专题31三角形与新定义综合问题（解析版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题31三角形与新定义综合问题

【例1】（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），

如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容

易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下

列问题：

（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过

点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形

的三线合一性质，求出BC即可解答，

根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠

B＝60°；

（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，

canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△

ABC＝48，列出关于x的方程即可解答．

【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD，

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∵∠B＝30°，

∴BD＝ABcos30°＝AB，

∴BC＝2BD＝AB，

∴can30°＝＝＝，

若canB＝1，

∴canB＝＝1，

∴BC＝AB，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

故答案为：，60；

（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵canB＝，

∴＝，

∴设BC＝8x，AB＝5x，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝BC＝4x，

∴AD＝＝3x，

∵S△ABC＝48，

∴BC•AD＝48，

∴•8x•3x＝48，

∴x2＝4，

∴x＝±2（负值舍去），

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∴x＝2，

∴AB＝AC＝10，BC＝16，

∴△ABC的周长为36，

答：△ABC的周长为36．

【例2】（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这

个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标

准三角形．

【概念感知】

判断：对的打“√”，错的打“×”．

（1）等腰直角三角形是标准三角形．√

（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×

【概念理解】

若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：或：：

2．

【概念应用】

（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小

值．

（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；

（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；

【概念理解】当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；当△ABC是等

腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，设BE＝x，则AE＝2x，求出AB＝x，则AB：

AC：BC＝：：2；

【概念应用】（1）过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，

当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，求出A'B即可；

（2）分两种情况讨论：①当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，

设CD＝AB＝a，则AC＝a，由等积法求出BE＝a，用勾股定理分别求出AD＝2a，

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BD＝a，BC＝a，则可求sin∠BCE＝；②当BC＝AB时，BC＝DC，过

点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，由勾股定理分别求出BD＝2a，

AD＝3a，AC＝a，再由等积法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．

【解答】解：【概念感知】

（1）如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，

∵AB＝AC，

∴等腰直角三角形是标准三角形，

故答案为：√；

（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，

∵∠A＝30°，

∴CD＝AC，

∵CA＝AB，

∴CD＝AB，

∴△ABC不是标准三角形；

如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，

此时AE＞BC，

∴△ABC不是标准三角形；

故答案为：×；

【概念理解】

如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；

如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，

∴BE＝EC＝BC＝AE，

设BE＝x，则AE＝2x，

在Rt△ABE中，AB＝x，

∴AB：AC：BC＝：：2；

故答案为：1：1：或：：2；

【概念应用】

（1）如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，

当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，

∵AB＝CD＝1，

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∴AA'＝2，

在Rt△ABA'中，A'B＝，

∴AC+BC的最小值为；

（2）在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，

∴AC＞CD，BC＞CD，

∴AC＞AB，BC＞AB，

∴△ABC的最小角为∠ACB，

①如图6，当AC＝AB时，AC＝CD，

过点B作BE⊥AC交于E，

设CD＝AB＝a，则AC＝a，

∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，

∴BE＝a，

在Rt△ACD中，AD＝2a，

∴BD＝AD﹣AB＝a，

在Rt△BCD中，BC＝a，

在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；

②如图7，当BC＝AB时，BC＝DC，

过点B作BE⊥AC交于E，

设CD＝AB＝a，则BC＝a，

在Rt△BCD中，BD＝2a，

∴AD＝3a，

在Rt△ACD中，AC＝a，

∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，

∴BE＝a，

在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；

综上所述：最小角的正弦值为或.

