专题15纯函数的计算推理综合问题（解析版）

专题15纯函数的计算推理综合问题

【例1】（2021·北京·中考真题）已知二次函数yax2bx(a0)，其对称轴为直线x=t．

（1）当a=1，b=4时，t=________；

（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t的取值范围是________；

（3）已知点C(0，a)，D(2，3a2b)，若此二次函数图象与线段CD有且仅有一个公共点，求t的

取值范围．

1

【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤

8

【解析】

【分析】

（1）利用对称轴公式，即可求解；

（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B离对称

轴更近，进而即可求解；

（3）分两种情况①当a＞0时，得到ya222b3a2b，②当a＜0时，得到ya222b3a2b，

进而即可求解．

【详解】

解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数yx24x，

∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，

故答案是：-2；

（2）∵当a<0时，二次函数yax2bx(a0)的图像开口向下，

又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，

∴点B离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，

∴t＞3，

故答案是：t＞3；

（3）①当a＞0时，

∵C(0，a)在y轴的正半轴，yax2bx(a0)的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD有且

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仅有一个公共点，

∴只要ya222b3a2b即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，

b1b1

∴≤，即：t=≤，

2a82a8

②当a＜0时，同理可得：只要ya222b3a2b，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，

b1b1

∴≤，即：t=≤，

2a82a8

1

综上所述：t≤．

8

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．

【例2】（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．

（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；

（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；

（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象

的交点在x轴下方，求a的范围．

a1

【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜a2．

2

【解析】

【分析】

（1）根据顶点坐标公式即可得答案；

（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；

（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平

行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．

【详解】

（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，

a1a1

∴顶点横坐标为=．

2(1)2

（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=(x1)(xa)=﹣（x﹣p）（x﹣a），

∴p=-1．

（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=(x1)(xa)，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），

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∵-1＜0，

∴该二次函数的图象开口向下，

∵图象的顶点在y轴右侧，

a1

∴＞0，

2

∴a1，

∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，

∴-1＜m＜a，

∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，

∴a(1)≤3，

解得：a2，

∴a的范围为1＜a≤2．

【点睛】

本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．

【例3】（2021·山东威海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yx22mx2m2m的顶点为A．

（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；

（2）若点B2,yB，C5,yC在抛物线上，且yByC，则m的取值范围是；（直接写出结果即

可）

（3）当1x3时，函数y的最小值等于6，求m的值．

27141

【答案】(1)顶点A的坐标为(-m,m-m)；(2)m；(3)m或2

24

【解析】

【分析】

(1)将抛物线解析式化成y(xm)2m2m的形式，即可求得顶点A的坐标；

(2)将B2,yB，C5,yC代入抛物线中求得yB和yC的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小

值，进而求出m的值．

【详解】

解：(1)由题意可知：

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抛物线yx22mx2m2m(xm)2m2m，

∴顶点A的坐标为(-m,m2-m)；

22

(2)将B2,yB代入yx2mx2mm中，

222

得到yB22m22mm2m3m4，

22

将C5,yC代入yx2mx2mm中，

222

得到yC52m52mm2m9m25，

由已知条件知：yByC，

∴2m29m252m23m4，

整理得到：6m21，

7

解得：m，

2

7

故m的取值范围是：m；

2

(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为xm，

分类讨论：

①当m1，即m1时，

x1时二次函数取得最小值为y122m2m2m2m2m1，

又已知二次函数最小值为6，

141141

∴2m2m16，解得m或m，

44

141

又m1，故m符合题意；

4

②当m3，即m3时，

x3时二次函数取得最小值为y322m32m2m2m25m9，

又已知二次函数最小值为6，

3

∴2m25m96，解得m或m1，

2

3

又m3，故m或m1都不符合题意；

2

③当1£-m£3，即3m1时，

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xm时二次函数取得最小值为ym22m22m2mm2m，

又已知二次函数最小值为6，

∴m2m6，解得m3或m2，

又3m1，故m2符合题意；

141

综上所述，m或2．

4

【点睛】

本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练

掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．

【例4】（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数yax2bxc的图像经过2,1,2,3两点．

