2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：二次函数（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：二次函数（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•驻马店模拟）我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点（单位：分米），点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A（2，0.6）．设抛物线表达式为y＝ax2+c．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求以EF为直径的圆的周长．2．（2024•武威二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的横坐标及PM3．（2024•长沙模拟）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数y=-kx的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数y=-kx的交点称为二次函数y＝px（1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且AB＝3MN，求a的值；（3）若一次函数y＝ax+2b和反比例函数y=-cx的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令L=|4．（2024•新疆）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为：y1＝5x；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中(1（1）求出成本y2关于销售量x的函数解析式；（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润＝销售额﹣成本）5．（2024•汇川区三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱AB，CD均与地面垂直，且AB＝CD＝2m，AB、CD之间的水平距离BD＝8m．绳子最低点与地面的距离为1m．（1）按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如图（2）MN的高度为1.55m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应的函数关系式为y1＝a（x﹣2）2+k，且最低点离地面1.4米，求水平距离DN．（3）在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F2对应的函数关系式为y2＝0.09（x﹣5）2+1.19，将图（2）中F1，F2两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．6．（2024•清远模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A、B，其顶点为C．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标．7．（2024•湖北模拟）某超市用600元购买一种文具，若商品的进价上涨20%，则少买20件．在销售过程中发现：售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．（1）求该文具的进价；（2）设当天销售单价统一为x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍数），当天销售利润为y元．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）若每件文具的利润不超过80%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．8．（2024•信阳三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．9．（2024•东莞市校级一模）如图1：平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+92与x轴交于点A(-33，0)和点B（1）求抛物线表达式．（2）如图2，点D（0，3）是y轴上一点，连接AD，点P是直线AD上方抛物线上一个动点，过点P作PE∥y轴交直线AD于点E，在射线ED上取一点F，使得PE＝PF，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．（3）如图3，将原抛物线y＝ax2+bx+92沿射线AD方向平移4个单位长度，平移后抛物线y1的对称轴与x轴交于点N，射线AD上有一点G，连接GN，过点G作GN的垂线与抛物线y1交于点M，连接MN，若∠GMN＝30°，请直接写出点10．（2024•河北模拟）如图，已知抛物线L：y＝x2+mx与直线l：y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）若直线x＝a与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值；（3）M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标XM的取值范围．

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：二次函数（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•驻马店模拟）我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点（单位：分米），点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A（2，0.6）．设抛物线表达式为y＝ax2+c．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求以EF为直径的圆的周长．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣0.1x2+1；（2）以直径EF的圆的周长为10π分米．【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长，再由圆周长公式即可求解．【解答】解：（1）∵OC＝1，∴C（0，1），把A（2，0.6）和C（0，1）代入y＝ax2+c，得4a+c=0.6c=1解得：a=-∴抛物线解析式为：y＝﹣0.1x2+1；（2）设直线OA解析式为y＝kx，将A（2，0.6）坐标代入得，2k＝0.6，解得：k＝0.3，∴直线OA解析式为：y＝0.3x，联立函数解析式y=0.3xy=-0.1解得：x=-5∴点F坐标为（﹣5，﹣1.5）；∵抛物线的对称轴是y轴，∴点E的坐标为（5，﹣1.5），∴EF＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10（分米），∴直径EF的圆的周长为：π×10＝10π（分米）．【点评】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．2．