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【例3】（2020•五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，

发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、

图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形

均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

【特例探究】

（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝4，b＝4；如图2，当∠

PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝20；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，

并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，

连接AF、BE、C▱E，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF

的长．

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【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出PA、PB，根据三角形中位线定理得到

MN∥AB，根据相似三角形的性质分别求出PM、PN，根据勾股定理计算即可；

（2）连接MN，设PN＝x，PM＝y，利用勾股定理分别用x、y表示出a、b、c，得到答

案；

（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，证明△ABF为“中垂三

角形”，根据（2）中结论计算即可．

【解答】解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，

则PA＝PB＝c＝4，

∵M、N分别为CB、CA的中点，

∴MN＝AB＝2，MN∥AB，

∴△APB∽△MPN，

∴＝＝＝，

∴PM＝PN＝2，

∴BM＝＝2，

∴a＝2BM＝4，

同理：b＝2AN＝4，

如图2，连接MN，

在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，

∴PB＝c＝1，

∴PA＝＝，

∴PN＝，PM＝，

∴BM＝＝，AN＝＝，

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∴a＝，b＝，

∴a2+b2＝20，

故答案为：4；4；20；

（2）a2+b2＝5c2，

理由如下：如图3，连接MN，

设PN＝x，PM＝y，

则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，

∴BM＝＝，AN＝＝，

∴a＝2，b＝2，

∴a2+b2＝20（x2+y2），

∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），

∴a2+b2＝5c2；

（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴△AHP∽△BHF，

∴＝＝1，

∴AP＝BF，

∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，

∴AE＝BF＝，

∴PE＝FC，

∴四边形PFCE为平行四边形，

∵BE⊥CE，

∴BG⊥FH，

∵AE∥BF，AE＝BF，

∴AG＝GF，

∴△ABF为“中垂三角形”，

∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（）2，

解得：AF＝4．

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【例4】（2020•岳麓区校级二模）定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC

为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．

（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC

＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；

（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD

于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；

（3）如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交

于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，

连接AC交y轴于点E．

①求证：△ABC是中垂三角形；

②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．

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【分析】（1）先利用“SAS“证明△BAD≌△ABE，然后根据△ABC是中垂三角形即可证

明；

（2）先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出结论；

（3）①利用二次函数先求出点B、点A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确

定E是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；

②先由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）的坐标得到kAB＝a，kAC＝﹣a，

kBC＝﹣a，然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可．

【解答】（1）证明：AC＝BC，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，

∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，

∴△BAD≌△ABE（SAS），

∴∠ABD＝∠BAE，

∴OA＝OB．

∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，

∴∠AOB＝90°，

∴△AOB是等腰直角三角形．

（2）L＝6AB2．

证明：如图，连接DE．

∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，

∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，

∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．

在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，

在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，

∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）

＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）

＝4（AB2+DE2）

＝4（AB2+AB2）

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＝5AB2，

∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．

（3）①证明：在y＝中，当x＝0时，y＝﹣2a，

∴点B（0，﹣2a）．

y＝0时，＝0，

整理得3x2﹣4x﹣32＝0，

解得x1＝﹣（舍），x2＝4，

∴点A（4，0）．

∵BD＝CD，

yC＝﹣yB＝2a，

将y＝2a代人y＝，

解得x1＝（舍），x2＝﹣4，

∴C（﹣4，2a）．

由点A（4，0），C（﹣4，2a）可知，E是AC的中点．

又∵BD＝CD，

∴AD，BE都是△ABC的中线．

又∵∠AOB＝90°，

∴AD⊥BE，

∴△ABC是中垂三角形．

②解法一：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）可得kAB＝a，kAC＝﹣a，

kBC＝﹣a，

∵∠C＜∠AOB，

∴∠C≠90°．

当∠ABC＝90°时，kAB•kBC＝﹣1，

解得a＝（负值舍去），

∴点B（0，﹣2），

∴L＝6AB2＝6×24＝144．

当∠BAC＝90°时，kAB•kCA＝﹣1，

解得a＝2（负值舍去），

∴点B（0，﹣4），

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∴L＝6AB2＝6×48＝288．

综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．

解法二：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a），

∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，

∴点D（﹣2，0），E（0，a）．

∵∠C＜∠AOB，

∴∠C≠90°．

当∠ABC＝90°时，在△ABD中，由射影定理得OB2＝OA•OD，

∴4a2＝8，解得＝（负值舍去），

∴点B（0，﹣2α），

∴L＝6AB2＝6×24＝144．

当∠BAC＝90°时，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB•OE，

∴16＝2a2，解得a＝2（负值舍去），

∴点B（0，﹣4），

∴L＝6AB2＝6×48＝288．

综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．

【例5】（2020•安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的

大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互

转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底

边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记

作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对

应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：

（1）can30°＝；

（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．

【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B＝30°，可得出BD＝AB，结合等

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腰三角形的性质可得出BC＝AB，继而得出canB；

（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据canB＝，设BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC＝24，

