安徽省六安市裕安区2024-2025学年（上）九年级月考数学试卷（12月份）

安徽省六安市裕安区2024-2025学年（上）九年级月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．（4分）sin60°的值为（）A．12 B．33 C．222．（4分）若反比例函数y=2−mx的图象分布在第二、四象限，则A．m＜2 B．m＞2 C．m＝2 D．m＞﹣23．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若ADDB=32，A．4 B．4.2 C．4.8 D．5.24．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣55．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AB=613，tanB=2A．6 B．12 C．18 D．46．（4分）已知线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC＝（）A．5−1 B．3−C．5−1或5+1 D．57．（4分）在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cos∠BAC＝（）A．55 B．255 C．28．（4分）在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE的面积：△BCD的面积＝（）A．1：6 B．1：4 C．2：3 D．1：39．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝10，点D是AB边上一点，BD=5，tan∠DCB=12，则A．5 B．6.5 C．7 D．7.510．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，A（﹣5，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在3～4之间（不包含3和4），如图，根据图象判断以下结论中不正确的是（）A．abc＞0 B．−16C．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为(−2，17D．若m（am+b）＞4a+2b，则﹣6＜m＜2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）请写出一个符合条件的二次函数：（1）开口向下；（2）经过点（﹣2，4）．结果是．12．（5分）比较大小：sin37°cos56°．13．（5分）如图，直线y＝4与反比例函数y=8x的图象交于点A，与反比例函数y=kx(k＜0)的图象交于点B，连接OA，OB，若OA⊥OB14．（5分）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，ADBD=13，DE∥BC，（1）BFBC=（2）若点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，则MN＝CM．（填数字）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知a2=b3=c5，且a﹣c16．（8分）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段AB和格点O（格点为网格线的交点）．（1）以点O为位似中心，在点O同侧画出线段AB的位似线段A1B1，使线段A1B1与线段AB的位似比为2：1；（2）以点A1，B1为顶点画一个格点平行四边形．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，人径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，问井深BD是多少？请解答上述问题．18．（8分）我们规定：sin（A±B）＝sinA•cosB±cosA•sinB；cos（A±B）＝cosA•cosB∓sinA•sinB．根据这个规定解答问题：（1）求sin105°的值；（2）求cos15°的值．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，4）和（1，﹣5）．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B，抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．（10分）某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔AB与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为60°，然后沿斜坡CE前行40m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的斜面坡度i=1：3，且点A，B，C，D，E（1）求点D到直线BC的距离；（2）求古塔AB的高度．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，BD交OA于点E，若E为AO（1）求k的值；（2）连接OB，求直线OB的函数表达式；（3）求△OAB的面积．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF，分别交AC于点M，N，若CF＝2．（1）求证：FC2＝FN•FB；（2）若∠EBF＝45°，求AE的长．八、（本题满分14分）23．（14分）在2024年巴黎奥运会网球女子单打比赛中，我国选手郑钦文战胜克罗地亚选手维基奇获得冠军．郑钦文在一次击球过程中，将球从O点正上方0.6m的A处击打出去，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣8）2+h．已知球网与O点的水平距离为12m，高度为0.91m，球场的边界距O点的水平距离为24m．（1）当h＝1.4时，求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h＝1.4时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），求h的取值范围．

