函数综合题.【专题】代数几何综合题;分类讨论;数据分析观念.【答案】见试题解答内容【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)分△COD∽△APD、△COD∽△PAD两种情况,建立比例关系求解即可.【解答】解:(1)把B(8,1)代入反比例函数y2得k=8,∴反比例函数的表达式为y2∵点A(a,4)在y2=∴a=2,即A(2,4),把A(2,4),B(8,1)两点代入y1=mx+n得4=2m+n1=8m+n,解得m=所以一次函数的表达式为y1(2)存在,理由:由(1)得一次函数的表达式为y1当x=0时,y=5,∴C(0,5).即OC=5.当y=0时,x=10,∴D点坐标为(10,0),即OD=10.∴CD=55∵A(2,4),∴AD=45设P点坐标为(b,0),由题意知,点P在点D左侧,则PD=10﹣b,由∠CDO=∠ADP可得:①当△COD∽△APD时,则ADCD∴45解得b=2.故点P坐标为(2,0);②当△COD∽△PAD时,则ADOD∴45解得b=0,即点P的坐标为(0,0).因此,点P的坐标为(2,0)或(0,0)时,△COD与△ADP相似.【点评】本题考查的是反比例函数综合运用,涉及到一次函数的性质、三角形相似等,其中(2),要注意分类求解,避免遗漏.10.(2024•山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=kx-7a12x+ba17kx﹣2-727(1)求a、b的值,并补全表格;(2)结合表格,当y=2x+b的图象在y=kx的图象上方时,直接写出【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;一次函数的图象;一次函数的性质;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数的性质.【专题】一次函数及其应用;反比例函数及其应用;运算能力;推理能力.【答案】(1)a=-2b=5,补全表格见解析;7;﹣2(2)x的取值范围为-72<x<【分析】(1)根据表格信息建立方程组求解a,b的值,再求解k的值,再补全表格即可;(2)由表格信息可得两个函数的交点坐标,再结合函数图象可得答案.【解答】解:(1)当x=-72时,2x+b=a,即﹣7+b当x=a时,2x+b=1,即2a+b=1,∴a-解得:a=-∴一次函数为y=2x+5,当x=1时,y=7,∵当x=1时,y=kx=7,即k∴反比例函数为:y=7当x=-72当y=1时,x=a=﹣2,当x=﹣2时,y=-补全表格如下:x-7﹣212x+b﹣217kx﹣2-77故答案为:7;﹣2;-7(2)由表格信息可得:两个函数的交点坐标分别为(-72,-2)∴当y=2x+b的图象在y=kx的图象上方时,x的取值范围为-72<【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合,利用图象法写自变量的取值范围,解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质.
考点卡片1.一次函数的图象(1)一次函数的图象的画法:经过两点(0,b)、(-bk,0)或(1,k+b)作直线y=kx+注意:①使用两点法画一次函数的图象,不一定就选择上面的两点,而要根据具体情况,所选取的点的横、纵坐标尽量取整数,以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线(正比例函数是过原点的直线),但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,y=b分别是与y轴,x轴平行的直线,就不是一次函数的图象.(2)一次函数图象之间的位置关系:直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移.注意:①如果两条直线平行,则其比例系数相等;反之亦然;②将直线平移,其规律是:上加下减,左加右减;③两条直线相交,其交点
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