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文档简介

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题24以三角形为载体的几何综合问题

【例1】(2022·山东枣庄·中考真题)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4cm,点P从

点A出发,沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动,同时动点Q从点B出发沿BC方

向以每秒1cm的速度向终点C运2动,设运动的时间为t秒.

(1)如图①,若PQ⊥BC,求t的值;

(2)如图②,将△PQC沿BC翻折至△P′QC,当t为何值时,四边形QPCP′为菱形?

【答案】(1)当t=2时,PQ⊥BC

(2)当t的值为时,四边形QPCP′为菱形

4

3

【分析】(1)根据勾股定理求出,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.

(2)作于,于𝐴,证明出为直角三角形,进一步得出和

为等腰直�角�三⊥�角�形,�再�证�明⊥四𝐵边形�为矩Δ形𝐴,�利用勾股定理在、Δ�𝑃Δ�中��,

结合四边形为菱形,建立等式𝑃进�行�求解.𝑅△𝐵�𝑅△𝑃�

【详解】(1�)�解��:(′1)如图①,

∵∠ACB=90°,AC=BC=4cm,

∴AB==(cm),

2222

由题意得�,�AP+=��tcm,4B+Q4=t=cm4,2

则BP=(4﹣2t)cm,

∵PQ⊥BC,22

∴∠PQB=90°,

第1页共58页.

∴∠PQB=∠ACB,

∴PQAC,

∥,

∠���=∠�𝐵

∴{

∠���=∠���,

∴△�=��∽,△�𝐵

����

∴����,

42−2��

解得4:2t==2,4

∴当t=2时,PQ⊥BC.

(2)解:作于,于,如图,

𝑃⊥���𝑃⊥𝐵�

,,

��=2�,��=���(0⩽�,<4)

∵∠�=为90直°角�三�角=形��,=4cm

∴Δ𝐴�,

∴∠�=和∠�=45为°等腰直角三角形,

∴Δ�𝑃Δ𝐴�,,

2

∴𝑃=𝑃=2��=�cm�,�=𝑃

∴四��边=形𝐵−�为�矩=形(4,−�)cm

∵𝑃��,

∴𝑃=��=(4−,�)cm

∴��=(4−�)cm,

∴在𝑃=��−中�,�=(4−2�)cm,

22222

在𝑅△𝐵�中,𝐵=𝑃+��=�+(4−�),

22222

四�边�△形𝑃�为�菱�形=,𝑃+��=(4−�)+(4−2�)

∵��,��′

∴��=𝐵,

2222

∴�+(4,−�)=((4舍−去�)).+(4−2�)

4

∴�1的=值3为�.2=4

4

∴�3

第2页共58页.

【点睛】此题是相似形综合题,主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质,线段垂

直平分线的性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键.

【例2】(2022·山东菏泽·中考真题)如图1,在中,于点D,

在DA上取点E,使,连接BE、CE.△𝐴�∠𝐴�=45°,𝑃⊥��

��=��

(1)直接写出CE与AB的位置关系;

(2)如图2,将绕点D旋转,得到(点,分别与点B,E对应),连接、,

′′′′′

在旋转△的�过��程中与的位置△关�系�与�(1�)中�′的CE与AB的位置关系是否��一致�?�请

说明△理��由�;��′𝐴

(3)如图3,当绕点D顺时针旋转30°时,射线与AD、分别交于点G、F,若

,△求���的长.��′𝐴��=

�【�答,�案�】=(1)3CE⊥�AB�,理由见解析

(2)一致,理由见解析

(3)

53

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°,∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°,

可得结论;

(2)通过证明,可得,由余角的性质可得结论;

′′′′

(3)由等腰直角△的𝑃性�质≅和△直��角�三角形的∠性��质�可=得∠���,即可求解.

【详解】(1)如图,延长CE交AB于H,𝐴=3𝑃

∵∠ABC=45°,AD⊥BC,

∴∠ADC=∠ADB=90°,∠ABC=∠DAB=45°,

第3页共58页.

