专题5 选择题重点出题方向二次函数的图象与性质专项训练（解析版）

专题5选择题重点出题方向二次函数的图象与性质专项训练

模块一2022中考真题集训

类型一二次函数的图象和性质

1．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9

的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

思路引领：利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．

解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），

∴3＝a+2，

∴a＝1，

∴y＝x2+2，

∵Q（m，n）在y＝x2+2上，

∴n＝m2+2，

∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，

∵（m2﹣2）2≥0，

∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．

故选：A．

总结提升：本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配

方法解决问题．

2．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）

A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上

C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点

思路引领：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；

B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；

C、根据对称轴公式计算；

D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．

解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），

得y＝6≠2，

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∴A错误；

B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，

∵a＝﹣3＜0，

∴二次函数的图象开口方向向下，

∴B错误；

C、∵二次函数对称轴是直线x

�

=−

，2�

1

∴=C2错误；

D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，

∴﹣3x2+3x+6＝3x，

∴﹣3x2+6＝0，

∵b2﹣4ac＝72＞0，

∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，

∴D正确；

故选：D．

总结提升：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、

正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．

3．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值

为（）

A．或4B．或C．或4D．或4

14141

−−−

思路2引领：分两种情况讨论3：当2a＞0时，﹣a＝﹣43，解得a＝4；当a＜02时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣

4，解得a．

1

解：y＝a（=x−﹣21）2﹣a的对称轴为直线x＝1，

顶点坐标为（1，﹣a），

当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，

∵y的最小值为﹣4，

∴﹣a＝﹣4，

∴a＝4；

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当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，

∴9a﹣a＝﹣4，

解得a；

1

=−

综上所述：2a的值为4或，

1

故选：D．−2

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，

在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．

类型二二次函数的字母系数相关问题

4．（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x，且与x轴

1

的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于=x−的2一元二次方

程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）

A．①③B．②④C．③④D．②③

思路引领：根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对

称轴可知a＝b．图象过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函数最小值小于0，从

而可判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解．

解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，

�

∴b＞0，−2�

∴abc＜0，故①不符合题意．

②由题意可知：，

�1

∴b＝a，故②符−合2题�意=．−2

③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，

∴4a﹣2b+c＝0，

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∵a＝b，

∴2a+c＝0，故③符合题意．

④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，

令y＝1代入y＝ax2+bx+c，

∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．

故选：D．

总结提升：本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关

系，本题属于基础题型．

5．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）

A．函数图象的开口向下

B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）

C．该函数有最大值，最大值是5

D．当x＞1时，y随x的增大而增大

思路引领：通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．

解：y＝（x﹣1）2+5中，

x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；

函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；

函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；

函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．

故选：D．

总结提升：本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．

6．（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点

P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）

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A．b2＞﹣8a

B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm

C．3a﹣2＞0

D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0

思路引领：根据函数图象可知a＞0，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出b＝2a，也可得出函

数的最小值，在x＝﹣1处取到，由此可判断B；令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），

根据函数图象可直接判断D；C没有直接条件判断．

解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x1，

�

∴b＝2a，=−2�=−

∴b2＞0，﹣8a＜0，

∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；

∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，

∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合

题意；

∵l∥x轴，

∴y1＝y2，

令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），

∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．

∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；

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∵a＞0，

∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；

故选：C．

总结提升：本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题

关键．

7．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则

下列结论错误的是（）

A．a＞0

B．a+b＝3

C．抛物线经过点（﹣1，0）

D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根

思路引领：根据题意做出抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，根据图象的性质做出解答即可．

解：由题意作图如下：

由图知，a＞0，

故A选项说法正确，不符合题意，

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），

∴a+b+c＝0，c＝﹣3，

∴a+b＝3，

故B选项说法正确，不符合题意，

∵对称轴在y轴的左侧，

∴抛物线不经过（﹣1，0），

故C选项说法错误，符合题意，

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由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两