可得出x的值，继而求出周长．

【解答】解：

（1）过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠B＝30°，

∴cos∠B＝＝，

∴BD＝AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴BC＝2BD＝AB，

故can30°＝＝；

（2）过点A作AE⊥BC于点E，

∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，

∴AE＝＝3x，

∵S△ABC＝24，

∴BC×AE＝12x2＝24，

解得：x＝，

故AB＝AC＝5，BC＝8，

从而可得△ABC的周长为18．

一．解答题（共20题）

1．（2022秋•如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角

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形”．

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填写序号）．

①顶角是30°的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一个角是30°的直角三角形．

（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折

180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．

①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；

②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个

是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．

【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；

（2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性质

可得∠BDE＝∠E，可得结论；

②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．

【解答】（1）解：若顶角是30°的等腰三角形，

∴两个底角分别为75°，75°，

∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，

若等腰直角三角形，

∴三个角分别为45°，45°，90°，

∵90°＝2×45°，

∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，

若有一个是30°的直角三角形，

∴另两个角分别为60°，90°，

∵60°＝2×30°，

∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，

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故答案为：②③；

（2）①证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，

∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，

∴∠BAE＝2∠ADB，

∵BE＝BC，

∴BD＝BE，

∴∠E＝∠ADB，

∴∠BAE＝2∠E，

∴△ABE是“倍角三角形”；

②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，

如图，

若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，

∴△ABP是等边三角形，

∴∠APB＝60°，

∴∠BPE＝120°，

∵△BPE是“倍角三角形”，

∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，

∴∠BEP＝20°或40°；

若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，

∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠

ABP，

∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，

∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，

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∵△BPE是等腰三角形，

∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，

综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．

2．（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE

＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是

“邻BC三分线”．

【问题解决】（1）如图②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的

三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．

（2）如图③所示，在△ABC中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻

BC三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．

【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与

∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°（m＞54），∠ABC＝54°．求出∠BPC

的度数．（用含m的式子表示）

【分析】（1）分BD是邻AB的三分线和BD是邻BC的三分线两种情况解答即可；

（2）由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠

ABC+∠ACB＝120°，从而∠A＝60°；

（3）分四种情况分别解答即可．

【解答】解：（1）当BD是“邻AB三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝15°，

则∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，

当BD′是“邻BC三分线”时，∠ABD′＝∠ABC＝30°，

则∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，

综上所述，∠BDC的度数为95°或110°；

（2）∵∠BPC＝140°，

∴∠PBC+∠PCB＝40°，

∵BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，

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∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∴∠A＝60°；

（3）如图：

∵∠A＝m°，∠ABC＝54°，

∴∠ACD＝（m+54）°，

①当BP是邻AB的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，

∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝（m+36）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；

②当BP是邻AB的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，

∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝（m+18）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m﹣18）°；

③当BP是邻BC的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，

∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝（m+36）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m+18）°；

④当BP是邻BC的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，

∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝（m+18）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；

综上所述，∠BPC度数为m或m﹣18或m+18或m．

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3．（2022春•石嘴山校级期末）[问题情境]

我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，

则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为

|x1﹣x2|．

[拓展]

现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1）、N（x2，y2）之间的折

线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）．

之间的折线距离d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5，

[应用]

解决下列问题：

（1）已知点E（3，2），点F（1．﹣2），求d（E，F）的值；

（2）已知点E（3，1），H（﹣1，n），若d（E，H）＝6，求n的值；

（3）已知点P（3，4），点Q在y轴上，O为坐标系原点，且△OPQ的面积是4.5，求d

（P，Q）的值．

【分析】（1）根据折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|计算即可；

（2）根据折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，构建方程求解即可；

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（3）设Q（0，m），利用三角形的面积公式求出m的值，再根据折线距离为d（M，N）

＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|计算即可求解．

【解答】解：（1）∵点E（3，2），点F（1，﹣2），

∴d（E，F）＝|3﹣1|+|2﹣（﹣2）|＝6；

（2）∵E（3，1），H（﹣1，n），d（E，H）＝6，

∴d（E，H）＝|3﹣（﹣1）|+|1﹣n|＝6，

解得：n＝﹣1或3；

（3）如图，设Q（0，m）．

由题意，•|m|•2＝4.5，

解得m＝±3，

∴Q（0，3）或（0，﹣3），

当Q（0，3）时，d（P，Q）＝|3﹣0|+|4﹣3|＝4，

当Q（0，﹣3）时，d（P，Q）＝|3﹣0|+|4﹣（﹣3）|＝10，

∴d（P，Q）＝4或10．

4．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称

这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，

∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．

【理解】

（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为12°；

（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为35或

°；

（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取

值范围，并说明理由；

【应用】

如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延

长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠

第20页共57页.

BAE＝∠，求∠的度数．

αα

【分析】（1）设最小角为，由题意可得+2＝＝36°，求出即为所求；

（2）当∠A是“开心角”，α则最小角为35α°；α当∠A不是“开心α角”，设最小角为，+2

＝110°，＝（）°；ααα

α

（3）三角形另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠

A，可得∠A≤45°；

【应用】由题意可得∠PAC＝180°﹣2∠，设∠PCA＝x，则x＝2∠﹣30°，∠AEB＝

240°﹣3∠，∠ABE＝2∠﹣60°，分两α种情况讨论：①当∠BAEα与∠ABE互为开心

角时，∠BAαE＝∠ABE或∠αBAE＝2∠ABE，求得∠＝40°；②当∠BAE与∠AEB互

α

为开心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB（舍），求得∠＝48°．

α

【解答】解：（1）设最小角为，

∵△ABC为开心三角形，∠A＝α144°，

∴+2＝180°﹣144°＝36°，

∴α＝1α2°，

故答α案为：12；

（2）当∠A是“开心角”，则最小角为35°；

当∠A不是“开心角”，设最小角为，

∴+2＝180°﹣70°＝110°，α

∴α＝（α）°，

α

故答案为：35或；

（3）∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，

∴另一个开心角是2∠A，

∴第三个内角是180°﹣3∠A，

第21页共57页.

∵∠A是最小内角，

∴∠A≤180°﹣3∠A，

∴∠A≤45°；

【应用】

∵AD平分△ABC的内角∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAE＝∠，

∴∠PAC＝180°﹣2∠α，

设∠PCA＝x，α

∵CD平分△ABC的外角∠DCF，

∴∠BCD＝∠CDF＝x，

∴∠ACB＝180°﹣2x，

∵∠P＝30°，

∴180°﹣2∠+x＝150°，

∴x＝2∠﹣3α0°，

∴∠AEB＝α∠+180°﹣2x＝240°﹣3∠，

∴∠ABE＝180α°﹣∠﹣（240°﹣3∠α）＝2∠﹣60°，

①当∠BAE与∠ABEα互为开心角时，αα

∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，

∴∠＝（2∠﹣60°）或∠＝2（2∠﹣60°），

αααα

解得∠＝40°；

②当∠αBAE与∠AEB互为开心角，

∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，

∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，

∴∠BAE＝2∠AEB舍去，

∴∠＝（240°﹣3∠），

αα

解得∠＝48°，

综上所述α：40°或48°．

5．（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角与满足+2＝100°，那么我们

称这样的三角形为“奇妙三角形”．αβαβ

（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．

求证：△ABD为“奇妙三角形”

第22页共57页.

