专题14 二次函数-主从联动（瓜豆原理）求最小值（解析版）

第十四讲二次函数--主从联动（瓜豆原理）求最值

知识导航

必备知识点

一、轨迹为线段

引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q

点轨迹是？

【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向

BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一

半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运

动时，求Q点轨迹？

第1页共19页.

【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线

段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即

得Q点轨迹线段．

【模型总结】

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与

BC夹角）

P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

第2页共19页.

二、轨迹为圆

引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是

OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

第3页共19页.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹

都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

第4页共19页.

【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

第5页共19页.

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

例题演练

1．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，

连接BC，点P是抛物线上一动点．

（1）求二次函数的表达式．

（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面

积的4倍，求点P的横坐标．

（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外

作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；

如果变化，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣1，0），（3，0），

∴代入得，

解得，

所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．

第6页共19页.

（2）①如图所示，当P在x轴上方时，

过点P作PF⊥x轴于点F，过点E作QE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AP于点G，

可得△AQE∽△APF，

∴，

∵＝＝，

∴，

∴＝，

设点P（a，﹣a2+2a+3），

∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3，

∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，QE＝＝，

∴AE＝＝，

∴OE＝AE﹣AO＝﹣1＝，

∴Q点的坐标可表示为（，），

∵B（3，0），C为二次函数与y轴交点，

∴C（0，3），

可得BC的解析式为y＝﹣x+3，

∵Q在BC上，

∴＝﹣+3，

解得a＝或．

第7页共19页.

②如图所示，当P在x轴下方时，

同理①可求出P点的横坐标为或，

∵﹣1＜＜0，

∴当P点横坐标为时，P在抛物线的AC段，

综上所述，P点的横坐标为或或．

（3）如图所示，以AB为底在x轴上方作等腰直角三角形ABK，连接NK，过点K作KH⊥x轴于

点H，

∵△AMN和△ABK均为等腰直角三角形，

∴，∠NAM＝∠BAK，

∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK，

∴∠NAK＝∠MAB，

∴△NAK∽△MAB，

∴∠NKA＝∠MBA，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB，

∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB，

第8页共19页.

∴NK∥AB，

∵两条平行线之间的距离相等，

∴N在运动时，N到AB的距离保持不变，其距离都等于KH的长，

∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4，

∴KH＝，

∴．

综上所述，△ABN的面积不变，为4．

2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c

经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC

面积的，求此时点M的坐标；

（3）如图2，以B为圆心，2为半径的B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是B

上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰R⊙t△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序⊙），

连接FD．求FD长度的取值范围．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，

∴C（0，5），

令y＝0，则x＝1，

∴A（1，0），

第9页共19页.

将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，

得，

∴，

∴y＝x2﹣6x+5；

（2）设M（m，m2﹣6m+5），

令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，

解得x＝5或x＝1，

∴B（5，0），

∴AB＝4，

∴S△ABC＝×4×5＝10，

∵△ABM的面积等于△ABC面积的，

2

∴S△AMB＝6＝×4×（m﹣6m+5），

解得m＝2或m＝4，

∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；

（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，

∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，

∴∠B'AD＝∠PAB，

∵AB＝AB'，PA＝AD，

∴△ADB'≌△APB'（SAS），

∴BP＝B'D，

∵PB＝2，

∴B'D＝2，

∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，

∵B（5，0），A（1，0），

∴B'（1，﹣4），

∵BF＝2，

∴F（7，0），

∴B'F＝2，

第10页共19页.

∴DF的最大值为2+2，DF的最小值为2﹣2，

∴2﹣2≤DF≤2+2．

3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），

点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段

PO交线段BC于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当时，求点P的坐标；

（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC

时，

①求满足条件的所有点H的坐标

②当点H在线段AB上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持QH＝，连接BQ，将线段BQ

绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段QM，连接MH，请直接写出线段MH的取值范围．

第11页共19页.

【解答】解：（1）把点A（1，0），点B（﹣3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2x+c中，

得：，

解得：．

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图1，过P作PG⊥y轴于G，过E作EH⊥y轴于H，

当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

∴BC的解析式为：y＝x+3，

∵△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，且，

∴＝，

∵EH∥PG，

∴△OEH∽△OPG，

第12页共19页.

∴＝＝＝，

∴设E（3m，3m+3），则P（5m，﹣25m2﹣10m+3），

∴＝

∴25m2+15m+2＝0，

（5m+2）（5m+1）＝0，

m1＝﹣，m2＝﹣，

当m＝﹣时，5m＝﹣2，则P（﹣2，3），

当m＝﹣时，5m＝﹣1，则P（﹣1，4），

综上，点P的坐标是（﹣2，3）或（﹣1，4）；

（3）①由对称得：N（﹣2，3），

∵∠HCB＝∠NBC，

如图2，连接CN，有两种情况：

i）当BN∥CH1时，∠H1CB＝∠NBC，

∵CN∥AB，

∴四边形CNBH1是平行四边形，

∴H1（﹣1，0）；

ii）当∠H2CB＝∠NBC，

设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，

∴BM＝CM，

第13页共19页.

∵B（﹣3，0），N（﹣2，3），

∴同理可得BN的解析式为：y＝3x+9，

∴设CH2的解析式为：y＝﹣+3，

∴（﹣，），

∵BM＝CM，

∴＝，

n＝﹣9或﹣1（舍），

∴H2（﹣9，0），

综上，点H的坐标是（﹣1，0）或（﹣9，0）；

②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，过Q作QG⊥x轴，过M作MF⊥

QG于F，则四边形MFGH是矩形，

∴FM＝GH，FG＝MH，

∵∠BQM＝∠F＝90°，

∴∠BQG+∠GQM＝∠FMQ+∠GQM＝90°，

∴∠BQG＝∠FMQ，

∵BQ＝QM，∠BGQ＝∠F＝90°，

∴△BGQ≌△QFM（AAS），

∴FM＝GQ，BG＝FQ，

∴GQ＝FM＝GH，

∵QH＝，

第14页共19页.

∴QG＝GH＝，

∴MH＝FG＝FQ﹣QG＝BG﹣GH＝2﹣﹣＝2﹣3；

如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，过Q作QG⊥x轴，作QF⊥MH于F，

则四边形QFHG是矩形，

∴FQ＝GH，GQ＝FH，

同理得△BGQ≌△MFQ（AAS），

∴QG＝FQ＝GH，BG＝MF，

∵QH＝，

∴QG＝GH＝，

∴MH＝FM+FH＝BG+GH＝2++＝2+3；

∴MH的取值范围是2﹣≤MH≤2+．

4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）若以点C为圆心，1为半径的圆上有一动点P，连接BP，点Q为线段BP上一点，且BQ

＝BP，求线段OQ的最大值；为线段BP上一点，且BQ＝BP，求线段OQ的最大值；

（2）若点D为抛物线上一点且横坐标为﹣3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为

半径的圆上，求DE+EF的最小值；

（3）若以点B为圆心，3为半径作圆，与x轴的正半轴交于点H，点M是B上的一动点，连

接AM，以AM为直角边向下作等腰Rt△MAN，且∠MAN＝90°，连接NH，⊙求线段NH长度的

取值范围．

第15页共19页.

【解答】解：（1）如图1，

第16页共19页.

连接BC，CP，作QI∥CP交BC于点I，作ID⊥OB于D，

∴△BIQ∽△BCP，

∴，

同理可得，

，

∴＝，

∴BD＝IQ＝，DI＝，