参考答案与试题解析题号12345678910答案DBCDCDBADC一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．（4分）sin60°的值为（）A．12 B．33 C．22【答案】D【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin60°=3故选：D．2．（4分）若反比例函数y=2−mx的图象分布在第二、四象限，则A．m＜2 B．m＞2 C．m＝2 D．m＞﹣2【答案】B【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣m＜0即可解得答案．【解答】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，∴2﹣m＜0，解得m＞2．故选：B．3．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若ADDB=32，A．4 B．4.2 C．4.8 D．5.2【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例可得AECE【解答】解：∵DE∥BC，ADDB∴AECE∵AC＝8，∴AE8−AE解得：AE＝4.8．故选：C．4．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5【答案】D【分析】把y＝x2﹣4x﹣1进行配方得到y＝x2﹣4x+4﹣5＝（x﹣2）2，﹣5．【解答】解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5＝（x﹣2）2﹣5．故选：D．5．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AB=613，tanB=2A．6 B．12 C．18 D．4【答案】C【分析】设AC＝2x，根据正切的定义用x表示出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设AC＝2x，∵tanB=AC∴BC＝3x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（613）2＝（2x）2+（3x）2，解得：x＝6（负值舍去），∴BC＝3x＝18，故选：C．6．（4分）已知线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC＝（）A．5−1 B．3−C．5−1或5+1 D．5【答案】D【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，求解即可．【解答】解：∵线段AB长是2，C是线段AB的黄金分割点，∴AC=5−12或AC＝2﹣（5−1）＝3−故选：D．7．（4分）在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cos∠BAC＝（）A．55 B．255 C．2【答案】B【分析】连接BC，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：连接BC，由题意得：BC2＝12+32＝10，AC2＝22+62＝40，AB2＝72+12＝50，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC=40=210，AB=50∴cos∠BAC=AC故选：B．8．（4分）在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE的面积：△BCD的面积＝（）A．1：6 B．1：4 C．2：3 D．1：3【答案】A【分析】由AD：DB＝1：2，推导出AD=13AB，由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，得AEAC=ADAB=13，则S△ADES△ADC=13，S【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴AD=1∵DE∥BC，△ADE的面积为1，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∴S△ADE∴S△ADC＝3S△ADE＝3×1＝3，S△ABC＝9S△ADE＝9×1＝9，∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ADC＝9﹣3＝6，∴△ADE的面积：△BCD的面积＝1：6，故选：A．9．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝10，点D是AB边上一点，BD=5，tan∠DCB=12，则A．5 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】D【分析】过D点作DE⊥BC于E点，如图，在Rt△CDE中利用正切的定义得到tan∠DCE=DECE=12，则可设DE＝x，CE＝2x，所以BE＝10﹣2x，再在Rt△BDE中利用勾股定理得到x2+（10﹣2x）2＝52，解方程得到DE＝3，BE＝4，接着利用正切的定义得到tanB=DEBE=【解答】解：过D点作DE⊥BC于E点，如图，在Rt△CDE中，∵tan∠DCE=DE∴设DE＝x，CE＝2x，∴BE＝BC﹣CE＝10﹣2x，在Rt△BDE中，x2+（10﹣2x）2＝52，解得x1＝3，x2＝5（舍去），∴DE＝3，BE＝4，在Rt△BDE中，tanB=DE在Rt△ACB中，tanB=AC∴AC10解得AC＝7.5．故选：D．10．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，A（﹣5，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在3～4之间（不包含3和4），如图，根据图象判断以下结论中不正确的是（）A．