高考数学二轮总复习思想方法训练2分类讨论思想理

思想方法训练2分类讨论思想能力突破训练1.已知函数f(x)=2x-4,x≤4,-log2(A.1或1821 B.C.1 D.32.从0,1,2,3,4这5个数字中任意选3个组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()A.60个 B.40个 C.30个 D.24个3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±34x,则该双曲线的离心率为(A.54 B.5C.54或55.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,MN2=λAN·NB,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线6.设x,y满足y-1≥0,x-y+2≥0,x+4y-8≤0A.(417,17] B.(0,417)C.1722,17 D.0,17227.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,记bn=S1+S2+…+Sn4n8,若数列{bn}也为等比数列,则a2=()A.12 B.32 C.16 D.88.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30° B.60° C.30°或60° D.45°或60°9.(2022山东德州二模)设函数f(x)=x2+1,x≤0,lnx,x>10.(2022广西武鸣高中高三检测)两平行平面截半径为13的球,若截面面积分别为25π和144π,则这两个平面间的距离是.

11.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=(1)nan+bn,求数列{cn}的前n项和Sn.12.(2022广西河池模拟)已知函数f(x)=13x3x2+2(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)在区间[a,a+1](a>0)上的最大值.思维提升训练13.已知在四边形ABCD中,AC⊥BD,AB=BC=BD2=2,AC=CD=23,点E在四边形ABCD的边上运动,则EB·ED的最小值是A.3 B.1 C.3 D.414.已知函数f(x)=110x+1(x≤1),lnx-1(x>1),则方程A.(1,0] B.-C.(1,0]∪110,115.(2022四川树德中学高一竞赛)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,4Snan·an+1=2,则a2023=.

16.(2022陕西西安二模)已知函数f(x)=alnx+1x1(a≠0)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≥x1对x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.17.设函数f(x)=αcos2x+(α1)(cosx+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.