（1）求b的值．

（2）当c1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．

（3）设m,0是该函数的图像与x轴的一个公共点，当1m3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范

围．

4

【答案】（1）b1；（2）1；（3）a0或a．

5

【解析】

【分析】

（1）将点2,1,2,3代入求解即可得；

（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；

（3）分a0和a0两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．

【详解】

4a2bc1

解：（1）将点2,1,2,3代入yax2bxc得：，

4a2bc3

两式相减得：4b4，

解得b1；

（2）由题意得：a0，

11

由（1）得：yax2xca(x)2c，

2a4a

1

则此函数的顶点的纵坐标为c，

4a

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将点2,3代入yax2xc得：4a2c3，

解得4ac1，

11

则cc，

4ac1

下面证明对于任意的两个正数x0,y0，都有x0y02x0y0，

2

(x0y0)x0y02x0y00，

x0y02x0y0（当且仅当x0y0时，等号成立），

当c1时，c10，

1111

则cc112(c1)11（当且仅当c1，即c=0时，等号成立），

c1c1c1c1

1

即c1，

4a

故当c1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；

（3）由4a2c3得：c4a1，

则二次函数的解析式为yax2x4a1(a0)，

由题意，分以下两种情况：

①如图，当a0时，则当x1时，y0；当x3时，y0，

a14a10

即，

9a34a10

解得a0；

②如图，当a0时，

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当x1时，ya14a13a0，

当x3时，y9a34a10，

4

解得a，

5

4

综上，a的取值范围为a0或a．

5

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．

【例5】（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数yax2bx1（a，b是常数，a0）．

（1）若该函数的图象经过1,0和2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．

（2）写出一组a，b的值，使函数yax2bx1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知ab1，当xp,q（p，q是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若pq2，

求证PQ6．

【答案】（1）yx22x1，顶点坐标是1,0；（2）a1，b3，理由见解析；（3）见解析．

【解析】

【分析】

（1）把点1,0和2,1代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；

（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；

2

（3）由题意，得Pp2p1，Qq2q1，则有PQ2q16，进而问题可求解．

【详解】

ab10

解：（1）把点1,0和2,1代入得：，

4a2b11

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a1

解得，

b2

2

∴yx22x1，则化为顶点式为yx1，

∴该函数图象的顶点坐标是1,0；

（2）例如a1，b3，此时yx23x1；

因为b24ac50，

所以函数yx23x1图象与x轴有两个不同的交点；

（3）由题意，得Pp2p1，Qq2q1，

∵pq2，

∴PQp2p1q2q1

p2q24

2

2qq24

2

2q166，

由题意，知q1，

所以PQ6．

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

【例6】（2021·天津·中考真题）已知抛物线yax22axc（a，c为常数，a0）经过点C0,1，顶点

为D．

（Ⅰ）当a1时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）当a0时，点E0,1a，若DE22DC，求该抛物线的解析式；

（Ⅲ）当a1时，点F0,1a，过点C作直线l平行于x轴，Mm,0是x轴上的动点，Nm3,1是

直线l上的动点．当a为何值时，FMDN的最小值为210，并求此时点M，N的坐标．

12327

【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为(1,2)；（Ⅱ）yxx1或yx3x1；（Ⅲ）点M的坐标为,0，

226

11

点N的坐标为,1

6

第8页共59页.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得

到答案

（Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为yax22ax1；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为

13

(1,a1)；过点D作DGy轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得a，a，从而得

1222

到答案；

（Ⅲ）当a1时，将点D(1,a1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得D(2,a)；作点F

关于x轴的对称点F，当满足条件的点M落在线段FD上时，根据两点之间线段最短的性质，得FMDN

5

最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得a1，从而得直线FD的解析式，通过计算即

2

可得到答案．

【详解】

（Ⅰ）当a1时，抛物线的解析式为yx22xc．

∵抛物线经过点C(0,1)