∵DE=CD,

∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°,

∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°,

∴CE⊥AB;

(2)在旋转的过程中与的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是一致

的,理由△如�下��:��′𝐴

如图2,延长交于H,

′′

��𝐴

由旋转可得:CD=,=AD,

′′

∵∠ADC=∠ADB=�90�°,��

∴,

′′

∵∠���=∠𝑃,�

��𝑃

′′

∴��=��=1,

′′

△𝑃�∼△���,

′′

∴∵∠�𝐴+=∠∠D�G�C�=90°,∠DGC=∠AGH,

∴∠�D�A�+∠AGH=90°,

∴∠AHC�=90°,

′′

∴(�3�)如⊥图𝐴3,过点D作DH于点H,

⊥𝐴

∵△BED绕点D顺时针旋转30°,

第4页共58页.

∴,

′′

∠���=30°,��=��=𝑃,

′′′

∴∠𝑃�=120°,∠�𝐴,=∠𝐴�=30°

′′

∵∴�A�D=⊥2D�H�,,�A�H==��DH=,

,3��

∴由�(�2)=可3知𝑃:,

′′

△𝑃�∼,△���

′′

∴∵∠A�D�⊥�BC=,∠C�D��==,30°

∴DG=1,CG=2DG3=2,

∴CG=FG=2,

′′

∵∴∠A�G�=�2G=F=340,°,��⊥𝐴

∴AD=AG+DG=4+1=5,

∴.

'

【点𝐴睛=】本3题𝑃是=三5角形3综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,旋转的性质,

相似三角形的判定和性质等知识,证明三角形相似是解题的关键.

【例3】(2022·山东济南·中考真题)如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,

连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;

(2)延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为_______;

②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数,并说明理由.

【答案】(1),理由见解析

(2)①��=��;②,理由见解析

��=𝑃+��∠�𝑃=45°

【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到,再由全等

三角形的性质求解;△𝐴�≌△𝐵����

(2)①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形,

𝑃60°𝑃△𝑃�

第5页共58页.

由等边三角形的性质和(1)的结论来求解;②过点A作于点G,连接AF,根据等

边三角形的性质和锐角三角函数求值得到�,�⊥��,进而得到

𝐶��

,进而求出,结合∠�,�E�D==∠E�C�得�到𝑃=𝐴,再用等腰△直��角�三∽角△形

�的�性�质求解.∠𝑃�=90°��=����=𝑃

(1)

解:.

证明:��∵=��是等边三角形,

∴△,𝐴�.

∵�线�段=𝐵绕点∠�A�按�逆=时60针°方向旋转得到,

∴𝑃,,60°𝑃

∴𝑃=𝑃∠��,�=60°

∴∠�𝐵=∠�𝑃,

即∠�𝐵−∠�𝐵.=∠�𝑃−∠�𝐵

在∠�𝑃=和∠�𝑃中

△𝐴�△𝐵�

𝐴=𝐵

∠�𝑃=∠�𝑃

∴,

𝑃=𝑃

∴△𝐴�≌;△𝐵����

(�2)�=��

解:①

理由:�∵�线=段𝑃+绕�点�A按逆时针方向旋转得到,

∴是等�边�三角形,60°𝑃

∴△𝑃�,

由(𝑃1)=得��=𝑃,

∴��=��;

②�过�点=A�作�+��=�于�点+G�,�连接AF,如下图.

𝐶⊥��

∵是等边三角形,,

∴△𝑃�,𝐶⊥��

1

∴∠�𝐶=2∠�𝑃=3.0°

𝐶3

𝑃=cos∠�𝐶=2

第6页共58页.

∵是等边三角形,点F为线段BC中点,

∴△𝐴�,,,

1

∴��=����⊥��,∠���=2∠�𝐵=30°

��3

∴𝐴=cos∠���=,2,

𝐶��

∴∠���=∠�𝐶𝑃=𝐴,

即∠���+∠���,=∠�𝐶+∠���

∴∠�𝑃=∠�𝐶,

∴△�𝑃∽△�𝐶.

∵∠𝑃�=,∠𝐶�==90,°

∴��=��,����

即��=�是�等腰直角三角形,

∴△𝐴�.

【点∠�睛𝑃】本=题45主°要考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直

角三角形,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,理解相关知识是解答

关键.

【例4】(2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC

的角平分线.

(1)如图1,点E、F分别是线段BD、AD上的点,且DE=DF,AE与CF的延长线交于点M,

则AE与CF的数量关系是,位置关系是;

(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上,且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.

①(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;

②连接DM,求∠EMD的度数;

③若DM=6,ED=12,求EM的长.