个不相等的实数根，

故D选项说法正确，不符合题意，

故选：C．

总结提升：本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

8．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点

（1，1），（，），（，），……都是和谐点．

11

−2−2

（1）判断函数2y＝22x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．

55

①求a，c的值；22

②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．

1

思路引领：（1）设函数y＝2x+1的和+谐4点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；

（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程

55

联立即可求a2、c2的值；

②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝

﹣1，则3≤m≤5时满足题意．

解：（1）存在和谐点，理由如下，

设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），

∴2x+1＝x，

解得x＝﹣1，

∴和谐点为（﹣1，﹣1）；

（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，

55

∴a+15+c2，2

525

=

∴c24a，

2525

∵二=次−函4数−y＝2ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，

∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，

∴Δ＝25﹣4ac＝0，

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∴a＝﹣1，c；

25

②由①可知=y−＝﹣4x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，

∴抛物线的对称轴为直线x＝3，

当x＝1时，y＝﹣1，

当x＝3时，y＝3，

当x＝5时，y＝﹣1，

∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；

当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函

数的性质结合解题是关键．

类型三抛物线的旋转、平移

9．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向

下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）

A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1

思路引领：根据图象的平移规律，可得答案．

解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物

线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．

故选：D．

总结提升：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求

函数解析式．

类型四抛物线与方程（组）、不等式（组）之间的关系

10．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的

对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④

点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（）

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A．1个B．2个C．3个D．4个

思路引领：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根

据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；

①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c已经修改＞0，故abc＜0，

故①正确，符合题意；

②∵x1，即b＝﹣2a，

�

而x＝﹣=−1时2�，=y＝0，即a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，

∴3a+c＝0．

∴②正确，符合题意；

③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，

∴③错误，不符合题意；

④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，

当x＝2时，y2＞0，

∴有y1＜0＜y2，

故④正确，符合题意；

故选：C．

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总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a

决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系

数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b

异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；

抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，

抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

11．（2022•青岛）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），

则下列结论正确的是（）

A．b＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．3a+c＝0

思路引领：根据抛物线的开口方向及对称轴位置判断选项A；根据对称轴x＝﹣1及过点（﹣3，0）求出

抛物线与x轴的另一个交点，据此来判断选项B；当x＝1时，二次函数的值y＝a+b+c，据此判断选项C；

根据对称轴得出a，b之间的关系，并代入y＝a+b+c中，据此判断选项D．

解：选项A：∵抛物线开口向下，

∴a＜0．

∵对称轴为直线x＝﹣1，

∴1．

�

∴b−＝2�2a=．−

∴b＜0．故选项A错误；

选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为（x1，0），

则抛物线的对称轴可表示为x（x1﹣3），

1

=2

∴﹣1（x1﹣3），解得x1＝1，

1

∴抛物=线2与x轴的两个交点为（1，0）和（﹣3，0）．

又∵抛物线开口向下，

∴抛物线与y轴交于正半轴．

∴c＞0．故选项B错误．

选项C：∵抛物线过点（1，0）．

∴a+b+c＝0．故选项C错误；

选项D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，

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∴3a+c＝0．故选项D正确．

故选：D．

总结提升：本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的位置与有关系数的关系是解题的关

键．

12．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物

线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上

1

22

的两个点，则y1＜y2；④方程ax+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时2，函数y＝ax+（b

﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）

A．2B．3C．4D．5

思路引领：利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结

论进行逐一判断即可得出结论．

解：∵抛物线的开口方向向下，

∴a＜0．

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

∴1，

�

∴b−＝2�2a=，−b＜0．

∵a＜0，b＜0，

∴ab＞0，

∴①的结论正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），

∴9a﹣3b+c＝0，

∴9a﹣3×2a+c＝0，

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∴3a+c＝0．

∴4a+c＝a＜0，

∴②的结论不正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），

∵a＜0，

∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．

∵＞0＞﹣1，

1

∴2y1＞y2．

∴③的结论不正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），

∴抛物线一定经过点（1，0），

∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，

2

∴方程ax+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，

∴④的结论正确；

∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），

∴﹣3k+c＝0，

∴c＝3k．

∵3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴3k＝﹣3a，

∴k＝﹣a．

∴函数y＝ax2+（b﹣k）x

＝ax2+（2a+a）x

＝ax2+3ax

＝aa，

329

∵a＜(�0+，2)−4

∴当x时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，

3

=−2

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∴⑤的结论不正确．

综上，结论正确的有：①④，

故选：A．

总结提升：本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次

函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得a，b的

关系式是解题的关键．

13．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：

①2a+b＜0；

②当x＞1时，y随x的增大而增大；

③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

思路引领：根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；

根据一元二次方程根的判别式判断③．

解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），

∴a+b+c＝0，

∵a＜c，

∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；

②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，

∴b＜0，

∴对称轴x＞1，

�

=−

∴当1＜x＜2�时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；

�

③∵a+b+c＝−02，�

∴b+c＝﹣a，

对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，

∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；

故选：C．

总结提升：本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，

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熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．