∴00c1

解得：c1

∴抛物线的解析式为yx22x1

∵yx22x1(x1)22

∴抛物线的顶点坐标为(1,2)；

（Ⅱ）当a0时，由抛物线yax22axc经过点C(0,1)，可知c1

∴抛物线的解析式为yax22ax1

∴抛物线的对称轴为：x1

当x1时，ya1

∴抛物线的顶点D的坐标为(1,a1)；

过点D作DGy轴于点G

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在Rt△DEG中，DG1，EG1a(a1)2a2，

∴DE2DG2EG21(2a2)2

在RtDCG中，DG1，CG1(a1)a，

∴DC2DG2CG21a2．

∵DE22DC，即DE28DC2，

∴1(2a2)281a2

13

解得：a，a

1222

13

∴抛物线的解析式为yx2x1或yx23x1．

22

（Ⅲ）当a1时，将点D(1,a1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得D(2,a)．

作点F关于x轴的对称点F，得点F的坐标为(0,a1)

当满足条件的点M落在线段FD上时，FMDN最小，

此时，FMDNFD210．

过点D¢作DHy轴于点H

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在RtFDH中，DH2，FHa(a1)12a，

∴FD2F2H2DH2(12a)24．

又FD240，即(12a)2440．

57

解得：a，a（舍）

1222

75

∴点F的坐标为0,，点D¢的坐标为2,．

22

7

∴直线FD的解析式为y3x．

2

7

当y0时，x．

6

711

∴m，m3

66

711

∴点M的坐标为,0，点N的坐标为,1．

66

【点睛】

本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题

的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．

【例7】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数yx26x5．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当1x4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当t≤x≤t3时，函数的最大值为m，最小值为n，m-n=3求t的值．

【答案】（1）3,4；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）t33或3．

第11页共59页.

【解析】

【分析】

（1）把二次函数yx26x5配成顶点式即可得出结论；

（2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．

（3）分t＜0；0t3；t3三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可．

【详解】

2

（1）∵yx26x5x34，∴顶点坐标为3,4．

（2）∵顶点坐标为3,4，∴当x3时，y最大值4，

∵当1x3时，y随着x的增大而增大，∴当x1时，y最小值0．

∵当3x4时，y随着x的增大而减小，∴当x4时，y最小值3．

∴当1x4时，函数的最大值为4，最小值为0．

（3）当t≤x≤t3时，对t进行分类讨论．

①当t33时，即，t0，y随着x的增大而增大．

当xt时，nt26t5．

∴mnt24t26t56t9．

∴6t93，解得t1（不合题意，舍去）．

②当0t3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m4．

3

i）当0t时，在xt时，nt26t5，

2

∴mn4t26t5t26t9．

2

∴t6t93，解得t133，t233（不合题意，舍去）．

3

ii）当t3时在xt3时，nt24，

2

∴mn4t24t2．

∴2，解得，，（不合题意舍去）．

t3t13t23

③当t3时，y随着x的增大而减小，

当xt时，mt26t5，

第12页共59页.

2

当xt3时，nt36t35t24，

∴mnt26t5t246t9

∴6t93，解得t2（不合题意，舍去）．

综上所述，t33或3．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关

键，属于中考常考题型．

【例8】（2021·安徽·中考真题）已知抛物线yax22x1(a0)的对称轴为直线x1．

（1）求a的值；

（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且1x10，1x22．比较y1与y2的大小，并说

明理由；

（3）设直线ym(m0)与抛物线yax22x1交于点A、B，与抛物线y3(x1)2交于点C，D，求线段

AB与线段CD的长度之比．

【答案】（1）a1；（2）y1y2，见解析；（3）3

【解析】

【分析】

b

（1）根据对称轴x，代值计算即可

2a

（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果

23m

（3）先根据求根公式计算出x1m，再表示出AB|m1(m1)|，CDx1x2=，即可

3

得出结论

【详解】

2

解：（1）由题意得：x1

2a

\a=1

（2）抛物线对称轴为直线x1，且a10

当x1时，y随x的增大而减小，

当x1时，y随x的增大而增大．

第13页共59页.

