专题8二次函数与矩形存在性问题（解析版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题8二次函数与矩形存在性问题

1.矩形的判定:

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角为直角的四边形是矩形．

2.题型分析

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，

坐标系中的矩形满足以下3个等式：

因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．

确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：

同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C

或D的坐标.

【例1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，

4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．

（1）求a，c的值；

（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直

线DE的解析式；

（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，

F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；

（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线DE和AB的

交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可解答；

（3）设P（t，﹣t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三

角函数列等式可解答．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：

解得：；

（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

则，解得：，

∴AB的解析式为：y＝2x+4，

设直线DE的解析式为：y＝mx，

∴2x+4＝mx，

∴x＝，

当x＝3时，y＝3m，

∴E（3，3m），

∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，

∴•3•（﹣3m）＝•4•，

∴9m2﹣18m﹣16＝0，

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∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，

∴m1＝﹣，m2＝（舍），

∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；

（3）存在，

B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：

设P（t，﹣t2+t+4），

①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，

∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，

∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，

∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，

∵∠PHB＝∠FCG＝90°，

∴△PHB≌△FCG（AAS），

∴PH＝CF，

∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，

∵∠PBH＝∠OFB，

∴＝，即＝，

解得：t1＝0（舍），t2＝1，

∴F（2，0）；

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②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，

∵∠OFB＝∠FPM，

∴tan∠OFB＝tan∠FPM，

∴＝，即＝，

解得：t1＝，t2＝（舍），

∴F（，0）；

综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．

【例2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作

AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点

E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作

EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；

（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直

接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

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【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），

列出交点式，再将点A（0，﹣4）可得出抛物线的解析式；

（2）根据可得出△ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点H，F，G的坐

标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解析式即可；

（3）若存在，则△BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直角顶点，当

点C为直角顶点，分别求解即可．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），

∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），

将点A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，

∴a＝．

∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．

（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），

∴点B的坐标为（4，﹣4）．

∵D（4，0），

∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．

∵EF⊥AB，

∴∠AFE＝90°，

∴△AEF是等腰直角三角形．

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∵AE＝m，

∴AF＝EF＝m，

∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）．

∵四边形EGFH是正方形，

∴△EHF是等腰直角三角形，

∴∠HEF＝∠HFE＝45°，

∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．

∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．

∵B（4，﹣4），C（6，0），

∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．

当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4+m．

解得m＝．

∴G（，﹣）．

（3）存在，理由如下：

∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．

∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，

BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，

CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．

若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，

∴分以下三种情况：

①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，

∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，

解得m＝，

∴G（，﹣）；

②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，

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∴20+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝（4﹣m）2+（m）2，

解得m＝，

∴G（，﹣）；

③当点G为直角顶点时，BG2+CG2＝BC2，

∴（4﹣m）2+（m）2+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝20，

解得m＝或2，

∴G（3，﹣3）或（，﹣）；

综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（，﹣）或（，

﹣）或（3，﹣3）或（，﹣）．

【例3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），

与y轴交于点C，连接AC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC

于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的

坐标，若不存在，请说明理由；

（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边

形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数

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法即可求解；

（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出

AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列

出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；

（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边

形的中心对称性求出点F的坐标即可．

【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），

∴A（﹣1，0），

∴，解得，

∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

设直线BC的解析式为y＝kx+3，

将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，

解得：k＝﹣1，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；

设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴AC2＝12+32＝10，

AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，

CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，

①当AC＝AN时，AC2＝AN2，

∴10＝2t2﹣4t+10，

解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），

∴点N的坐标为（2，1）；

②当AC＝CN时，AC2＝CN2，

∴10＝2t2，

解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），

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∴点N的坐标为（，3﹣）；

③当AN＝CN时，AN2＝CN2，

∴2t2﹣4t+10＝2t2，

解得t＝，

∴点N的坐标为（，）；

综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；

（3）设E（1，a），F（m，n），

∵B（3，0），C（0，3），

∴BC＝3，

①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，

∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，

解得：a＝，或a＝，

∴E（1，）或（1，），

∵B（3，0），C（0，3），

∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，

∴m＝2，n＝或n＝，

∴点F的坐标为（2，）或（2，）；

②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，

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∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，