类型五二次函数与几何、代数的综合运用

14．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运

动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：

①c≥﹣2；

②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABCD为平行四边形时，a．

1

其中正确的是（）=2

A．①③B．②③C．①④D．①③④

思路引领：根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到

①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取

到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即

可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行

四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．

解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），

∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），

又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），

∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；

∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，

∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；

若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，

∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，

∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；

令y＝0，则ax2+bx+c＝0，

CD2＝（）2﹣4，

2

���−4��

2

−�×�=�

根据顶点坐标公式，2，

2

4��−�

=−

∴8，即4�8，

22

4��−��−4��

=−=

��

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∴CD28，

18

∵四边=形�A×BC=D�为平行四边形，

∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，

∴42＝16，

8

=

解得�a，故④正确；

1

综上所=述2，正确的结论有①③④．

故选：D．

总结提升：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根

与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．

模块二2023中考压题预测

15．（2023•徐汇区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP

＝1，下列选项中正确的是（）

A．a＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．b＜0

思路引领：由二次函数的图像和性质，即可判断．

解：A、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像开口向下，a＜0，故A不符合题意；

B、当x＝0时，y＝c＞0，故B不符合题意；

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C、当x＝1时y＝a+b+c＜0，故C不符合题意；

D、抛物线的对称轴是直线x＜0，由a＜0，得到b＜0，故D符合题意．

�

故选：D．=−2�

总结提升：本题考查二次函数的图像与系数的关系，关键是掌握：二次函数的性质．

16．（2022•巴州区校级模拟）已知二次函数y＝（x+a﹣2）（x+a+2）﹣5a+3（其中x是自变量）的图象与

x轴有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）

A．a＜2B．＞C．＜D．

111

思路引领：先将所给的二次�函数−整5理，再根据图象−与5≤x轴�有2公共点，得−出5判≤别�式≤Δ2≥0，从而解得a＜2；

然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a，

1

从而得出选项．≥−5

解：y＝（x+a﹣2）（x+a+2）﹣5a+3＝x2+2ax+a2﹣5a﹣1，

∵图象与x轴有公共点，

∴Δ＝（2a）2﹣4（a2﹣5a﹣1）≥0，

解得a；

1

≥−

∵抛物线的5对称轴为直线xa，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，

2�

∴a＜2，=−2=−

∴实数a的取值范围是＜．

1

故选：C．−5≤�2

总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数

的性质是解题的关键．

17．（2022•凤泉区校级一模）关于抛物线y＝﹣2x2+4x+1，下列说法正确的是（）

A．开口向上B．对称轴是直线x＝2

C．顶点坐标是（1，3）D．x＞2时，y随x增大而减小

思路引领：利用二次函数的图象与性质判断．

解：抛物线y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，

﹣2＜0，开口向下，对称轴x1，

�4

顶点坐标（1，3），当x＞1时=−，2y�随=x−增−大4=而减小，

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∴只有C选项正确．

故选：C．

总结提升：本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．

2

18．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴

的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（）

A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．abc＞0D．a+b＞0

思路引领：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根

据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

故A错误，不符合题意；

由图象可知当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，

故B错误，不符合题意；

∵抛物线开口方向向下，

∴a＜0．

∵抛物线与x轴的交点是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，

∴对称轴x＞0，

�

∴b＞0．=−2�

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，

故C错误，不符合题意；

∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，

∴1＜x1+x2＜2，

∴＜＜1，

1�1+�2

22

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∴＞，

�1

∴b−＞2�﹣a，2

即a+b＞0，

故D正确，符合题意．

故选：D．

总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用

了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．

19．（2022•新兴县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，m），（3，m）两点，下列结论：①

2

b﹣4ac＞0；②抛物线在x＝1处取得最值；③无论m取何值，均满足3a+c＝m；④若（x0，y0）为该

抛物线上的点，当x＜﹣1时，y0＜m一定成立．正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

思路引领：由于m的值不确定，无法判断抛物线与x轴有没有交点，故可以判断①；根据抛物线y＝

ax2+bx+c经过（﹣1，m），（3，m）两点，可以求出抛物线对称轴为x＝1，故可以判断②；根据抛物

经过（﹣1，m），（3，m）两点线③；根据a＞0和a＜0时，由函数的性质可以判断④．

解：当m＝0时，抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∵m的值不确定，

∴b2﹣4ac＞0不一定成立，

故①错误；

∵抛物线过（﹣1，m），（3，m）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x1，

−1+3

∴当x＝1时，抛物线取得最=值，2=

故②正确；

∵（﹣l，m），（3，m）两点均在抛物线上，

∴，

�−�+�=�

解得9�3a++3c＝�+m，�=�

故无论m取何值，均满足3a+c＝m，

故③正确；

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当a＞0时，抛物线开口向上，

∴在直线x＝1的左侧，y随x的增大而减小，

∴当x0＜﹣1时，y0＞m；

当a＜0时，抛物线开口向下，

∴在直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大，

当x0＜﹣1时，此时y0＜m，

故④错误．

故选B．

总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌

握和运用．

20．（2022•大名县校级四模）若抛物线y＝（x+1）（x﹣1）与x轴围成封闭区域（包含边界）内整点（点

的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则函数y＝kx（x＞0）的图象是如图所示的（）

A．L4B．L3C．L2D．L1

思路引领：找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k＝4，即可得出答案．

解：抛物线y＝（x+1）（x﹣1）当x＝0时，y＝﹣1，

当y＝0时，x＝﹣1或x＝1，

则抛物线y＝（x+1）（x﹣1）与x轴围成封闭区域（包括边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为

（﹣1，0）（0，0）（0，﹣1），（1，0）共有4个，

∴k＝4，

∴正比例函数的解析式为y＝4x，

故选：C．

总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数图象和性质、正比例函数的图象和性质，解决本

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题的关键是求出k的值．

21．（2022•威县校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示．甲、乙、丙三人关于x的

一元二次方程ax2+bx+c+m＝0（a≠0）的根的情况判断如下，其中正确的有（）

甲：当m＝1时，该方程没有实数根；

乙：当m＝3时，该方程有两个相等实数根；

丙：当m＝5时，该方程有两个不相等实数根

A．0个B．1个C．2个D．3个

思路引领：先把一元二次方程ax2+bx+c+m＝0（a≠0）的根的情况转化为直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c