【答案】(1)AE2=CF,AE⊥CF

(2)①成立,理由见解析;②45°;③6+6

3

【分析】(1)证明△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性质得出AE=CF,∠DAE=

∠DCF,由直角三角形的性质证出∠EMC=90°,则可得出结论;

第7页共58页.

(2)①同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS),由全等三角形的性质得出AE=CF,∠E=

∠F,则可得出结论;

②过点D作DG⊥AE于点G,DH⊥CF于点H,证明△DEG≌△DFH(AAS),由全等三角

形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案;

③由等腰直角三角形的性质求出GM的长,由勾股定理求出EG的长,则可得出答案.

(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分线,∴AD=BD=CD,AD⊥BC,

∴∠ADE=∠CDF=90°,又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,∠DAE=

∠DCF,∵∠DAE+∠DEA=90°,∴∠DCF+∠DEA=90°,∴∠EMC=90°,∴AE⊥CF.故

答案为:AE=CF,AE⊥CF;

(2)①(1)中的结论还成立,理由:同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,

∠E=∠F,∵∠F+∠ECF=90°,∴∠E+∠ECF=90°,∴∠EMC=90°,∴AE⊥CF;②过

点D作DG⊥AE于点G,DH⊥CF于点H,∵∠E=∠F,∠DGE

=∠DHF=90°,DE=DF,∴△DEG≌△DFH(AAS),∴DG=DH,又∵DG⊥AE,DH⊥CF,

∴DM平分∠EMC,又∵∠EMC=90°,∴∠EMD=∠EMC=45°;③∵∠EMD=45°,∠DGM

1

=90°,∴∠DMG=∠GDM,∴DG=GM,又∵DM2∴DG=GM=6,∵DE=12,

∴EG=∴EM=GM=+E6G2=6+6.

2222

【点睛】本��题是+三��角形=综1合2题+,6考=查6了等3腰直角三角形的性质,角3平分线的性质,全等三角

形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【例5】(2022·辽宁大连·中考真题)综合与实践

问题情境:

数学活动课上,王老师出示了一个问题:如图1,在中,D是上一

点,.求证.△𝐴�𝐴

独立思∠�考��:=∠𝐵�∠𝐵�=∠𝐴�

(1)请解答王老师提出的问题.

实践探究:

(2)在原有问题条件不变的情况下,王老师增加下面的条件,并提出新问题,请你解答.“如

图2,延长至点E,使,与的延长线相交于点F,点G,H分别在

上,��,��=�.�在图��中找�出�与相等的线段,并证明.”��,��

问题解��决=:��∠���=∠�����

第8页共58页.

(3)数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现,当时,若给出

中任意两边长,则图3中所有已经用字母标记的线段长均可∠求�,𝐵该=小9组0°提出下面的问

△题,𝐴请�你解答.“如图3,在(2)的条件下,若,,,求的长.”

∠�𝐵=90°𝐴=4𝐵=2��

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

17

【分析】(1)利用三角形的内角和定理可得答案;��=3.

(2)如图,在BC上截取证明再证明

证明可得��=��,从而△可��得�结≌△论�;��,��=��,∠�𝐵=∠���,

(3)△如�图��,≌在△B�C�上�,截取��=��同,理可得:利用勾股定理先求解

证明��=��,可得��=��=��可,得证�明�=

22

2+4=25,可得△𝑃�∽△�而��,𝑃可=得1,��=5,再利�用�勾=股��定=理求5,解BE,

△即可��得�到∽答△案��.�,��=2��,��=��,��=3��,

【详解】证明:(1)

而∵∠𝑃�=∠𝐵�,∠�=∠�,

∠𝐵�=180°−∠�−∠𝑃�,∠𝐴�=180°−∠�−∠𝐵�,

∴(∠2)𝐵�=∠𝐴�理,由如下:

如图,�在�=BC�上�,截取

��=��,

∵��=��,∠𝐵�=∠𝐴�,

∴△���≌△���,

∴��=��,∠�𝐵=∠���,

∵∠���=∠���∠���=∠𝐴�,

∴∵∠���=∠�𝐵,

∴∠�𝐵=∠���,

∠�𝐵=∠���,

第9页共58页.

∵∠���=∠���,

∴��=��,

△���≌△���,

∴��=��,

(3)如图,在BC上截取∴��=��.

