专题02 确定二次函数的表达式（原卷版）

第二讲确定二次函数的表达式

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一顶点式求表达式.................................................................................................................................2

考点二两点式求表达式...............................................................................................................................3

考点三一般式求表达式.................................................................................................................................4

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必备知识点

知识点1二次函数的解析式的常见形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交

点坐标是（0，c）。

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据

解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）。

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x

轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）。

知识点2二次函数与一元二次方程关系

（1）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）来说，当y＝0时，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．抛物

线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；

2、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方ax2＋bx＋c＝0根的情况）

2

①抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）（x2，0）

当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，

②抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点

当＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根

③抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴没有交点

当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根。

知识点3待定系数法求二次函数的解析式

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求

解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的

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顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点

式来求解．

考点一顶点式求表达式

1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）

A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3

2．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）

A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4

C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣4

3．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．

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考点二两点式求表达式

4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P点的坐标．

5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，

3），D为抛物线的顶点．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）求△CDB的面积．

（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

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6．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△

DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

考点三一般式求表达式

7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若

不存在，请说明理由．

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8．已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；

（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点

O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．

9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．

（1）求二次函数的表达式；