的交点问题，再根据抛物线的最大值为﹣2，然后结合图形分类讨论即可．

解：∵ax2+bx+c+m＝0，

∴ax2+bx+c＝﹣m，

由图象可知，y＝ax2+bx+c的最大值为﹣2，

当m＝1时，

∵﹣1＞﹣2，

∴直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c没有公共点，

∴方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，

故甲正确；

当m＝3时，

∵﹣3＜﹣2，

∴直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c有两个公共点，

∴方程ax2+bx+c+m＝0有两个不等实数根，

故乙错误；

当m＝5时，

∵﹣5＜﹣2，

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∴直线y＝﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c有两个公共点，

∴方程ax2+bx+c+m＝0有两个不等实数根，

故丙正确；

故选：C．

总结提升：本题考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题．

2

22．（2022•峄城区校级模拟）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣4x﹣24x+a上的

三点，则（）

A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2

思路引领：由于抛物线开口向下，当x＝﹣3时，函数有最大值，再由抛物线上点与对称轴的距离越远，

对应的y轴就越小，即可求解．

解：∵y＝﹣4x2﹣24x+a的对称轴为直线x＝﹣3，

∴当x＝﹣3时，函数有最大值，

∵|﹣2﹣（﹣3）|＝1，|1﹣（﹣3）|＝4，

∴y3＜y2，

∴y3＜y2＜y1，

故选：A．

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，抛物线上点与对称轴的

关系是解题的关键．

23．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角

坐标系中的图象可能是（）

A．B．

C．D．

思路引领：利用一次函数的图象位置与系数的的关系，二次函数的图象位置与系数的关系判断．

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解：A选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，A选项不符合题意；

B选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线开口向下，一次函数y＝0时，x＜0，即＜0，抛物

�

−

线的对称轴＜0，B选项符合题意；�

�

−

C选项，根据一2�次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，一次函数y＝0时，x＜0，即＜0，

�

−

抛物线的对称轴＜0，C选项不符合题意；�

�

−

D选项，根据一次函2�数的位置可知，a＜0，抛物线应该开口向下，一次函数y＝0时，x＞0，即＞0，

�

−

抛物线的对称轴＞0，D选项不符合题意；�

�

故选：B．−2�

总结提升：本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象，解题的关键是掌握一次函数的图象位置与系

数的的关系，二次函数的图象位置与系数的关系．

24．（2022•东宝区校级模拟）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连

接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（）

A．B．C．D．1

112

22

思路4引领：分别作AE、BF8垂直于x轴于点E、F8，设OE＝a，OF＝b则AE＝4a，BF＝4b，作AH⊥

BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），可证明△ADG∽△ABH，则m＝4ab．再

证明△AEO∽△OFB，可得ab，则m＝4ab，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，），点

111

==

C是在以DO为直径的圆上运动，16当点C到y轴距4离为DO时，点C到y轴的距离最大．4

11

=

解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，28

设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝4x2，

则AE＝4a2，BF＝4b2，

作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，

设点D（0，m），

∵DG∥BH，

∴△ADG∽△ABH，

∴，即，

2

𝐷𝐷�−4��

=22=

化简𝐵得：m�＝4ab．4�−4��+�

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∵∠AOB＝90°，

∴∠AOE+∠BOF＝90°，

又∠AOE+∠EAO＝90°，

∴∠BOF＝∠EAO，

又∠AEO＝∠BFO＝90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴，即，

2

𝐴��4��

==2

化简𝑂得a�b�，�4�

1

=16

则m＝4ab，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，），

11

=

∵∠DCO＝940°，DO，4

1

∴点C是在以DO为直=径4的圆上运动，

∴当点C到y轴距离为DO时，点C到y轴的距离最大，

11

=

故选：B．28

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性

质，确定C点的轨迹是解题的关键．

25．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐

标为（）

A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）

思路引领：先把y＝x2+4x﹣1配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），再把点（﹣2，﹣5）

向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度得到点的坐标为（﹣1，﹣4）．

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解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），

把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（﹣1，﹣4）．

故选：C．

总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平

移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数

法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

26．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣

1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+cm．其中正确的是（）

1

=2

A．①B．②C．都对D．都不对

思路引领：由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c

�

并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2