同理可得:��=��,

��=��=��,

∵𝐵=2,𝐴=4,∠�𝐵=90°,

22

∴��=2+4=25,

∵∠�𝐵=∠�𝐵,∠𝐵�=∠𝐴�,

∴△𝑃�∽△𝐵�,

𝑃𝐵��

∴𝐵=𝐴=��,

𝑃2��

∴2=4=25,

∴𝑃=1,��=5,

∴��=��=5,

∵∠���=∠𝐴�,∠���=∠���,

∴△���∽△���,

������51

∴��=��=��而=25=2,

∴��=2��,��=��,

∴��=3��,

∵𝐴=4,𝑃=1,��=��,

∴��=��=3,

∴𝑃=3−2=1,∠�𝑃=∠�𝐵=90°,

22

∴��=𝐴+𝑃=17,

17

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定∴�理�的=应用,.全等三角形的判定与性质,勾股定理的

3

应用,相似三角形的判定与性质,作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.

26.(2022·山东烟台·中考真题)

第10页共58页.

(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连

接BD,CE.请直接写出的值.

��

(3)【拓展提升】如图3,△��ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且=

𝐴𝑃

=.连接BD,CE.����

3

①求4的值;

��

②延长��CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值.

【答案】(1)见解析

(2)

2

(3)①2;②

34

55

【分析】(1)证明BAD≌△CAE,从而得出结论;

(2)证明BAD∽△△CAE,进而得出结果;

(3)①先证△明ABC∽△ADE,再证得CAE∽△BAD,进而得出结果;

②在①的基础上△得出∠ACE=∠ABD,进△而∠BFC=∠BAC,进一步得出结果.

【详解】(1)证明:∵△ABC和ADE都是等边三角形,

∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠△BAC=60°,

∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE,

∴∠BAD=∠CAE,

∴△BAD≌△CAE(SAS),

∴BD=CE;

(2)解:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,

,∠DAE=∠BAC=45°,

𝐴𝐴1

∴�∠�D=A�E�﹣=∠2BAE=∠BAC﹣∠BAE,

∴∠BAD=∠CAE,

∴△BAD∽△CAE,

第11页共58页.

��𝐴12

(∴�3�)=解�:�=①2=2,∠ABC=∠ADE=90°,

𝐴𝑃3

∴△ABC∽△�A�D=E�,�=4

∴∠BAC=∠DAE,,

𝐴𝑃3

∴∠CAE=∠BAD,𝐵=𝑃=5

∴△CAE∽△BAD,

��𝑃3

∴②�由�①=得𝑃:=△5CAE∽△BAD,

∴∠ACE=∠ABD,

∵∠AGC=∠BGF,

∴∠BFC=∠BAC,

∴sin∠BFC.

��4

【点睛】本题=考𝐵查=了5等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性

质等知识,解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形.

一、解答题【共20题】

1.(2022·安徽·合肥市五十中学新校二模)和都是等腰直角三角形,

,是的中点,连接、△.𝐴�△𝑃�∠𝐴�=

∠𝑃�=90°�������

(1)如图①,当点、分别是线段、上的点时,求的度数;

(2)如图②,当点�是线�段上的点�时�,�求�证:;∠�𝐵

(3)如图③,当点�、、�共�线且是的中点时��,=探�究�和之间的数量关系.

【答案】(1)�������△����△𝐴�

(2)见解析∠�𝐵=90°

(3)

�△�𝐴=2�△�𝐵

第12页共58页.

【分析】(1)由直角三角形的性质可求,,由等腰三角形的性

质可求解;∠𝑃�=∠𝐴�∠𝐴�=∠𝐵�

(2)由“角边角”可证,可得,,由等腰直角三角形的性

质可求解;△���≅△�����=𝐷��=��

(3)通过证明,可得,,即可求解.