（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；

（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，

直接写出∠C的度数．

【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明

△ABD为“奇妙三角形”．

（2）由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B

＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC

是直角三角形．

（3）由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2

∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．

【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠ABD．

在△ABC中，∵∠ACB＝80°，

∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，

即∠A+2∠ABD＝100°，

∴△ABD为“奇妙三角形”．

（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，

∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，

∴∠B＝10°或∠A＝10°，

当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．

当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．

由此证得，△ABC是直角三角形．

（3）解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠ABD，

∵△ABD为“奇妙三角形”，

∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，

①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，

第23页共57页.

∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，

∴∠C＝80°；

②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，

∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，

∴∠C＝100°；

综上得出：∠C的度数为80°或100°．

6．（2022春•亭湖区校级月考）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线

段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如

图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC

中BC边上的“好点”．

（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描

出）AB边上的所有“好点”点D；

（2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD

的长；

（3）如图3，△ABC是O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交O于点

D．若点H是△BCD中⊙CD边上的“好点”．⊙

①求证：OH⊥AB；

②若OH∥BD，O的半径为r，且r＝3OH，求的值．

⊙

【分析】（1）直角三角形的“好点”是斜边的中点，作斜边上的高，垂足也为“好点”，

即可得答案；

（2）作AE⊥BC，解斜△ABC，设BD＝a，根据AD2＝DE2+AE2＝BD•CD列方程求得；

（3）①由△ACH∽△DBH得，CH•HD＝AH•BH，结合BH2＝CH•HD，得证；

②先确定AD是直径，然后求出AH、BH、BD、BH、CH，从而求出比值．

【解答】解：（1）如图1，

第24页共57页.

斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD'的垂足D'均为AB边长的“好点”．

（2）如图2，

作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，tanB＝，

∴设AE＝3a，BE＝4a，

tanC＝，

∴CE＝AE＝3a，

∴3a+4a＝7，

∴a＝1，

∴AE＝CE＝3，BE＝4，

∴AB＝5，

设BD＝x，

∴DE＝|4﹣x|，

在Rt△ADE中，由勾股定理得，

AD2＝DE2+AE2＝（4﹣x）2+32，

∵点D是BC边上的“好点”，

∴AD2＝BD•CD＝x•（7﹣x），

∴x•（7﹣x）＝（4﹣x）2+32，

∴x1＝5，x2＝，

即BD＝5或．

第25页共57页.

（3）如图3，

①证明：∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，

∴BH2＝CH•HD，

∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，

∴△ACH∽△DBH，

∴，

∴CH•HD＝AH•BH，

∴BH2＝AH•BH，

∴AH＝BH，

∴OH⊥AB；

②连接AD，

设OH＝a，则OA＝3a，

由①知，OH⊥AB，

又∵OH∥BD，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∴AD是O的直径，

∴OA＝O⊙D＝3a，

在Rt△AOH中，由勾股定理得，

AH＝，

∵AH＝BH＝，OA＝OD，

∴BD＝2a，

在Rt△BDH中，由勾股定理得，

DH＝＝，

由BH2＝CH•DH得：，

∴CH＝，

第26页共57页.

∴．

7．（2021秋•如皋市期末）【了解概念】

定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形

为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．

【理解运用】

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，

并说明理由；

【拓展提升】

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，

MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半

线，求∠AMC的度数；

（3）在（2）的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．

【分析】（1）根据半线三角形的定义进行判断即可；

（2）过点A作AN⊥AM交MC于点N，可证明△MAB≌△NAC，则AM＝AN，所以三角

形MAN是等腰直角三角形，由此可解答；

（3）在（2）的基础上可知，MB＝NC，AM＝AN＝1，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，

MB2+MC2＝BC2，由此可得MB的长．

【解答】解：（1）△ABC是半线三角形，理由如下：

取BC得中点D，连接AD，

∵AB＝AC，点D为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

第27页共57页.