当1x11时，y1随x1的增大而减小，

x1时，y4，x0时，y1

1y14

同理：1x22时，y2随x2的增大而增大

x1时，y0．

x2时，y1

0y21

y1y2

（3）令x22x1m

x22x(1m)0

(2)241(1m)

4m

24m

x1m

21

x1m1x2m1

AB|m1(m1)|

2m

令3(x1)2m

第14页共59页.

m

(x1)2

3

3m3m

x1x1

1323

23m

CDx1x2

3

AB2m

3

CD23m

3

AB与CD的比值为3

【点睛】

本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关

键，利用交点的特点解题是重点

一、解答题

2

1．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）设抛物线G1：y＝ax+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；

当0＜x＜c时，y＞0．

(1)试用含a，c的式子表示b；

(2)请比较ac和1的大小，并说明理由；

(3)若c＝2，点A（x，y1）在抛物线G1上，点B（x，y2）在另一条抛物线G2上，点C（x，x）为平面内一

点，若对于任意实数x点A、B到点C的距离都相等，设抛物线G2的顶点为点D，抛物线G1的对称轴与抛

物线G2的交点为F，直线DF解析式为y＝mx+n，请求出m的值．

【答案】(1)b＝﹣1﹣ac

(2)ac≤1，理由见解析

(3)1

【解析】

【分析】

（1）将xc，y0代入解析式可求解；

（2）由0xc时，y0可确定对称轴和c之间关系，即可确定ac和1的大小；

第15页共59页.

（3）先求出抛物线G2的解析式，再求出点D，点F的坐标代入直线解析式可求解．

(1)

解：当xc时，y0，

ac2bcc0，

c1，

acb10，

b1ac；

(2)

解：ac„1，

理由如下：当0xc时，y0，当xc时，y0，

b

二次函数yax2bxc的对称轴为直线x…c，即b„2ac

2a

bac1„2ac，

ac„1；

(3)

2

解：当c2，则抛物线G1的解析式为yax(12a)x2，

点A、B到点C的距离都相等，

y1xxy2，

2

y22xy1ax(32a)x2，

2

抛物线G2的解析式为yax(32a)x2，

32a4a24a9

点D(，)，

2a4a

12a

抛物线G的对称轴为直线x，

12a

12a4a24a5

点F(，)，

2a4a

直线DF解析式为ymxn，

4a24a932a

mn

4a2a

，

4a24a512a

mn

4a2a

解得：m1，

m的值为1．

第16页共59页.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是求出抛物线G2的解

析式．

9

2．（2022·福建三明·一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-4，0）和点B（5，）

4

1

（1）求证:a+b=；

4

（2）若抛物线经过点C（4，0）

①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD=2∠BAC，求点D的坐标；

②直线y=kx-2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上

的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标

【答案】（1）证明见解析；（2）①（-6,5）；②（0，0）

【解析】

【分析】

9

（1）把A（-4，0）和点B（5，）代入函数解析式计算即可；

4

（2）先求出抛物线和直线AB的解析式，求出直线AB关于x轴的对称直线AE，则∠BAE=2∠BAC，再过

B作AE的平行线与抛物线的交点即为D点；

（3）根据四边形对角线互相平分结合中点公式计算即可．

【详解】

9

（1）把A（-4，0）和点B（5，）代入函数解析式得：

4

16a4bc0

9

25a5bc

4

9

两个方程相减得：9a9b，

4

1

即a+b=

4

（2）∵抛物线经过点C（4，0）

16a4bc0

∴16a4bc0

9

25a5bc

4

第17页共59页.