【详解】(1)△�𝐴∼△𝑃�,∠�点𝐴是=∠�的�中�=点1,35°�△�𝐴=2�△𝑃�

∵∠���=,∠���=90°���

∴��=��=��,=��,

∴∠𝑃�=∠𝐴�∠𝐴�=∠𝐵�,

∴∠�𝐵是=等∠�腰�直�+角∠三�角𝑃形=,2∠���+2∠���=2∠𝐴�

∵△𝐴�,

∴∠𝐴�=45°;

∴(∠2)��如�图=90,°延长交于点,

2�����

∵∠𝑃�=,∠���=∠𝐵�=90°

∴��∥��,

∴又∠���=∠�,��,

∵��=��∠�,𝑃=∠�𝐷

∴△���≅,△���,

∴��=𝐷,��=��

∵𝐵=��,

∴又��=��,,

∵∠���;=90°��=𝐷

∴(�3�)=如�图�,连接,

��

第13页共58页.

是的中点,

∵���,

∴𝑃=�是�等腰直角三角形,

∵△𝑃�,,,

∴∠�𝑃=∠𝑃�=45°∠���=,90°𝑃=��=��

∴∠���=∠��,�=45°=,∠�𝑃

∴∠𝑃�=90°,𝑃=��

∴��=是2等𝑃腰直角三角形,

∵△𝐵�,,

∴∠�𝐵=∠���,=45°𝐴=,2𝐵

𝐴��

∴∠�𝐵=∠���,𝐵=𝑃=2

∴△�𝐴∼△𝑃�,,

∴∠�𝐴=∠𝑃�=135,°�△�𝐴=2�△𝑃�

∴∠���=,45°=∠�𝑃

∴��∥��,

∴�△是𝑃�=的�中△点���,

∵���,

∴�△���=�△���=.�△𝑃�

∴【�点△�睛𝐴】=本2题�△是��三�角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,

相似三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.(2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模)如图所示,的顶点在矩形

对角线的延长线上,,,与交于点,△连�接��,满足�𝐴��

∽𝐵,其中�对�应=1,�对�应=,3对𝑃应𝐴���

△𝐴�△���������

第14页共58页.

(1)求证:.

(2)若∠�,𝑃求=30°的值.

1

【答案��】=(13)见解析tan∠𝑃�

(2)

93

7

【分析】(1)由相似可得,再由矩形的性质得,,

从而可求得∠�𝐴=∠���,则有𝑃∥��,即∠可�求𝐴得=∠𝐴的�=度9数0;°

(2)结合(∠1�)𝑃可+求∠得�𝐴+∠,�再𝐵由=相1似80的°性质求∠得�𝑃=∠��,�即可求∠�𝑃的值.

7

(1)𝑃=3��=33���∠𝑃�

∽,

∵△𝐴�△���,

∴四∠�边�形�=∠��是�矩形,

∵∴�,���,

𝑃∥��∠�𝐴,=∠𝐴�=90°

∴∠�𝐵=∠𝐵�,

∵∠���+∠𝐵�=180°,

∴即∠�𝐴+∠�𝐵=180°,

∠�𝑃+∠�𝐴+∠�𝐵=18,0°

∴∠�𝑃+90°+∠�𝐵,=180°

∴∠�𝑃+∠��,�=90°

∵∠�𝐴=90°,

∴∠�𝐵+∠�𝐵,=90°

∴在∠�𝑃=∠中��,�

Rt△𝐴�,

��13

∵tan∠�𝐵=�,�=3=3

∴∠�𝐵=30°;

∴(∠2)�𝑃=30°

第15页共58页.

由(1)得,,

∠𝐴�=90°,∠�𝐵=30°

∴𝐵=2��=2×1=2,

17

∴𝑃=�∽�+��=,2+3=3

∵△𝐴�,△���

��𝐴

即∴��=��,

��3

1

1=3,

∴由�(�1=)3得:3,

则∠�,𝑃+∠�𝐵=90°

在∠�𝑃=9中0°,.

��3393

7

【点Rt睛△】�本𝑃题主要ta考n∠查�相��似=三�角�=形的3性=质,7矩形的性质,解直角三角形,解答的关键是结合

图形及相应的性质求得.

3.(2022·福建·厦门市翔∠�安�区�教=师∠�进�修�学校(厦门市翔安区教育研究中心)模拟预测)(1)

问题发现:如图1,与均为等腰直角三角形,,则线段、

的数量关系为__△__�__�_�,△、���所在直线的位置关系为∠_�_�_�__=__∠_�;��=90°𝑃

��𝑃��

(2)深入探究:在(1)的条件下,若点A,E,D在同一直线上,为中边上

的高,请判断的度数及线段,,之间的数量关系,并�说�明理△由��.���

【答案】(1)∠𝑃�,�;(�2)𝑃��,;理由见解析

【分析】(1)延𝑃长=��交𝑃于⊥点�H�,交∠𝑃于�点=O9.0°只要𝑃证=明2��+��,即可

解决问题;𝑃��𝐷��△𝐵�≌△������

(2)由,结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质,即可解决问题.