（2024•武威二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的横坐标及PM【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；图形的相似；数据分析观念；推理能力．【答案】（1）y=14x2﹣x﹣（2）时点P（3，-15（3）点P的横坐标为3，MPAM有最大值9【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）由△PBC面积＝S△PHB+S△PHC=12×PH（3）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得MPAM【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得4a-2b+c=036a+6b+c=0∴y=14x2﹣x﹣（2）设直线l交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴6k+d=0d=-3，解得：k=∴y=12x﹣设P（t，14t2﹣t﹣3），则H（t，12t﹣则△PBC面积＝S△PHB+S△PHC=12×PH×BO＝3（12t﹣3-14t2+t+3）∵-34＜0当t＝3时，△PBC面积有最大值，此时点P（3，-15（3）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴MPAM设P（t，14t2﹣t﹣3），则F（t，12t﹣∴PF=12t﹣3-14t2+t+3=-∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴MPAM=PEAE=-14∴当t＝3时，MPAM有最大值9∴P（3，-15即点P的横坐标为3，MPAM有最大值9【点评】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将MPAM的最大值问题转化为求PFAE的最大3．（2024•长沙模拟）我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数y=-kx的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数y=-kx的交点称为二次函数y＝px（1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且AB＝3MN，求a的值；（3）若一次函数y＝ax+2b和反比例函数y=-cx的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令L=|【考点】二次函数综合题．【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是一次函数y＝x﹣3与反比例函数y=4x的“共同体”函数，“共赢点”是（﹣1，﹣4），（4，（2）a＝±22；（3）3＜L＜23【分析】（1）根据题干给出的定义，写出“共同体”函数以及其“共赢点”即可；（2）根据题干给出的定义，写出“共同体”函数，然后根据韦达定理以及两点间距离公式求出AB和MN的长，代入已知条件，求出a的值即可；（3）联立方程组，根据韦达定理求出L的值，在根据a，b，c的取值求出L的取值范围即可．【解答】解：（1）根据定义，二次函数y＝x2﹣3x﹣4中，p＝1，q＝﹣3，k＝4，∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4是一次函数y＝x﹣3与反比例函数y=4联立一次函数与反比例函数：y=x-解得：x=-1y=-4经检验，两组解均是方程组的解，∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4的“共赢点”是（﹣1，﹣4），（4，1）；（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点为M，N，∴令y＝0，则ax2+bx+c＝0，∴xM+xN=-ba，xMx∴MN=(∵二次函数y＝ax2+bx+c是一次函数y＝ax+b与反比例函数y=-∴由y=ax+by=-cx得ax+∴ax2+bx+c＝0，∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足：xA+xB=-ba，xAx纵坐标yA＝axA+b，yB＝axB+b，∴yA+yB＝a（xA+xB）+2b＝b，yAyB＝（axA+b）（axB+b）＝ac，∴AB==(=(-=b∵AB＝3MN，∴b2-4aca∴b2-4aca2+b2﹣4ac∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴1+a2＝9，∴a＝±22；（3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，a+a+c＞0，a+c+c＜0，∴﹣2＜a∵一次函数y＝ax+2b与反比例函数y=-ca的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标是x1，∴x1，x2是方程ax+2b=-ca，即ax2+2bx+c∴x1+x2=-2ba，x1x∵L＝|1x=(=(=(＝2b＝2(-a-c＝2(＝2(a∵﹣2＜a∴3＜2(ac即3＜L＜23【点评】本题主要考查了二次函数综合题，根据题干所给定义结合韦达定理来求解是本题解题的关键，另外（2）可以采用数形结合的方法，根据直线斜率和其夹角正切值的关系直接求解a值．4．（2024•新疆）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为：y1＝5x；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中(1（1）求出成本y2关于销售量x的函数解析式；（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润＝销售额﹣成本）【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力．【答案】（1）y2＝（x-12）2+74；（2）当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元；（3）当销售量是【分析】（1）依据题意，由顶点为（12，74），可设抛物线为y2＝a（x-12）2+74，又抛物线过（（2）依据题意，当销售量x=12时，成本最低为74，又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为：y1＝（3）依据题意，利润＝y1﹣y2＝5x﹣[（x-12）2+74]＝﹣（x﹣3【解答】解：（1）由题意，∵顶点为（12，7∴可设抛物线为y2＝a（x-12）2又抛物线过（2，4），∴a×94∴a＝1．∴y2＝（x-12）2（2）由题意，当销售量x=12时，成本最低为又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为：y1＝5x，∴当x=12时，销售额为y1＝5x＝5×∴此时利润为2.5-74答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元．（3）由题意，利润＝y1﹣y2＝5x﹣[（x-12）2＝﹣x2+6x﹣2＝﹣（x﹣3）2+7．∵﹣1＜0，∴当x＝3时，利润取最大值，最大值为7．答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．5．（2024•汇川区三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱AB，CD均与地面垂直，且AB＝CD＝2m，AB、CD之间的水平距离BD＝8m．绳子最低点与地面的距离为1m．