专题26以旋转为载体的几何综合问题 （原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题26以旋转为载体的几何综合问题

【例1】（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段

AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

【例2】（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，

连接BE、CE．△𝐴�∠𝐴�=45°,𝐴⊥����=��

(1)直接写出CE与AB的位置关系；

(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接、，在旋转

′′′′′

的过程中与△��的�位置关系与（1）中△的�C�E�与AB�的位�置′关系是否一致?请说明理由；𝐷𝐴△���

′

(3)如图3，𝐷当′𝐴绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求

′

的长．△���𝐷′𝐴𝐶=𝐶,��=3

′

𝐴

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【例3】（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公

共点．�𝐴𝐴���𝐷�𝐴𝐴

�

(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；

2𝐷

(2)将正方形�绕𝐴点逆时�针方𝐴向旋转2��，如图2，求：的值为多少；

𝐷

(3)�，𝐷��，将正方形�(0绕°<逆�<时针90方°)向旋转��，当，，三点共线时，请直

2

接写𝐴出=8的2长度𝐶．=2𝐴�𝐷���(0°<�<360°)���

��

【例4】（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时

针旋转一个锐角45到°图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，

交于E，交于F，通过证明，可得．𝐶,��𝐴

请你��证明：����．△���≌△�����=��

𝐶=��

【迁移应用】

延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位．置．关系．

【拓�展�延伸】��,������

小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其

他条件不变，请你猜想并证明30与°的数．量．关系．��,𝐶

𝐶��

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【例5】（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，D，E，F分别为

的中点，连接．△𝐴�𝐴=��=25,��=4��,𝐴,��

��,��

(1)如图1，求证：；

5

(2)如图2，将�绕�点=D2�顺�时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，

连接并延长∠交��射�线于点M，判断与的数量关∠�系�，�并说明理�由�；𝐴����

(3)如�图�3，在（2）的�条�件下，当𝐹时�，�求的长．

��⊥𝐴��

一、解答题【共20题】

1．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，

连接，．𝐴𝐴△������<𝐴∠���=90°��=��

𝐷��

(1)如图，求证：≌；

(2)直线1与相交△于�点��．△𝐴�

如图𝐷，��于点�，于点，求证：四边形是正方形；

①如图2，连��接⊥�，�若��，�⊥��，直�接写出在�旋�转��的过程中，线段长度的最小值．

②3��𝐴=4��=2△�����

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2．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺

时针旋转得到，旋转角等于，连接𝐴�．�𝐴=4,𝐴=3�𝐴𝐷

��∠�����

(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；

(2)当��时，求�的�长⊥；��𝐸=𝐴

(3)连�接�=，3点2E从点�B�运动到点D的过程中，试探究的最小值．

����

3．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E

在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋

转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．

(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为；

(2)如图2，当α＝90°时

①求证：△AGD≌△FGM；

②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

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4．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆

时针方向旋转得到，连接．R点t△P�从�点�B出∠发��，�沿=90方°,�向�匀=速5运cm动,�，�速=度3c为m△；𝐴同�时，点Q从

点A出发，沿90方°向匀△速�运��动，速度�为�．交于点F�，�连接．设运动时间1为cm/s．解

答下列问题：𝐴1cm/s������,���(s)(0<�<5)

(1)当时，求t的值；

(2)设�四�边⊥形𝐴的面积为，求S与t之间的函数关系式；

2

(3)是否存在某��一��时刻t，使�(cm)？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

��∥𝐴

5．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）在中，，线段绕点A逆时针旋转

至（不与重合），旋转角记为，的平△分𝐴线�与∠射�线��=相90交°,于𝐴点=E�，�连接�．�

𝐴𝐴���∠���𝐷����

(1)如图①，当时，的度数是_____________；

(2)如图②，当�=20°∠时𝐷，�求证：；

(3)当0°<�<90°时，请直�接�写+出2𝐷的=值．2𝐷

��

0°<�<180°,𝐷=2𝐷��

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6．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛

4

物线恰好经过这两点．�=−3�−4

52

�=18�+��+�

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．

①写出点E的坐标，0并,6判断点△E��是�否在此抛物线上；△���

②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．

3

5��+��

7．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，，

，．△𝐴�△����∠𝐴�=∠���=90°∠���=∠���=30°

��=3��=2

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关

𝐴

系是______；��𝐴��𝐷=𝐴𝐷

(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论

是否仍然成立？若成立，请证明；△若�不�成�立，�请说明理由；�����

(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于

点，当时，求△�的�值�．��(19°<�<60°)𝐴��

���=��tan60°−�

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8．（2022·湖北十堰·中考真题）已知，在内部作等腰，，