【详解】△解�:�(�1≌)△如�图��1中,延长交于点H,交于点O,

𝑃��𝐷��

∵和均为等腰直角三角形,,

∴△𝐵�,△���,∠𝐵�=∠���=90°

𝐵=����=��

第16页共58页.

∴,

∴∠𝐵�+∠���,=∠���+∠���=90°

∴∠𝐵�=∠���,

∴△𝐵�≌,△������,

∵𝑃=��∠�𝑃=∠,���,

∴∠�𝑃+∠𝐴�=90°,∠𝐴�=∠���

∴∠���+∠��,�=90°

∴∠𝐷�=.90°

故答𝑃案⊥为�:�,.

(2)𝑃=�,�𝑃⊥��;

理由如∠下𝑃:�如=图902°中�,�=2��+��

∵和均为等腰直角三角形,,

∴△𝐵�△���,∠𝐵�=∠���=90°

∴∠���=∠���=45°,

由(∠�1�)�可=知18:0°−∠���=135,°

∴,△𝐵�≌△���,

∴𝑃=��∠���=∠𝑃�=135°;

在等∠�腰��直=角∠三�角��形−∠�中��,=13为5°斜−边45°=上9的0高°,

∴�,������

∴��=��=,��

∴��=2��.

【点𝑃睛=】�本�题+考𝑃查=了2全�等�三+角��形的判定和性质,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键

是正确寻找全等三角形解决问题.

4.(2020·重庆市育才中学二模)(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°.E、

F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关

系.小王同学探究此问题的方法:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG.先证明

△ABE≌△ADG,再证△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是.

【灵活运用】

(2)如图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,F、F分别是BC、CD上

的点.且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立?请说明理由.

第17页共58页.

【延伸拓展】

(3)如图③,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD.若点E在CB的延长线

上,点F在CD的延长线上,仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系,

并给出证明过程.

【答案】∠BAE+∠FAD=∠EAF;仍成立,理由见详解;

1

【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可∠判�定��=AB1E8≌0°△−A2D∠G��,�进而得出

∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定AEF≌△AGF,可得出△

∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠△BAE+∠DAF,据此得出结论;

(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,

AE=AG,再判定AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠△GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;

(3)在DC延长△线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定ADG≌△ABE,再判定

AEF≌△AGF,得出∠FAE=∠FAG,最后根据∠FAE+∠FAG+∠G△AE=360°,推导得到

△2∠FAE+∠DAB=360°,即可得出结论.

【详解】解:(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF.理由:

如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,

第18页共58页.

∵∠B=∠ADF=90°,∠ADG=∠ADF=90°,

∴∠B=∠ADG=90°,

又∵AB=AD,

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

∴△AEF≌△AGF(SSS),

∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;

故答案为:∠BAE+∠FAD=∠EAF;

(2)仍成立,理由:

如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,

∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,

∴∠B=∠ADG,

又∵AB=AD,

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

∴△AEF≌△AGF(SSS),

∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;

(3).

1

证明:∠如��图�3=,1在80°D−C2延∠长��线�上取一点G,使得DG=BE,连接AG,

第19页共58页.

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,

∴∠ADC=∠ABE,

又∵AB=AD,

∴△ADG≌△ABE(SAS),

∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

∴△AEF≌△AGF(SSS),

∴∠FAE=∠FAG,

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°,

∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°,

∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°,

即2∠FAE+∠DAB=360°,

∴.

1

【点∠�睛��】本=题18属0°于−三2∠角�形𝐴综合题,主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综

合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推

导变形.解题时注意:同角的补角相等.

5.(2022·北京市三帆中学模拟预测)已知四边形,,,,

,是的角平分线,交射线于�,�线��段∠�的=延1长20线°上∠取�一=点60°使𝐴=𝑃,

�直�线≠�,�𝑃交于∠点�𝑃.��������=��

��𝐴�

(1)补全图形;

(2)猜想的形状,并证明你的猜想;

(3)求△与𝑃�的数量关系.

