专题35 中考命题核心元素相似三角形的基本模型的应用（原卷版）

专题35中考命题核心元素相似三角形的基本模型的应用（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

模型一A字型

基本图形：

DE∥BCDE与BC不平行

典例1（2023春•阜城县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，

另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1．

（1）△ADE的周长为；（2）直尺宽BD的长为．

针对训练

1．（2021•博山区一模）如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝5，∠C＝90°，点G是AB上的一个动点，过点

G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点，若△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形，则此时

PC长为（）

A．B．2C．D．

1593

2．（202121秋•汝城县期末）如图，AB＝16cm，AC＝1120cm，动点P，Q分别以4每秒2cm和1cm的速度同时开

始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为

止（点P到达点C后，点Q继续运动），当t＝时，△APQ与△ABC相似．

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模型二8字型

基本图形：

AB∥CDAB，CD不平行，∠A＝∠C或∠B＝∠D

典例2（2022•北京）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，，则AE的长为．

𝐴1

=

��4

针对训练

1．（2021秋•郸城县期中）如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．则

下列结论：▱

①；②；③；④CF2＝GF•EF．

𝐸𝐸𝐴𝐴��𝐴

===

其中��正确的��是（��）������

A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②

2．（2020秋•吉水县期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC；

（2）设．

𝐴1

=

①若BC�＝�20，2求线段BE的长；

②若△EFC的面积是36，求△ABC的面积．

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模型三母子型

基本图形：

典例3（2023•红花岗区校级一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，

则△ADC与△ABC的面积比是（）

A．1：B．1：2C．1：3D．1：4

针对训练2

1．（2022•苏州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求

证：△ADC∽△DEB．

2．（2022•德城区模拟）【基础巩固】

（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB．

【尝试应用】

（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF

＝5，BE＝3，求AD的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠BAD＝2

∠EDF，AE＝1，DF＝4，求菱形ABCD的边长（直接写出答案）．

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模型四一线三等角型

基本图形：

典例4（2022秋•武侯区校级期末）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好

落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为．

针对训练

1．（2021•信阳模拟）如图，AB是O的直径，直线DE与O相切于点C，过点A，B分别作AD⊥DE，

BE⊥DE，垂足为点D，E，连接⊙AC，BC．若AD＝1，C⊙E，则OA的长为（）

=3

A．1B．C．2D．

2．（2020秋•江都区期末）如图3，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边2上3的一个动点（点P不与点B、

C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．

（1）求证：AB•CQ＝PB•PC；

（2）当CQ最大时，求BP的长．

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模型五旋转型

基本图形：

典例5（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，

C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．

（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；

（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．

针对训练

1．（2020秋•丹阳市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，

旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长

度为（）

A．3B．2C．5D．

5

22

2．（2020•长丰县一模）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边A2C、AB上，AG⊥BC

于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．

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模块二2023中考押题预测

一．选择题

1．（2019秋•瑶海区期末）如图，在ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF

的面积与△BAF的面积之比为（▱）

A．3：4B．9：16C．4：3D．16：9

2．（2016•东胜区校级三模）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠

BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB3的距离等于（结果保留根号）（）

A．B．C．1D．

23

3

3．（20221•仙桃校级模拟）如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别

在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；

③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

二．填空题

4．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC∽△ABC，应添加的条件可以

是．

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5．（2018秋•惠山区校级月考）在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，点E、F分别为边AB、BC上的

两个动点，E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运

动时间为t秒．若∠AFD＝∠AED，则t的值．

6．（2022•西宁二模）如图，矩形AOBC的顶点A，B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC

上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则D点坐标是．

三．解答题

7．（2020秋•安徽月考）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，E，F三点在一条直线上，

连接FA并延长交边CB的延长线于点H．

（1）求证：△HCA∽△HFC；

（2）求的值；

��

（3）若�H�C＝6，HB＝2，求正方形AEFG的边长．

8．（2022秋•徐州期末）如图，在△PAB中，C、D为AB边上的两个动点，PC＝PD．

（1）若PC＝CD，∠APB＝120°，则△APC与△PBD