解得：a＝4或a＝﹣2，

∴E（1，4）或（1，﹣2），

∵B（3，0），C（0，3），

∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，

∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，

∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），

综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．

【例4】（2022•梁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，

0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试

求m的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存

在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如

果不存在，请说明理由．

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【分析】（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x

﹣4），求出点C坐标代入求出a即可；

（2）由△CMD∽△FMP，可得m＝＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即

可解决问题；

（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：

①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时；

【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，

所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），

∵OC＝2OA，OA＝2，

∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，

∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．

（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．

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∵CD∥PE，

∴△CMD∽△FMP，

∴m＝＝，

∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），

∵BC的解析式为y＝﹣x+4，

设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），

∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，

∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．

（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．

①当DP是矩形的边时，有两种情形，

a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，

有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，

∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），

由△DOE∽△QOD可得＝，

∴OD2＝OE•OQ，

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∴1＝•OQ，

∴OQ＝，

∴Q（，0）．

根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，

∴N（2+，4﹣1），即N（，3）

b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，

∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，

∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，

∴Q（8，0），

根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，

∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．

②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，

∵Q是直角顶点，

∴QD2+QP2＝PD2，

∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，

整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，

综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．

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2

1．（2022•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A

（﹣6，0）、B（2，0）两点．

（1）求抛物线L1的函数表达式；

（2）将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C

关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、

N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；

（2）存在，根据题意求得抛物线L2的表达式，再与抛物线L1联立，求得点C的坐标，进而求得点D的

坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在

x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可．

【解答】解：（1）把A（﹣6，0）、B（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，

得，

解得，

2

∴抛物线L1的函数表达式为y＝﹣x﹣4x+12；

（2）存在，理由如下：

∵y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16，

222

∴抛物线L2的函数表达式为y＝﹣（x+2﹣4）+16＝﹣（x﹣2）+16＝﹣x+4x+12，

令﹣x2﹣4x+12＝﹣x2+4x+12，

解得：x＝0，

当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x+12＝12，

∴点C的坐标为（0，12），

∵点D是点C关于x轴的对称点，

∴点D坐标为（0，﹣12），

①当M在x轴上方时，

要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，

2

则yM＝yC，即﹣x+4x+12＝12，

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解得：x1＝0，x2＝4，

∴M1（4，12）；

②当M在x轴下方时，

要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，

2

则yM＝yD，即﹣x+4x+12＝﹣12，

解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，

M2（2+2，﹣12），M3（2﹣2，﹣12）．

综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，

点M的坐标为（4，12）或（2+2，﹣12）或（2﹣2，﹣12）．

2．（2022•东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c与x轴的正半轴交于点D，

与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接

DE．当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求证：四边形OBED是矩形；

（3）在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取

得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD+∠DOE

＝90°，求点P的坐标．

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【分析】（1）由题意可知抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），再将两个点代入解析式即可