abc＞0 B．−16C．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为(−2，17D．若m（am+b）＞4a+2b，则﹣6＜m＜2【答案】C【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐一判断各选项，可得到结果．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+5）（x﹣1）＝ax2+4ax﹣5a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴abc＝a•4a•（﹣5a）＝﹣20a3，∵由图象知a＜0，∴﹣20a3＞0，∴abc＞0，故该选项原计算正确，不符合题意；当x＝0时，y＝c，∴点C的坐标为（0，c），∵点C的纵坐标在3～4之间，c＝﹣5a，∴3＜﹣5a＜4，∴−45＜∴−16∵b＝4a，∴−16故该选项原计算正确，不符合题意；∵b＝4a，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x=−b∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣2，4a﹣2b+c），∵b＝4a，c＝﹣5a，∴a=−15c，∴4a﹣2b+c＝4×（−15c）﹣2×（−4∴顶点坐标为（﹣2，95故该选项原计算错误，符合题意；∵m（am+b）＞4a+2b，∴am2+bm+c＞4a+2b+c，∴对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值大于当x＝2时的函数值，∵a＜0，抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，∴|m﹣（﹣2）＜|2﹣（﹣2），∴﹣4＜m﹣（﹣2）＜4，∴﹣6＜m＜2，故该选项原计算正确，不符合题意．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）请写出一个符合条件的二次函数：（1）开口向下；（2）经过点（﹣2，4）．结果是y＝﹣x2+8．【答案】y＝﹣x2+8（答案不唯一）．【分析】写出一个二次函数，其图象开口向下，经过（﹣2，4）即可．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，经过点（﹣2，4），∴这个二次函数可以是y＝﹣x2+8；故答案为：y＝﹣x2+8（答案不唯一）．12．（5分）比较大小：sin37°＞cos56°．【答案】＞．【分析】根据同角三角函数的关系得出sin37°＝cos53°，再由cos53°＞cos56°，得出结果即可．【解答】解：∵sin37°＝cos（90°﹣37°）＝cos53°，而cos53°＞cos56°，∴sin37°＞cos56°，故答案为：＞．13．（5分）如图，直线y＝4与反比例函数y=8x的图象交于点A，与反比例函数y=kx(k＜0)的图象交于点B，连接OA，OB，若OA⊥OB【答案】﹣32．【分析】作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，利用条件证明△BNO∽△OMA，利用相似求出点B坐标，继而得到k值．【解答】解：如图，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，∵OA⊥OB，∴∠BON＝∠OAM，∵∠BNO＝∠OMA＝90°，∴△BNO∽△OMA，BNOM∵直线y＝4与反比例函数y=8x的图象交于点∴A（2，4），BN＝4，∴OM＝2，AM＝4，BN＝4，∴BNOM=ON∴ON＝8，∴B（﹣8，4），∵点B在反比例函数图象上，∴k＝﹣8×4＝﹣32．故答案为：﹣32．14．（5分）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，ADBD=13，DE∥BC，（1）BFBC=1（2）若点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，则MN＝17CM【答案】（1）14；（2）1【分析】（1）由DE∥BC得出AECE（2）过点F作FG∥CN交AB于点G，证明△BFG∽△BCN，得出FGCN=BFBC，由（1）得BFBC【解答】解：（1）∵DE∥BC，ADBD∴AECE∵EF∥AB，∴BFFC∴BFBC故答案为：14（2）如图，过点F作FG∥CN交AB于点G，∵点M是DF的中点，∴N是DG的中点，∴MN是△DGF的中位线，∴GF＝2MN，设MN＝a，∴GF＝2a，∵FG∥CN，∴△BFG∽△BCN，∴FGCN由（1）得BFBC∴FGCN∴CN＝4FG＝8a，∴CM＝CN﹣MN＝8a﹣a＝7a，∴CM＝7MN，∴MN=1故答案为：17三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知a2=b3=c5，且a﹣c【答案】﹣8．【分析】利用设k法进行计算，即可解答．【解答】解：设a2=∴a＝2k，b＝3k，c＝5k，∵a﹣c＝﹣12，∴2k﹣5k＝﹣12，﹣3k＝﹣12，k＝4，∴a＝8，b＝12，c＝20，∴a﹣3b+c＝8﹣3×12+20＝8﹣36+20＝﹣28+20＝﹣8．16．（8分）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点线段AB和格点O（格点为网格线的交点）．（1）以点O为位似中心，在点O同侧画出线段AB的位似线段A1B1，使线段A1B1与线段AB的位似比为2：1；（2）以点A1，B1为顶点画一个格点平行四边形．【答案】见解析．【分析】（1）利用位似变换的性质，分别作出A，B的对应点A1，B1即可；（2）根据平行四边形的判定作出图形（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求；（2）如图，四边形A1B1CD即为所求（答案不唯一）．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，人径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，问井深BD是多少？