1

解得：a,b0,c4

4

1

∴抛物线解析式为yx24

4

9

①∵A（-4，0）和点B（5，）

4

1

∴直线AB的解析式为yx1

4

∴直线AB与y轴的交点F坐标为（0,1）

∴点F关于x轴的对称点E坐标为（0，-1）

1

∴∠EAC=∠BAC，直线AE的解析式为yx1

4

∴∠BAE=2∠BAC

B作AE的平行线与抛物线的交点为D点

∴∠ABD=∠BAE=2∠BAC

1

∵直线AE的解析式为yx1

4

1

∴设BD解析式为yxb

41

917

代入B（5，）得BD解析式为yx

442

联立BD与抛物线解析式得：

第18页共59页.

17

yxx5

42x6

，解得9或

12yy5

yx44

4

∴D点坐标为（-6,5）

②∵M、N、P三个点在抛物线上，点Q在y轴上

111

∴设M(m,m24),N(n,n24),P(p,p24),Q(0,q)，

444

mnm2n2

∴MN中点坐标为(,4)

28

p11

PQ中点坐标为(,p2q2)

282

∵直线y=kx-2（k≠0）与抛物线交于设M，N两点

ykx2

1

∴，整理得2

12xkx20

yx44

4

∴mn4k,mn8

m2n21

∴4(mn)22mn42k22

88

∴MN中点坐标为(2k,2k22)

∵四边形MPNQ是平行四边形

∴MN和PQ互相平分，即MN、PQ的中点是同一个点

1

2kp

2

∴

11

2k22p2q2

82

11

整理得2k22(4k)2q2，解得q0

82

∴Q点坐标为（0，0）．

【点睛】

本题考查二次函数与几何的综合题，涉及到直线的对称与平行、平行四边形的性质等知识点，与到两倍角

问题通过对称构造倍角是解题的关键．

3．（2020·北京通州·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4a0与y轴交于点A．

（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；

（2）过点B0,3作y轴的垂线l，若抛物线yax24ax4a0与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的

第19页共59页.

交点的横坐标为m，且m1，结合函数的图象，求a得取值范围．

11

【答案】（1）A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x=2；（2）a＜−或a＞．

53

【解析】

【分析】

（1）由抛物线解析式可求出A的坐标和抛物线的对称轴；

（2）分a＞0和a＜0画出图形，求出a的值，由图象可得a的取值范围．

【详解】

解：（1）y=ax2-4ax+4=a（x-2）2+4-4a．

∴点A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x=2．

（2）当a＞0时，临界位置如图所示：

∵靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，

11

∴将点（1，3）代入抛物线解析式得：ax24ax10，x24(a),

a4

∵|m|＜1，

1

∴241，

a

1

∴a>．

3

当a＜0时，临界位置如图所示：

第20页共59页.

1

将点（-1，3）代入抛物线解析式得ax24ax43，x24，

a

∵|m|＜1，

1

∴-1<240，

a

1

∴a＜−．

5

11

∴a的取值范围为a＜−或a＞．

53

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y轴的交点．

4．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知抛物线yax2bx2与x轴交于A(1,0)和B两点，与y

„

轴交于C点，且AB5．对于该抛物线上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1x21时，总有y1y2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若过点A的直线l:ykxb1与该抛物线交于另一点E，与线段BC交于点F．作EG//AC，EG与BC

交于G点，求EG的最大值，并求此时E点的坐标；

（3）若直线yk1x4k13与抛物线交于P，Q两点(P，Q不与A，B重合），直线AP，AQ分别与y轴交

于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，试探究m、n之间的数量关系．

123453

【答案】（1）yxx2；（2）EG有最大值，此时E(2,3)；（3）mn

2252

【解析】

【分析】

（1）求得B点坐标，代入抛物线解析式，求解即可；

第21页共59页.