求解；

（2）由旋转是性质，可得OB＝AB，则设A（﹣m，m），求出A点坐标，由此可得BE＝OD，再由BE

∥OD，OB⊥OD即可证明；

（3）设N（n，0），则F（n，n），则S＝﹣（n﹣1）2+，可知当n＝1时，S有最大值，此时N（1，

0），F（1，），通过已知可推导出∠OPN＝∠POE，从而得到PF＝OF，设P（1，t），则|t﹣|＝，

求出t的值即可求点P的坐标．

【解答】（1）解：∵当+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2，

∴抛物线与x轴的两个交点为（2，0），（﹣，0），

∴，

解得，

∴y＝﹣x﹣1；

（2）证明：由（1）可知D（2，0），C（0，﹣1），

∴OD＝2，OC＝1，

∵AB⊥y轴，

∴△ABC是直角三角形，

∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，

∴OB⊥BE，AB＝OB，

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设A（﹣m，m），

∴m＝m2﹣m﹣1，

解得m＝﹣1或m＝，

∴A（﹣1，1），

∴BO＝1，

∴BC＝BE＝2，

∴BE＝OD，

∵∠BOD＝90°，

∴BE∥OD，

∴四边形OBED是矩形；

（3）∵E（2，1），

∴直线OE的解析式为y＝x，

设N（n，0），则F（n，n），

∴S＝×DN×FN＝×（2﹣n）×n＝﹣（n﹣1）2+，

∵N在线段OD上，

∴0≤n≤2，

∴当n＝1时，S有最大值，

此时N（1，0），F（1，），

∵∠PNO＝90°，

∴∠EOD+∠POE＝90°，

∵∠OPD+∠DOE＝90°，

∴∠POE+∠OPN＝∠OPD，

∵O点与D点关于l对称，

∴∠OPN＝∠NPD，

∴∠OPN＝∠POE，

∴PF＝OF，

设P（1，t），

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∴|t﹣|＝，

∴t＝+或t＝﹣+，

∴P点坐标为（1，+）或（1，﹣+）．

3．（2022•石家庄二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（点A在点B左

侧），与y轴交于点C，连接BC．

（1）点C的纵坐标为b+1（用含b的式子表示），∠OBC＝45度；

（2）当b＝1时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求△BCP面积的最大值，并求

出此时点P的坐标；

（3）已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．

①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；

②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范

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围．

【分析】（1）将（﹣1，0）代入解析式可得c与b的关系，从而可得OB＝OC，进而求解．

（2）由b＝1可得抛物线解析式及点B，C坐标，根据待定系数法求出直线BC解析式，设点P坐标为

2

（m，﹣m+m+2），作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，由S△BCP＝S△CEP+S△BEP求解．

（3）①将二次函数解析式化为顶点式可得点Q坐标，由点A，Q坐标可得A，Q中点坐标，进而求解．

②根据抛物线与y轴交点的位置及抛物线对称轴的位置，结合图象求解．

【解答】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣1﹣b+c，

解得c＝b+1，

∴y＝﹣x2+bx+b+1，

设点B坐标为（x2，0），则抛物线对称轴为直线x＝＝，

解得x2＝b+1，

∴点B坐标为（b+1，0），

∴OC＝OB＝b+1，

∴∠OBC＝45°，

故答案为：b+1，45．

（2）当b＝1时，y＝﹣x2+x+2，

作PE⊥x轴交BC于点E，连接PC，PB，

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设直线BC解析式为y＝kx+b，

将B（2，0），（0，2）代入y＝kx+b得，

解得，

∴y＝﹣x+2．

设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），则点E坐标为（m，﹣m+2），

∴PE＝﹣m2+2m，

22

∵S△BCP＝S△CEP+S△BEP＝PE•xP+PE（xB﹣xP）＝PE•xB＝﹣m+2m＝﹣（m﹣1）+1，

∴m＝1时，△BCP面积的最大为1，此时点P坐标为（1，2）．

（3）①∵y＝﹣x2+bx+b+1＝﹣（x﹣）2++b+1，

∴点Q坐标为（，+b+1），

∵A（﹣1，0），

∴点A，Q中点坐标为（﹣+，++），

∴++＝2，

解得b＝2或b＝﹣6，

当b＝2时，点Q坐标为（1，4），

当b＝﹣6时，点Q坐标为（﹣3，4）．

②∵E（3，2），

∴点F坐标为（0，2），

将（0，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得b+1＝2，

解得b＝1，

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将E（3，2）代入y＝﹣x2+bx+b+1得2＝﹣9+4b+1，

解得b＝，

∴1≤b＜，满足题意．

当抛物线顶点Q（，+b+1）落在y轴上时，＝0，

解得b＝0，

当抛物线经过原点时，0＝b+1，

解得b＝﹣1，

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∴﹣1＜b≤0符合题意．

综上所述，1≤b＜或﹣1＜b≤0．

4．（2022•滨海县一模）如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B

（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物

线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．

（1）求抛物线的表达式：

（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：

（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；

②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．

【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，即知抛物线的表

达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；

（2）由y＝﹣x2+x+2求出P（，），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，

从而可得E（，），PE＝﹣＝，即可得△PBC的面积是；

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（3）①过点N作NG⊥EF于点G，求得直线BM的表达式为：y＝2x﹣8即知M（0，﹣8），设E（a，

﹣a+2），则F（a，2a﹣8），证明△NEG≌△BFH（AAS），可得NG＝BH，EG＝FH，即有a＝4﹣a，

解得F（2，﹣4），E（2，1），从而可得N（0，﹣3）；

②取MN的中点D，由QN＝QM，知点Q在MN的垂直平分线上，又C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5

＝BQ+MQ+5，故要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，即点B、Q、M共线，此时，点Q即为MN的垂

直平分线与直线BM的交点，由N（0，﹣3），M（0，﹣8），得D（0，﹣），即可得Q（，﹣）．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；

（2）如图：

∵点P落在抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴上，

∴P为抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点，

∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，

∴P（，），

在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，

∴C（0，2）

由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，

把x＝代入y＝﹣x+2得y＝，

∴E（，），

第23页共83页.