（1）按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如图（2）MN的高度为1.55m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应的函数关系式为y1＝a（x﹣2）2+k，且最低点离地面1.4米，求水平距离DN．（3）在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F2对应的函数关系式为y2＝0.09（x﹣5）2+1.19，将图（2）中F1，F2两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）y=1（2）5；（3）1≤m≤2或4≤m≤5．【分析】（1）根据题意可得，抛物线的对称轴为x＝4，顶点坐标为（4，1），点A（0，2），点C（8，2），设设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）2+1，将点A（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+1求解即可；（2）根据F1的最低点离地面1.4米，可得k＝1.4，F1：y＝a（x﹣2）2+1.4，将点A（0，2）y＝a（x﹣2）2+1.4可求出抛物线F1的表达式，根据MN的高度为1.55m，令y＝1.55，求出横坐标的值，即可求得ON＝3，进而得到水平距离DN；（3）由于抛物线F1：y1=320(x-2)的对称轴分别为x＝2和x＝5，当0≤x≤2或3≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为x＝2+m，x＝5+m，由于平移不改变图形形状和大小，故当m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m时，y的值随x值的增大而减小，而新函数图象在5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，利用数形结合可知，区间5≤x≤6必须包含在m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m区间内，才能满足条件，分情况讨论即可得解．【解答】解：（1）（1）如图所示，由题意得，抛物线的对称轴为x=1顶点的坐标为：（4，1），点A（0，2），点C（8，2），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）2+1，将点A（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+1得：a（0﹣4）2+1＝2，a=1∴y=116(x-4)（2）如图所示，由题知，F1的最低点离地面1.4米，∴k＝1.4∴抛物线F1的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1.4，∵点A在抛物线F1上，∴当x＝0时，y＝2，∴4a+1.4＝2∴a＝0.15则抛物线F1的表达式为：y1=0.15∴当y＝1.55时，即1.55＝0.15（x﹣2）2+1.4，整理得：（x﹣2）2＝1∴x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去）∴ON＝3，DN＝OD﹣ON＝8﹣3＝5（米）．（3）由（2）题可知，抛物线F1：y1=320(x-2)的对称轴分别为x＝2和x＝5，此时，当0≤x≤2或3≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为x＝2+m，x＝5+m如图所示，∵平移不改变图形形状和大小，∴当m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m时，y的值随x值的增大而减小，∴当5≤x≤6时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤5且2+m≥6，得4≤m≤5，②3+m≤5且5+m≥6，得1≤m≤2，由题意知m＞0，综上所述，m的取值范围是1≤m≤2或4≤m≤5．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键．6．（2024•清远模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A、B，其顶点为C．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数的应用；运算能力．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）3；（3）PD有最大值，为2.25，此时P（1.5，0.75）．【分析】（1）先求出A、B的坐标，再根据待定系数法求解；（2）根据三角形的面积公式求解；（3）先求出PD的解析式，再根据二次函数的性质求出PD的最大值，此时x的值就是P的横坐标，进而求出其纵坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），由题意得：4a+k=-解得：a=-∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3；（2）由抛物线的顶点式得：C（2，1），设AC的解析式为：y＝bx﹣3，则2b﹣3＝1，解得：b＝2，∴AC的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，2x﹣3＝0，解得：x＝1.5，∴△ABC的面积为：12×（3﹣1.5）×（1+3）＝（3）设AB的解析式为：y＝mx﹣3，则：0＝3m﹣3，解得：m＝1，∴AB的解析式为：y＝x﹣3，∴点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴，设点P（x，﹣x2+4x﹣3），（0＜x＜3）则D（x，x﹣3），∴PD＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1.5）2+2.25，∴当x＝1.5时，PD有最大值，为2.25，此时P（1.5，0.75）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法、三角形的面积公式解二次函数的性质是解题的关键．7．（2024•湖北模拟）某超市用600元购买一种文具，若商品的进价上涨20%，则少买20件．在销售过程中发现：售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．（1）求该文具的进价；（2）设当天销售单价统一为x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍数），当天销售利润为y元．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）若每件文具的利润不超过80%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）该玩具的进价为5元/件；（2）y＝﹣10x2+210x﹣800；（3）每件文具售价为9元时，最大利润为280元．