（2）求得直线l和BC的解析式，分别联立直线l和BC，直线l和抛物线，求得E、F两点，再根据相似三

角形表示出EG，即可求解；

（3）分别联立直线AP与抛物线，直线AQ与抛物线，求得P、Q两点，再根据P、Q两点和点(4,3)共线，

斜率相等，即可求解．

【详解】

解：（1）A(1,0)，AB5，

B(4,0)或B(6,0)，

当B(4,0)时，ax2bx20的两个根为x4或x1，

2b

4，3，

aa

13

a，b，

22

13

yx2x2，

22

3

函数的对称轴为直线x，

2

„

当x1x21时，总有y1y2，

13

函数的解析式为yx2x2；

22

当B(6,0)时，ax2bx20的两个根为x6或x1，

2b

6，7，

aa

17

a，b，

33

17

yx2x2，

33

7

函数的对称轴为直线x，

2

7

当„xx„1时，总有yy，

21212

17

yx2x2不符合题意；

33

13

综上所述：函数的解析式为yx2x2；

22

（2）分别过点E、F作ENAB，FMAB，如下图：

第22页共59页.

则EN//FM，∴△AFM∽△AEN，

AFAM

∴，

AEAN

AFAM

∴

EFMN

由题意可得，kb10，

∴b1k，

∴直线l解析式为ykxk，

∵C(0,2)，

设直线BC的解析式为yk2xb2，

1

b22k21

∴，解得2，即yx2，

4k2b202

b22

联立直线l和BC得：

42k

x

2k142k5k

解得，解得F(，)

5k2k12k1

y

2k1

联立直线l和抛物线得：

13

yx2x2

22，

ykxk

化简得：x2(2k3)x2k40，

∴xAxE32k，

∴xE42k，

EG//AC，

第23页共59页.

EGF∽ACF，

EGEFMN

，

ACAFMA

AC5，

42k

42k

EG

2k1，

42k

51

2k1

4545

EG(k1)2，

55

抛物线开口向下，对称轴为k1，

45

当k1时，EG有最大值，此时E(2,3)；

5

（3）直线AP经过点A(1,0)，M(0,m)，

直线AP的解析式为ymxm，

13

yx2x2

联立22，

ymxm

x42m

解得2，

y2m5m

P(42m,2m25m)，

直线AQ经过A(1,0)，Q(0,n)，

直线AQ的解析式为ynxn，

13

yx2x2

联立22，

ynxn

x42n

解得2，

y2n5n

Q(42n,2n25n)，

直线yk1x4k13经过定点K(4,3)，P、Q在直线上，

kPKkKQ，

2m25m32n25n3

，化简得：(2mn3)(mn)0

2m2n

∵M，N两点不重合，∴mn

3

∴mn

2

【点睛】

第24页共59页.

此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性

质，一次函数的性质等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．

5．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）已知，二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a≠0)

（1）当a为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；

1

（2）已知点(3，-)，(1，0)，(2，－3)，该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；

2

（3）已知a＞0，若点A（b，m)，B(b＋3，n)是该函数图象上的两点，且m＞n，求b的取值范围．

15

【答案】（1）a＝1时，顶点坐标为（-1，0）；（2）yx2x1；（3）b

22

【解析】

【分析】

（1）根据一般式顶点坐标的公式求解即可．

（2）根据解析式特征，结合二次函数的对称性来判断求解．

（3）根据函数的增减性，结合图像判断求解．

【详解】

（1）∵函数顶点在x轴上

4acb24a1(2a)2

∴0即0

4a4a

，

解得：a11a20（舍去）

b2a

当a1时，1

2a2a

∴a＝1时，顶点在x轴上，坐标为（-1，0）

（2）∵yax22ax1

b2a

∴对称轴为：x1

2a2a

1

∵如果函数过点（1，0），其对称点为（-3，0），与(3，-)冲突

2

∴函数图象必过（2，-3）

∴4a4a13

1

解得：a

2

1

∴函数的解析式为：yx2x1

2

（3）当a＞0时，二次函数开口向上，距离对称轴越远的点，纵坐标值越大

第25页共59页.

∵m＞n，对称轴为：x1

∴b(1)b3(1)，即b1b4

①当b