【答案𝐴】(1�)�见解析

(2)是等边三角形,理由见解析

(3)△𝑃�,理由见解析

𝐶=2𝐴

【分析】(1)根据要求画出图形即可;

(2)结论:是等边三角形;通过证明垂直平分线段,证得≌,再

证明,△推𝑃出�,可得结论;𝑃��△𝑃�△𝑃�

𝑃∥��∠�=90°

第20页共58页.

(3)结论:,过点作交于点.证明四边形是平行四边形,推

出,�再�利=用2�全�等三角形�的�性�质∥�证�明���,可得结论.𝑃𝐴

(�1)�=𝐴𝑃=��

解:图形如图所示:

(2)

解:猜想是等边三角形.

理由如下:△𝑃�

如图,设交于点H,

𝑃��

∵,平分,

∴𝑃=𝐴𝑃∠�𝑃

在∠�𝐷=与∠�𝐷中,

△𝐷�△𝐷�

𝑃=𝐴

∠�𝐷=∠�𝐷

∴,

𝐷=𝐷

∴△𝐷�≌△𝐷�SAS,,

∴∠�垂��直=平∠分�线��段=90,°��=��

𝑃,��

∴在��=�和�中,

△𝑃�△𝑃�

∵,

𝑃=𝐴

𝑃=𝑃

∴≌,

��=��

∴△𝑃�△𝑃�.SSS

∠𝑃�=∠𝐴�

第21页共58页.

∵,,

∴��=��,��=��

∴��=��,

∴∠���=∠�𝑃.

∵∠���+2∠��,�=180°,

在四∠�边𝐴形=120中°,∠���=60°

∵𝑃��,

∴∠�𝐴+∠𝐴�+∠���,+∠���=360°

∵∠𝐴�+∠���,=180°

∴∠𝐴�=∠𝑃�,

∴∠𝑃�+∠���=180°,

∴2∠𝑃�+∠���,=180°

∴∠𝑃�=,∠�𝑃

∴𝑃∥��,

∵∠�+∠�𝐴=,180°

∴∠�𝐴=1.20°

∵∠�=60°,

1

∴∠�𝐴=2∠�𝐴=60°,

∴∠𝑃�=是∠等�边𝐶三=角∠形�.=60°

(△3)𝑃�

解:,理由如下:

证明:𝐶如=图2,𝐴过点作交于点.

�𝐴∥�����

∵,,

∴�四�边∥形𝐴𝐴是∥平��行四边形,

∴�,�𝐴

∵𝑃=𝐴,

∴𝐴=𝑃,

∵𝐴=𝐴,

𝐴∥��

第22页共58页.

∴,

∵∠𝐴�=∠�𝐶,,

∴∠�𝐴=∠���,+∠���∠𝑃�=∠���+∠𝑃�=∠���+∠���

∵∠𝐴�=∠𝑃�,,

∴∠�𝑃=∠�=60°�,�=𝐶

∴△𝐶�≌,△�𝑃AAS

∵��=𝑃,,

∴𝑃=𝐴,𝐴=𝑃

∴��=𝐴.

【点𝐶睛=】2本𝐴题属于四边形综合题,考查了平行四边形的判定和性质,等边三角形的判定和性

质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中

考压轴题.

6.(2022·北京市第十九中学三模)如图,在中,,,是的

中点,是延长线上一点,平移到,△线�段��的中∠垂𝐵线�与=线90段°�的�延>长��线交�于点𝐴,

连接�、��.𝐴𝐷𝐷���

����

(1)连接,求证:;

(2)依题意��补全图形,∠�用�等�式=表2∠示�线𝐵段,,之间的数量关系,并证明.

【答案】(1)见解析������

(2)图见解析,结论:,理由见解析

222

��+��=��

【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题;

(2)图形如图所示,结论:,想办法证明即可.

222

(1)��+��=��∠���=90°

证明:连接.

��,,

∵∠𝐵�=90°�,�=��

∴��=𝑃=��,

∴∠�𝐵=∠���

第23页共58页.

∴(∠2)���=∠�𝐵+∠���=2∠�𝐵

解:图形如图所示,结论:.

222

理由:连接,,取的��中点+�,�连=接��,,.