【分析】（1）设该玩具的进价为x元/件，根据商品的进价上涨20%，则少买20件，列出方程求解即可；（2）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式即可；（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）设该玩具的进价为x元/件，根据题意，得：600x解得：x＝5，经检验：x＝5是原方程的解，也符合题意，∴该玩具的进价为5元/件；（2）由题意，得y=(x-故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800；（3）∵每件文具利润不超过80%，∴x-55≤0.8，得x≤∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5，∵对称轴为x＝10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．【点评】本题考查了分式方程的应用研究，二次函数的应用．在实际生活中，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答．8．（2024•信阳三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；分类讨论；二次函数图象及其性质；数据分析观念．【答案】见试题解答内容【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的对称轴为x＝t，∵1＞0，∴抛物线开口向上，∵t﹣1≤x1≤t+2，∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，即y1的最大值为2；②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵对于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴x2Ⅰ、当x2由①知，x2＞x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t＜-1由②知，x2+x1＞2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＜0，∴t＜0，即t＜-1Ⅱ、当x2由x2﹣x1＜0得：x2＜x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＞3，∴t＞3即t＞3即满足条件的t的取值范围为t＜-12或t【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．9．（2024•东莞市校级一模）如图1：平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+92与x轴交于点A(-33，0)和点B（1）求抛物线表达式．（2）如图2，点D（0，3）是y轴上一点，连接AD，点P是直线AD上方抛物线上一个动点，过点P作PE∥y轴交直线AD于点E，在射线ED上取一点F，使得PE＝PF，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．（3）如图3，将原抛物线y＝ax2+bx+92沿射线AD方向平移4个单位长度，平移后抛物线y1的对称轴与x轴交于点N，射线AD上有一点G，连接GN，过点G作GN的垂线与抛物线y1交于点M，连接MN，若∠GMN＝30°，请直接写出点【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；图形的相似；数据分析观念．【答案】（1）y=-（2）△PEF周长的最大值为：252，P(（3）点M的坐标为：M1(533【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由C△PEF（3）证明△MRG∽△GTN，得到点M的坐标，即可求解．【解答】解：（1）A(-33，0)解得：a=-∴y=-（2）过P作PH⊥EF于点H，则∠PHE＝90°，设P(p，-12p2-3p+9∴△EPH∽△DAO，则PHPE则sin∠ADO=3则∠PEF＝∠ADO＝60°，而PE＝PF，则△PEF为等边三角形，则△PEF的周长＝3PE，∴PE最大时，C△PEF最大，直线AD：y=33x+3，E(p-12＜∵-3∴x=-433时，C△PEF最大为（3）原抛物线沿射线AD方向平移4个单位长度，相当于向右平移23、向上平移2个单位，则平移后的表达式为：y=-12x2+3x+132，则点当点M在G的右侧时，过点G作GT⊥x轴于点T，交过点M和x轴的平行线于点R，∵∠RGM+∠RMG＝90°，∠RGM+∠NGT＝90°，∴∠RMG＝∠NGT，∵∠MRG＝∠GTN＝90°，∴△MRG∽△GTN，∵∠GMN＝30°，则MG：GN=3即上述两个三角形的相似比为3，设点G（m，33m+3则GT=33m+3，TN=则RM=3GT＝m+33，RG=3TN＝3-则点M（2m+33，6-23将点M的坐标代入抛物线表达式得：6-233m=-12（2m+33）2+3（解得：m=335即M1(5当点M在G的左侧时，同理可得：M3综上，点M的坐标为：M1(533【点评】本题为考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形的知识，有一定的综合性，难度适中．10．（2024•河北模拟）如图，已知抛物线L：y＝x2+mx与直线l：y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）若直线x＝a与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值；（3）M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标XM的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；应用意识．【答案】（1）m的值为﹣2，b的值是2；（2）PQ的最大值为94（3）点M的横坐标xM的取值范围是﹣1≤xM＜2或xM＝3．【分析】（1）把A（2，0）代入y＝﹣x+b和y＝x2+mx，即可得m的值为﹣2，b的值是2；（2）设P（m，﹣m+2），则Q（m2﹣2m），可得PQ＝（﹣m+2）﹣（m2﹣2m）＝﹣（m-12）2+94，由二次函数性质可得（3）由y=-x+2y=x2-2x得A（2，0），B（﹣1，3），可知A、B的水平距离为3，分三种情况：当M在B左侧的直线AB上时，当M在线段AB上（不含A）时，当M在【解答】解：（1）把A（2，0）代入y＝﹣x+b得：﹣2+b＝0，解得b＝2，把把A（2，0）代入y＝x2+mx得：4+2m＝0，解得m＝﹣2，答：m的值为﹣2，b的值是2；（2）如图：由（1）可得抛物线L：y＝x2﹣2x与直线l：y＝﹣x+2，设P（m，﹣m+2），则Q（m，m2﹣2m），∵P在线段AB上，∴PQ＝（﹣m+2）﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+m+2＝﹣（m-12）2∵﹣1＜0，∴当m=12时，PQ取最大值，最大值为（3）由y=-x+2y=x2∴A（2，0），B（﹣1，3），∴A、B的水平距离为3，当M在B左侧的直线AB上时，向左平移3个单位长度得到点N，此时线段MN与抛物线无公共点，当M在线段AB上（不含A）时，向左平移3个单位长度得到点N，线段MN与抛物线只有一个公共点，∴此时﹣1≤xM＜2，当M在A右侧的直线AB上时，若xM＝3，则抛物线和线段MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上所述，点M的横坐标xM的取值范围是﹣1≤xM＜2或xM＝3．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、平移变换及最大（小）值等知识，解题的关键是对M的位置分类讨论．

考点卡片1．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．2．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与