请解答上述问题．【答案】井深BD为57.5尺．【分析】设井深BD为x尺，然后证明△AFB∽△AED，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：设井深BD为x尺，∵AB＝5尺，∴AD＝AB+BD＝（5+x）尺，由题意知BF∥DE，∴∠ABF＝∠D，∠AFB＝∠AED，∴△AFB∽△AED，∴BFDE∴0.45解得：x＝57.5，经检验x＝57.5是原分式方程的解．答：井深BD为57.5尺．18．（8分）我们规定：sin（A±B）＝sinA•cosB±cosA•sinB；cos（A±B）＝cosA•cosB∓sinA•sinB．根据这个规定解答问题：（1）求sin105°的值；（2）求cos15°的值．【答案】（1）2+（2）2+【分析】（1）把105°化为45°+60°，根据新定义、把特殊角的三角函数值代入计算得到答案；（2）把15°化为45°﹣30°，根据新定义、把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：（1）sin105°＝sin（45°+60°）＝sin45°•cos60°+cos45°•sin60°=2（2）cos15°=cos(45°−30°)=cos45°⋅cos30°+sin45°⋅sin30°=2五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，4）和（1，﹣5）．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B，抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积．【答案】（1）该抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣4；（2）45．【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）先根据坐标轴上点的特征，求出A、B、C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）由题意得：4=4−2b+c−5=1+b+c解得：b=−2c=−4∴该抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣4；（2）当y＝0时，x2﹣2x﹣4＝0，解得：x=1+5或x=1−∴点A，点B的坐标为(1+5，0)或∴AB＝1+5−（1−5当x＝0时，y＝﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4），∴△ABC的面积=120．（10分）某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔AB与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为60°，然后沿斜坡CE前行40m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的斜面坡度i=1：3，且点A，B，C，D，E（1）求点D到直线BC的距离；（2）求古塔AB的高度．【答案】（1）20m；（2）60m．【分析】（1）过点D作DM⊥BC于点M，解直角三角形求出DM即可；（2）证明∠ACD＝90°，解直角三角形求出AC，再求出BC即可．【解答】解：（1）过点D作DM⊥BC于点M，∵斜坡CE的斜面坡度i=1：3∴tan∠DCM=DM∴∠DCM＝30°，∴DM=1即点D到直线BC的距离为20m；（2）∵∠BCA＝60°，∴∠ACD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，由（1）知，∠DCM＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，在Rt△ACD中，tan∠ADC=AC∴AC=CD×tan∠ADC=40×3在Rt△ABC中，sin∠ACB=AB∴AB=AC×sin∠ACB=403答：振风塔AB的高度是60m．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，BD交OA于点E，若E为AO（1）求k的值；（2）连接OB，求直线OB的函数表达式；（3）求△OAB的面积．【答案】（1）k＝24；（2）直线OB的函数表达式为y=3【分析】（1）利用三角形中位线求出点A坐标，继而得到k值；（2）待定系数法求出正比例函数解析式即可；（3）根据（1）（2）得到的相关数据，求出三角形ABE的面积，利用中点再求出△OAB面积即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥y轴，垂足为点M，∵BD⊥y轴，∴BD//AM，∵AE＝OE，∴DE是△OAM的中位线，∴OD＝DM＝3，AM＝2DE＝4，∴点A坐标为（4，6），∵点A（4，6）在反比例函数y=k∴6=k∴k＝24；（2）设点B坐标为（b，3），∵点B（b，3）在反比例函数的图象上，∴b＝8，设直线OB的函数表达式为y＝kx，∵点B（8，3）在直线y＝kx上，∴3＝8k，∴k=3∴直线OB的函数表达式为y=3（3）过点A作AN⊥BD于点N，则四边形ANDM是矩形，∴AN＝DM＝3，∵DE＝2，∴BE＝BD﹣DE＝8﹣2＝6，∴S△ABE=1∵AE＝OE，∴S△ABE＝S△OBE＝9，∴S△OAB＝2S△ABE＝2×9＝18．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF，分别交AC于点M，N，若CF＝2．（1）求证：FC2＝FN•FB；（2）若∠EBF＝45°，求AE的长．【答案】（1）见解析过程；（2）AE=8【分析】（1）通过证明△FCN∽△FBC，可得FCFB（2）通过证明△CFN∽△ABN，可求BN=45BF=85【解答】（1）证明：∵BC＝AD＝4，AB＝8，CF＝2，∴CFBC∴CFBC∵∠ABC＝∠BCF＝90°，∴△ABC∽△BCF，∴∠BAC＝∠CBF，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BA