��𝐷𝐷�𝐴����

点在的垂直平分线上,

∵�𝐷,

∴��=��,,,

∵𝑃=����,=��𝐴=𝐷

∴𝑃=�,�=��

∵四𝑃边∥形𝐷,四边形是平行四边形,

∴�,���,𝑃𝐴

∴𝐷∥��𝐴∥��,

∴∠𝑃�=,∠𝐴�=∠�𝐷

∵𝐷∥��,

∴∠�𝐵=,∠𝐵�=90,°

∵��=��,��=𝐴,

∴��⊥𝐷∠���=∠,���

∴四∠�边�形�=∠���四=点90共°圆,

∴�,�,�,�,

∴∠�𝐷=∠���,

∴∠,𝑃�,=∠,𝑃四�点共圆,

∴����,

∴∠���+∠��,�=180°

∴∠���=90°.

222

∴【�点�睛+】�本�题=考�查�作图平移变换,直角三角形斜边上的中线的性质,等腰三角形的性质,

线段的垂直平分线的性质−,平行四边形的判定与性质,圆周角的性质等知识,解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

第24页共58页.

7.(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测)知识呈现

(1)如图,在四边形中,与互余,我们发现四边形中这对互余的

角可进行拼1合:先作𝐴��,∠再�过��点∠�作��交于点,连接𝐴后��,易于发现,

,之间的数量关∠�系�是�=_∠__�_�_�_;A𝑃⊥𝑃�������

�方�法运��用

(2)如图,在四边形中,连接,,点是两边垂直平分线的交

点,连接2,𝐴��.𝐵∠�𝐵=90°�△𝐵�

求证:��∠�𝐵=∠𝐴�;

①连接∠,𝐴如�图+∠,𝑃已�知=90°,,,求的长用含,的式子表示.

𝐴

②【答案】�(�1)3𝑃;=(�2)�①�详=见�解�析�=;2②��(��)

22222

【分析】利�用�勾+股��定=理�解�决问题即可;��=5�+4�

如图1中,连接,作的外接圆利用圆周角定理以及三角形内角和定理,

即2可①解决问2题;��△𝑃�⊙�.

如图中,在射线的下方作,过点作于利用相似三角形的性

②质证明3,�求�出,可∠得�结��论=.∠𝐴����⊥���.

【详解�】(�1=)解5�:�𝐴,,

∵∠𝑃�+∠�,��=90°∠𝑃�=∠𝐴�

∴∠���=∠𝑃�+.∠𝑃�=90°

222

∴故�答�案+为�:�=��.

222

(2)证明��:如+�图�=中��,连接,作的外接圆.

①2��△𝑃�⊙�

点是两边垂直平分线的交点,

∵点�是△𝐵�的外心,

∴�△𝑃�

第25页共58页.

∴∠𝐴�=,2∠𝑃�

∵��=��,

∴∠�𝐵=∠���,,

∵∠𝐴�+∠�𝐵+∠���=,180°∠�𝐵=∠𝐴�

∴2∠𝑃�+2∠𝐴�=1.80°

∴∠解𝑃:�如+图∠𝐴中�,=在90射°线的下方作,过点作于.

②3��∠���=∠𝐴����⊥���

,,

∵∠���∽=∠�𝐴,=90°∠���=∠𝐴�

∴△���△�𝐴,,

����

∴∠���=,∠𝐵���=��,

����

∴��=�∽�∠���,=∠���

∴△���,△���

����

∴𝐴=��,

𝐴

∵𝐵:=2:::::,

∴𝐵����,=������=125

∴��=5𝐴,,,

25

∵∠𝑃�=∠𝑃�+∠���=∠𝑃�+∠𝐴�=90°��=5�𝑃=�

222252242

∴𝐴=𝑃+��.=�+(5�)=�+5�

22

∴【�点�睛=】本5�题属+于4�四边形综合题,考查了勾股定理,相似三角形的判定和性质,圆周角定理

等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用辅助圆解

决问题,属于中考压轴题

8.(2022·浙江宁波·一模)若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍,我们把这个三

角形叫做和谐三角形.

第26页共58页.

(1)已知是和谐三角形,,,请直接写出所有满足条件的的长;

(2)在△𝐴中�,,�D�为=3边��上=一4点,,连接,若𝐵为和谐三角形,

求△的�长�;�𝐴=4��=8����=2𝑃△𝐴�

(3)�如�图,在等腰

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