专题09 二次函数-将军饮马求最小值（对称）（原卷版）

第九讲二次函数--将军饮马求最值（对称）

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一两定点一动点.....................................................................................................................................2

考点二一定点两动点.....................................................................................................................................4

考点三两定点两动点.....................................................................................................................................5

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必备知识点

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：

A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

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（3）两个点都在内侧：

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形

ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

考点一两定点一动点

1．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+1过B、C两

点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M（3，1）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x

轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

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2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）

经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；

（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；

2

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐

标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，若点E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD

面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值；

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考点二一定点两动点

4．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，

C两点，已知点D的坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标，并写

出△DMN周长的最小值；

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A

的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF

周长的最小值；

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6．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为

．点C为线段AO上一动点，过点C作直线CD⊥x轴交AB于点D，交抛物线于点E．

（1）当DE＝2时，求四边形CAEB的面积；

（2）若直线CE移动到抛物线的对称轴位置，点P、Q分别为直线CE和x轴上的一动点，求△BPQ周

长的最小值；

考点三两定点两动点

7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点

B的坐标为（3，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为

抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D，G，H，F四点所围

成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．

第5页共6页.

8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（1，4），交x轴于A、B两点，且经过点C（2，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，M为线段O、B之间一动点，N为y轴正半轴上一动点，是否存在使M、C、D、N四点围

成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及M、N的坐标；若不存在，请说明理由；

9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴

平行的直线与BC、CE分别交于点F、G．试探究当点H运动到何处时，线段HF的最长，求点H的坐