．点为射线∠𝐴�上=任9意0°一点（∠�与�点�不重合），△连�接��，𝐴将=线�段�绕点逆时针旋转

∠得�到��线=段�0，°<连�接≤9并0°延长交�射线�于�点．�𝐴𝐴��

𝐷�����

(1)如图1，当时，线段与的数量关系是_________；

(2)如图2，当�=90°时，（��1）�中�的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)若，0°<�<90，°，过点作，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）．

�=60°𝐴=43��=����⊥���𝐴�

9．（2022·山西·中考真题）综合与实践

问题情境：在RtABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D

放在RtABC斜△边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，

N，猜想△证明：

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当∠A�M=A∠N�时�，�直接写出线段AN的长．

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10．（2022·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．

的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成9画×图6，画图过程用虚线表示．△𝐴�

(1)在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在

上画点，使�；�𝐴����180°����

(2)在图�（2）中��，∥��是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画

点，使，两点�关于直𝐴线对称．∠���=�𝐴�2�𝐵𝐵

�����

11．（2022·四川广元·中考真题）在RtABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，

连接AD、BD．△

(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；

(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时

①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；

②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间

的数量关系，并证明．

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12．（2022·江苏连云港·中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按

照如图1所示的方式摆放．其中，，．

【问题探究】小昕同学将三角板∠�𝐴绕=点∠B�按��顺=时9针0°方向∠�旋=转3．0°��=��=3

���

(1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．

(2)若点、、�在同一条�直�线上，求点��到直�线�的�距离．��

(3)连接�，�取�的中点，三角板�由初始位�置�（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），

求点所�经�过的�路�径长．�������

(4)如�图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．

����𝐴

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13．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角

形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将

绕点𝐴C�按逆时针方向旋转𝐴（�），连接，∠��，�延=长∠�𝐴交=90于°点F，连接△�．�该�数学兴趣△小�组�进�

行如下探究，请你帮忙解答�：0°<�<90°𝐷����𝐷��

(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；

(2)【初步探究】如图3，当点��E∥�，�F重合时�，=请直接写出，，之间的数量关系：_________；

(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结��论是��否仍�然�成立？若成立，请给出推理过程；若不成

立，请说明理由．

(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保

持不动，将绕△点�C��按逆△时�针��方向旋∠�转𝐴（=∠�𝐷=90°），连�接�=，���，�延�长=��交�于点F，连接

△，�如�图�6．试探△究𝐴，�，之间的数量关系，�并0说°明<理�由<．90°𝐷����𝐷

��������

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14．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在中，，中，（），，，

，点B，C，△E不𝐴共�线，点𝐴P=为�直�线△�上��一点，�且�=𝐴𝐷．≥����=𝐴∠�=�

∠（�1�）�如+图∠�1�，�点=D18在0°线段延长线上，则______�__�，__�_�__=__�_�，（用含的代数式表示）；

��∠�𝐴=∠𝐴�=�

（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；

����∠𝐴�

（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交

于点G，∠点𝐴M�=是60°中点��，=请直3接+写1出的长．△𝐴���⊥������

𝐴��

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15．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：

如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．

𝐴𝐴𝐴=23∠𝐴�=30°�𝐴���⊥𝐴���

实验探究：

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：

①_____；②直线与所夹锐角的度数为△__�_�_�__．�90°

𝐷

（2��）=小王同学继续将𝐷�绕�点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然

成立？并说明理由．△����

拓展延伸：

在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．

△������△𝐴�

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16．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，

OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点M．填空：的值为，∠AMB的度数为；

��

（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠�O�BA＝∠ODC＝60°，连接AC交BD的延长线

于点M．请判断的值，并说明理由；

��

（3）在（2）的条��件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝；

点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为．6

17．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】

如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕

点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．

(1)【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．

(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，

1

求证：M是CD的中点．=3

(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知

∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是______．

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18．（2021·四川乐山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，

将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

(1)观察猜想

如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．

��

(2)类比探究��

如图2，当α＝90°时，请写出，并就图2的情形说明理由．

��

(3)解决问题��

当α＝90°时，若点