n次方根与分数指数幂无理数指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版

第4章

指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2无理数指数幂及其运算性质[学习目标]

初中已经学过整数指数幂．幂指数底数读作“a的n次方”或“a的n次幂”求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.复习引入2.整数指数幂的运算性质：1.整数指数幂：复习引入积的乘方同底数幂乘法幂的乘方整数指数幂零指数幂负指数幂问题：初中阶段我们学过平方根、立方根的概念，你能回想出这些概念吗？能举例说明吗？因为(±2)2=4，所以±2叫做4的平方根;因为(±3)2=9，所以±3叫做9的平方根；因为23=8，所以

2叫做8的立方根；因为(-2)3=-8，所以-2叫做-8的立方根；如果x2=a，那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根；xn=a探究新知n次方根定义:

一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．探究新知练一练xn＝a3=273=-85=-322=42=94=163-2-2思考：你能得到什么结论？奇次方根探究新知得出结论3=273=-85=-323-2-2

n是奇数

a＞0x＞0x仅有一个值，记为___a＜0x＜0xn＝a

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号表示．(a∈R)偶次方根探究新知得出结论2=42=94=16

n是偶数a＞0

x有两个值，且互为相反数，记为___a＜0x不存在xn＝a

当n是偶数时：正数的n次方根是有两个，这两个数互为相反数正数a的正的n次方根用符号

表示，负的n次方根用符号表示.正的n次方根和负的n次方根合并写成

；0的偶次方根为0。(a≥0)

负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.

负数有没有偶次方根？为什么？？偶次方根探究新知偶次方根

2.负数没有偶次方根；1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；3.0的偶次方根为0．

根式:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．根式探究新知读作n次根号a.被开方数a根指数n特别的,当n=2时,根指数省略不写，即n次根式性质

一定成立吗？探究探究新知n次根式的性质一：①当n为奇数时，②当n为偶数时，n次根式的性质二：探究新知

解：

思考

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：探究新知当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。正数的正分数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．分数指数幂探究新知数学中引进一个新的概念与法则，总希望它与已有的概念或法则相容。负指数幂

同底数幂相乘，底数不变，指数相加幂的乘方，底数不变，指数相乘积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘同底数幂相除，底数不变，指数相减指数运算性质探究新知

1.41.411.4141.41421.414211.4142131.41421351.414213561.414213562...9.7383051749.7384619079.7385089289.7385165759.6726699739.7351710399.5182696949.7385177059.738517736...1.51.421.4151.41431.414221.4142141.41421361.414213571.414213563...11.180339899.8296353289.7508518089.7398726209.7386186439.7385246029.7385183329.7385176629.738517752...51.4151.41451.414251.414351.41551.4251.551.4可以用一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂来无限逼近，它是一个确定的实数.上述变化规律变化的过程可以用下图表示：

探究新知探究点一

根式角度1

根式的性质［例1］

化简下列各式.

角度2

条件根式的化简

方法总结在解决有关根式、绝对值、分式等问题时，一定要仔细观察、分析根号下式子的特征，为使开偶次方后不出现符号错误，一定要先用绝对值符号表示，然后利用已知条件去绝对值符号，对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论.探究点二

根式与分数指数幂角度1

根式与指数幂的互化［例3］

将下列根式化为分数指数幂的形式.

方法总结（1）根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.

①根指数↔分数指数的分母.②被开方数（式）的指数↔分数指数的分子.（2）将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.提醒：偶次根式的被开方数中若含有负数，应该根据偶次根式的意义，把负数直接化为正数，然后转化为分数指数幂的运算.角度2

指数幂的运算［例4］

计算下列各式:

方法总结一般地，根式要先化为分数指数幂，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.角度3

条件求值问题

(n为奇数)(当n是偶数，且a＞0)0的任何次方根都是0，记作．根式:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方