思想方法训练2分类讨论思想能力突破训练1.C解析当a≤4时,f(a)=2a4=18=23,即a4=3,即a=1,符合要求.当a>4时,f(a)=log2(a+1)=18,即a+1=2-18,即a=故a=1.2.C解析由题意,可知当个位上的数字为0时,偶数的个数为A42=12;当个位上的数字为2或4时,偶数的个数为C21C31C33.C解析当0<a<1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C解析焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;焦点在5.C解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(图略),则A(1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),MN=(0,y),AN=(x+1,0),NB=(1x,0),代入MN2=λAN·NB得λx2+y2=λ,当λ=1时,动点M的轨迹为圆;当λ=2时,动点M的轨迹为椭圆;当λ<6.B解析由y-1≥0,x-所以当a=0时,z=y在点(0,2)处取最大值,不成立;当a<0时,直线z=ax+y的斜率k=a>0,目标函数在点(4,1)处取不到最大值.当a>0时,直线z=ax+y的斜率k=a,且小于直线x+4y8=0的斜率14,故a>14.所以原点O到直线axy+17=0的距离d=171+a2<47.D解析设等比数列{an}的公比为q.当q=1时,an=a1,Sn=na1,bn=a1(1+2+3+…+n)4n8=a1n(n+1)2当q≠1时,an=a1qn1,Sn=a1(1-qn)1-q=a11因为数列{bn}为等比数列,所以a11-q-4=0,8+所以a2=8.8.C解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=3,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=33=3,得∠SAO'=60°9.0或e解析当a≤0时,f(a)=a2+1=1,解得a=0;当a>0时,f(a)=lna=1,解得a=e.10.7或17解析球的半径R=13,设两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2.不妨令r1<r2,由πr12=25π,得r由πr22=144π,得r2如图①所示,当两个平行平面在球的球心的同侧时,这两个平面间的距离d=d1d2=R2-r1如图②所示,当两个平行平面在球的球心的两侧时,这两个平面间的距离d=d1+d2=R2-r12+R所以这两个平面间的距离为7或17.11.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由b2=b1q=3,b3=b1q2=9,得b1=1,q=3.∴bn=b∴1+(141)d=27,解得d=2.∴an=a1+(n1)d=1+(n1)×2=2n1.(2)由(1)知an=2n1,bn=3n1,因此cn=(1)nan+bn=(1)n(2n1)+3n1.当n为偶数时,Sn=1+3…+(2n1)+1+3+…+3n1=n+1-3当n为奇数时,Sn=1+3…(2n1)+1+3+…+3n1=1+(2)×n-12.解(1)f'(x)=x22x=x(x2).当x<0或x>2时,f'(x)>0;当0<x<2时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(∞,0),(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.(2)由(1)知当0<a≤1,函数f(x)在区间[a,a+1]上单调递减,∴f(x)max=f(a)=13a3a2+2当1<a≤2,函数f(x)在区间[a,2]上单调递减,在区间[2,a+1]上单调递增,f(a+1)=13(a+1)3(a+1)2+2=13a3a+43,f(a+1)f(a)=a①当1<a≤3+336时,f(a)≥f∴f(x)max=f(a)=13a3a2+②当3+336<a≤2时,f(a)<f(∴f(x)max=f(a+1)=13a3a+4当a>2时,函数f(x)在区间[a,a+1]上单调递增,∴f(x)max=f(a+1)=13a3a+综上所述,当0<a≤3+336时,f(x)max=13a3当a>3+336时,f(x)max=13a思维提升训练13.C解析如图,因为AC⊥BD,AB=BC,所以BD垂直平分AC,所以AD=CD.又AC=CD=23,所以△ACD为等边三角形.由四边形ABCD关于直线BD对称,可知当点E在四边形ABCD的边上运动时,要求EB·ED,只需考虑点E在边BC,CD由BC=BD2=2,CD=23,可知BC2+CD2=BD2,即BC⊥CD,则CB·CD当点E在边BC上运动时,设EB=λCB(0≤λ≤1),则EC=(λ1)CB,所以EB·ED=EB·(EC+CD)=λCB·(λ1)CB=4λ当点E在边CD上运动时,设ED=kCD(0≤k≤1),则EC=(k1)CD,所以EB·ED=(EC+CB)·ED=(k1)CD·kCD=12k(k1),当综上所述,EB·ED14.C解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,f'(x)=1x.设过原点的直线l1与函数y=lnx1(x>1)的图象相切于点(x0,y0),则k=1x0,所以直线l1的方程为yy0=1x0(xx0),又直线l1过原点,所以y0=1,x0=e2,k=1e2,所以切线l1的斜率为1e2.设过原点与直线y=110x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为110,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是110,1e2.当15.4046解析当n=1时,4S1a1·a2=2,即4a13a1=2,解得a1=2,当n≥2时,由4Snan·an+1=2,得4Sn1an1·an=2,两式相减得4anan·an+1+an1·an=0,又an>0,所以an+1an1=4,所以数列{an}的奇数项和偶数项都是以4为公差的等差数列,当n为奇数时,an=2+n-12×4当n为偶数时,an=3+n21×4=2n1,所以an=2所以a2023=2×2023=4046.16.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).由f(x)=alnx+1x1(a≠0),得f'(x)=a当a<0时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当a>0时,由f'(x)=0,得x=1a当0<x<1a时,f'(x)<0,当x>1a时,f'(x)>0,所以f(x)在区间0,1a上单调递减,在区间1a,+∞上单调递增.综上,当a<0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当a>0时,f(x)在区间0,1a上单调递减,在区间1a,+∞上单调递增.(2)由f(x)≥x1对x∈(0,1]恒成立,得alnx+1x1≥x1对x∈即alnx+1xx≥0对x∈(0,1]恒成立令g(x)=alnx+1xx,x∈则g(x)要在区间(0,1]上恒大于等于零,g'(x)=ax-1x当a<0时,易得g(x)在区间(0,1]上单调递减;当a>0时,令ax1x2=0,当此方程的判别式Δ≤0,即0<a≤2时,有ax1x2≤0,g'(x)≤0,g(x)单调递减;当Δ>0时,设方程ax1x2=0的两根分别为x1,x2(不妨令x2<x1),则x1+x2=a>0,x1x2=1>0,因而x1>1>x2>0.则在区间(0,x2)上,g'(x)<0,在区间(x2,1]上,g'(x)>0,于是g(x)在区间(0,x2)上单调递减,在区间(x2,1]上单调递增.故g(x2)<g(1)=0,不符合题意.则g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g'(x)≤0,所以ax1x2≤0,所以a≤x2+1而当x>0时,x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=所以实数a的取值范围为(∞,0)∪(0,2].17.(1)解f'(x)=2αsin2x(α1)sinx.(2)解(分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos2x+(α1)(cosx+1)|≤α+2(α1)=3α2=f(0).因此A=3α2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α1)cosx1.令g(t)=2αt2+(α1)t1,则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值,g(1)=α,g(1)=3α2,且当t=1-α4α时,g(t)取得极小值,极小值为g1-令1<1-α4