∴PE＝﹣＝，

∴S△PBC＝PE•|xB﹣xC|＝××4＝，

答：△PBC的面积是；

（3）①过点N作NG⊥EF于点G，如图：

∵y＝2x+m过点B（4，0），

∴0＝2×4+m，

解得m＝﹣8，

∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8，

∴M（0，﹣8），

设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），

∵四边形BENF为矩形，

∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，

又∠NGE＝90°＝∠BHF，

∴△NEG≌△BFH（AAS），

∴NG＝BH，EG＝FH，

而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，

∴a＝4﹣a，

解得a＝2，

∴F（2，﹣4），E（2，1），

∴EH＝1，

第24页共83页.

∵EG＝FH，

∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，

∵F（2，﹣4），

∴G（2，﹣3），

∴N（0，﹣3）；

②取MN的中点D，如图：

∵QN＝QM，

∴点Q在MN的垂直平分线上，

又∵B（4，0），N（0，﹣3），

∴BN＝5，

∴C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，

∴要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，

∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，

此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，

∵N（0，﹣3），M（0，﹣8），

∴D（0，﹣），

在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：

﹣＝2x﹣8，

解得x＝，

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∴Q（，﹣）．

5．（2022•石家庄模拟）某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，

且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．

（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；

（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；

（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，

P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的

长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．

【分析】（1）以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；

（2）确定立柱的纵坐标，解方程可得答案；

（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，三根支杆的总长度w＝﹣m2+2m+16，

再根据二次函数的性质解答即可．

【解答】解：（1）如图，以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，

由题意得，E（0，8），A（﹣6，4），

设抛物线的解析式为y＝ax2+c，

代入可得，解得，

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∴y＝﹣x2+8；

（2）依题意可得﹣x2+8＝7，

解得x＝±3，

∴3﹣（﹣3）＝6（米），

答：这两根立柱之间的水平距离是6米；

（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，

∴三根支杆的总长度w＝PQ+PN+MN+2m+2（﹣m2+8）＝﹣m2+2m+16，

∵a＝﹣＜0，

∴m＝﹣＝4.5时，w最大＝20.5，

∴三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为20.5米．

6．（2022•朝阳区校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣m与y轴交于点M，直线y＝m+5与y轴交于点A，

与直线x＝4交于点B，直线y＝﹣2m与y轴交于点D（A与D不重合），与直线x＝4交于点C，构建矩

形ABCD．

（1）当点M在线段AD上时，求m的取值范围．

（2）求证：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．

（3）当抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．

（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的时，直接写出m的取

值范围．

【分析】（1）由题意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），分两种情况：当m+5＞﹣2m，即

m＞﹣时，当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，分别根据“点M在线段AD上”，列出不等式求解即可；

（2）由题意得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，根据根的判别式即可证得结论；

（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2﹣m），开口向上，分三种情况：

①当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，③当16﹣9m≤﹣2m，即m

≥时，分别画出图形讨论即可；

（4）由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，点B（4，

m+5）到x轴的距离为|m+5|，根据“抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距

第27页共83页.

离的”分三种情况：①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m﹣，

﹣2m），②当﹣5≤m＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，﹣2m），③

当m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为

（m+，m+5），分别代入抛物线解析式求解即可．

【解答】（1）解：由题意得：M（0，﹣m），A（0，m+5），D（0，﹣2m），

当m+5＞﹣2m，即m＞﹣时，

∵点M在线段AD上，

∴﹣2m＜﹣m＜m+5，

∴m＞0；

当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，

∵点M在线段AD上，

∴m+5＜﹣m＜﹣2m，

∴m＜；

综上所述，m的取值范围为m＞0或m＜．

（2）证明：当x2﹣2mx﹣m＝m+5时，

整理得：x2﹣2mx﹣2m﹣5＝0，

Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣2m﹣5）＝4（m+1）2+16，

∵4（m+1）2≥0，

∴4（m+1）2+16＞0，

∴抛物线y＝x2﹣2mx﹣m与直线y＝m+5恒有两个交点．

（3）解：∵y＝x2﹣2mx﹣m＝（x﹣m）2﹣m2﹣m，

∴该抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣m2﹣m），开口向上，与y轴的交点M（0，﹣m），

①当m+5＜﹣2m，即m＜﹣时，如图1，

第28页共83页.