在Rt△ABD中，∠B＝30°，

∴AD＝AB，

∴△ABC是半线三角形．

（2）过点A作AN⊥AM交MC于点N，如图，

∵MD为△MBC的BC边的半线，

∴MD＝BC＝BD＝CD，

∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，

∴∠BMC＝90°，

同理∠BAC＝90°，

又∵∠MOB＝∠AOC，

∴∠MBA＝∠MCA，

∵∠MAN＝∠BAC＝90°，

∴∠MAB＝∠NAC．

∵AB＝AC，

∴△MAB≌△NAC（ASA），

∴AM＝AN，

又∵∠MAN＝90°，

∴∠AMC＝∠ANM＝45°．

（3）由题意可知，BC＝2MD＝3，

由（2）知△MAB≌△NAC（ASA），

∴MB＝NC，AM＝AN＝1，

∴MN＝，

在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，

∴MB2+（+MB）2＝32，

解得，MB＝2﹣（负值舍去）．

故MB的值为2﹣．

8．（2021秋•顺义区期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正

第28页共57页.

度．

如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．

已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．

（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；

（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，

保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．

（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，

使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出答案；

（2）作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．设AD＝x，AE＝x，求出AD＝x，

则可得出△ADE是等腰直角三角形，则可得出答案；

（3）设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．由三角形的周长求出x＝2，得出AB＝6，AC＝6，

BC＝10，作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，由勾股定理求出AH，分两种情况：当AD

＝DC时，当AC＝DC＝6时，可求出答案．

【解答】解：（1）若∠A＝90°，，则△ABC的正度为，

故答案为：；

（2）用尺规作出等腰△ACD，如图1，

作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．

∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．

第29页共57页.

∵△ACD的正度是，

∴，

∴，

∴．

在Rt△ADE中，设AD＝x，AE＝x，

∴．

∴DE＝AE．

∴△ADE是等腰直角三角形．

∴∠A＝45°．

（3）存在点D，使△ACD具有正度．

∵△ABC的正度为，△ABC的周长为22，

∴．

设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．

∵△ABC的周长为22，

∴3x+5x+3x＝22．

∴x＝2．

∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，

作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，

∴AH＝．

①当AD＝DC时，如图2所示，

设AD＝DC＝y，则HD＝5﹣y，

由AH2+HD2＝AD2，得11+（5﹣y）2＝y2．

解得y＝，

即AD＝．

第30页共57页.

∴△ACD的正度为．

②当AC＝DC＝6时，

如图3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，

∴DA＝．

∴△ACD的正度为．

综上所述，△ACD的正度为或．

9．（2021秋•丹阳市期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯

定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的

延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．

下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：

证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有，，

∴＝1．

请用上述定理的证明方法解决以下问题：

（1）如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证

明：＝1．

请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：

（2）如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，

CF与AD交于点E，则AE的长为．

（3）如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接

FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．

第31页共57页.

【分析】（1）过点C作CN∥XZ交AY于点N，根据平行线截线段成比例的知识解答即可；

（2）根据梅涅劳斯定理进行推理；

（3）根据梅涅劳斯定理得，＝1，则＝，由面积公式得SBCEF＝S△BCF+S

△CEF，即可得出答案．

【解答】（1）证明：如答图1，过点C作CN∥XZ交AY于点N，

则＝，＝．

故：••＝••＝1．

（2）解：如答图2，

第32页共57页.

根据梅涅劳斯定理得：＝1．

又∵BF＝2AF，

∴＝，＝2，

∴DE＝AE．

在等边△ABC中，∵AB＝2，点D为BC的中点，

∴AD⊥BC，BD＝CD＝1．

∴由勾股定理知：AD＝＝＝．

∴AE＝．

故答案是：；

（3）解：∵DEF是△ABC的梅氏线，

∴由梅涅劳斯定理得，＝1，

即××＝1，则＝．

如答图3，连接FC，

S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，

于是S四边形BCEF＝S△BCF+S△CEF

＝S△ABC

第33页共57页.

＝×2

＝．

故答案是：．

10．（2021秋•洪江市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相

交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角

形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完

美分割线．

（1）如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠

ACB的度数；

（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△

ABC的完美分割线；

（3）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是

以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ACD＝44°，再根据相似三角形的性质得到

∠BCD＝∠A，计算即可；

（2）根据三角形内角和定理得到∠ACB＝80°，进而判断出△ABC不是等腰三