此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；

②当m+5＞﹣2m，即﹣＜m≤0时，如图2，

此时抛物线在矩形内部的函数值y随着x的增大而增大；

③当m＞0时，如图3，

令x＝4，则y＝16﹣8m﹣m＝16﹣9m，

当16﹣9m≤﹣2m，即m≥时，抛物线在矩形内部（不包括边界）的函数值y随着x的增大而减小；

第29页共83页.

综上，m的取值范围为m＜﹣或﹣＜m≤0或m≥．

（4）解：由题意得：抛物线y＝x2﹣2mx﹣m在矩形ABCD中的最高点的横坐标x的范围是0≤x≤4，

点B（4，m+5）到x轴的距离为|m+5|，

当x＝4时，y＝16﹣9m，

∵抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标等于点B到x轴距离的，

∴抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的横坐标为|m+5|，

①当m＜﹣5时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（﹣m﹣，﹣2m），

∴﹣2m＝（﹣m﹣）2﹣2m（﹣m﹣）﹣m，

解得：m＝，

∵m＜﹣5，

∴m＝﹣；

②当﹣5≤m＜时，抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，﹣2m），

∴﹣2m＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，

解得：m＝﹣1，

∵﹣5≤m＜，

∴m＝﹣1﹣；

③当m＞﹣，且16﹣9m≥m+5，即﹣＜m≤时，

第30页共83页.

抛物线在矩形内部（包括边界）最高点的坐标为（m+，m+5），

∴m+5＝（m+）2﹣2m（m+）﹣m，

解得：m＝﹣3，

∵﹣＜m≤，

∴m＝﹣3+；

综上所述，m的值为﹣或﹣1﹣或﹣3+．

7．（2022•长春一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．

（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．

（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤1．

2

（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0

＝﹣1时，求m的值．

（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形

ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的

值．

【分析】（1）由y＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，即可求解；

（2）由抛物线的图象可得m≤1时，y随x的增大而增大；

（3）分三种情况讨论：当m＜﹣1时，y0＝2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数

2

有最小值，y0＝5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，y0＝﹣m+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）

或m＝﹣+1；

（4）分五种情况讨论：当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2

＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝

或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标

是4，最低点纵坐标是1，此时不符合题意．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，

∴顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）；

（2）∵抛物线开口向上，

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∴m≤1时，y随x的增大而增大，

故答案为：m≤1；

（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，

∴y0＝2+4m，

∵y0＝﹣1，

∴2+4m＝﹣1，

解得m＝﹣（舍）；

当m＞2时，x＝2，函数有最小值，

∴y0＝5﹣2m，

∵y0＝﹣1，

∴5﹣2m＝﹣1，

解得m＝3；

当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，

2

∴y0＝﹣m+2m+1，

∵y0＝﹣1，

∴﹣m2+2m+1＝﹣1，

解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；

综上所述：m的值为3或﹣+1；

（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，

解得m＝1（舍）；

当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，

解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；

当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，

解得m＝或m＝﹣（舍）；

当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，

解得m＝1（舍）；

当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，

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∴3≠4，

∴此时不符合题意；

综上所述：m的值为或2﹣．

8．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点

A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作

PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点Q与点M重合时，求m的值；

（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；

（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．

（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．

（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．

（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数

值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，

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抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M

在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．

【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（3，0），

∴＝0，

解得b＝1．

∴抛物线解析式为：．

（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝的图象上，

∴P点的坐标为（m，），

∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，

∴Q点的坐标为（3，），

∵M点的坐标为（3，﹣m+），

∵Q点与M点重合，

∴＝﹣m+，

解方程得：m＝0或m＝4．

（3）∵抛物线＝﹣（x﹣1）2+2，