经济数学线性代数 习题答案（王光辉）第1-5章 矩阵 - 相似矩阵及二次型

经济数学线性代数习题答案

第1章矩阵

习题全解

同步习题1.1

【基础题】

1.写出以下线性变换对应的矩阵.

必二4%，

⑵卜*

.K=4G

国o…0、

0A,…0

，：：：

、002M>

2.以下对矩阵的描述中，不正确的是).

A.〃阶方阵的行数与列数相同B.三角矩阵都是方阵

C.对称矩阵与反对称矩阵都是方阵D.任何矩阵都是方阵

解由加x〃个数他（i=l,2,…,〃7,/=1,2,…按一定顺序排成的机行〃列的矩形数

表，称为〃?X〃矩阵，当〃:，〃的值相等时，此矩阵称为方阵.因此，不是任何矩阵都是方阵,

D项描述是不正确的，故应选D.

3.已知三阶矩阵力是反对称矩阵，如果将/的主对角线以上的每个元素都加2,所得矩

阵为对称矩阵，求矩阵力.

’0aby

解因为三阶矩阵/是反对称矩阵，所以可设三阶矩阵4=-〃（）c,将力的主对

<-b—c0,

r

。+2=一。，

角线以上的每个元素都加2得对称矩阵，则有卜+2=也解得=c=-l,

C+2=-c,

1

0

故/二0

U1oj

-1

「03、

4.设矩阵/二B=23,求AB及.BA.

、2-1

°)0

1

103、43

解根据矩阵乘法运算法则,可得力8=23

2<0-5

40;

1-1-113

03、

BA=23oJ8-36

40J4012J

-2424、

5.设矩阵A，B,求及.BA.

1-2-3一6,

-2424-16-3224V-24、’00、

解力8=,BA=

1-2八-3、816-6I-2、00>

20

6.设/(x)=1+2x—2x~+x\A=，求f(A).

0-3

「20V20、0、’4040、(160、

解/二W-31。-3,，A4=A2-A1=

%9八09)<081；

1020(401160、13

/、(4)=E+2Z-2/二-2+

(01J101008"(058；

7.已知4,B均为〃价方阵，则必有().

A.Q+B)2=#+24B+B?

B.(W=力守

C.力5=0时，4=0或8=0

D.(AB)T=BTAT

解(4+3)2=(力+B)(Z+8)=%2+谡+胡+炉，八项不正确；(4^)T=8TT,B

2

2210

项不正确；如4B==但4/0且C项不正确;

故应选D.

,221、

8.已知三阶矩阵A=442,求才

「2-2-1J

<22r'22r「10105、

解法1由于彳二442442=202010=-5A»

「2-2-2-2"I「10-10-5>

所以才=42.4=5小力=542=5?4,…，An=5n-[A.

'22]](1

解法2A=442=2(221)

-2—2—1/\—1/

’1、T

An=2(221)•••2(221)=5"”2(22\)=5n-lA.

l-J

(COSG7一sins)

9.已知二阶矩阵力=二‘，求4”.

,sinecos?,

'cosw—sin97Vcos97—sin(cos2『—sin2研、

解T=

、sin0cos9人sin°cos/)(sin2。cos2^9)

’cos2(p一sin2°)(cos夕-sin^9‘cos3°-sin3^?^

A3=A2^A=

、sin2°cos2°)(sin。COSQ、sin3°cos3^)

’cos3。一sin30]'cos9-sin(p、’COS4Q-sin4/

A4=A3-A=

[Sin30cos3^?J、siri0cos夕，ksin4^7cos40)

’cos〃e一sin〃e'

An=

\Sin〃Qcosn(p)

【提高题】

1.甲、乙两人之间进行3种比赛，前两种为智力比赛（只分输、赢两种结果），规定第1

种比赛赢者得3分，输者得-2分；第2种比赛赢者得2分，输者得-2分；第3种比赛为

耐力比赛，计分方法：先完成者得5分，后完成者得3分，中途放弃者得0分.现已知乙在

3

A=B=C.A2+B2+C2=AB+BC+CA=3E,故应选A.

5.设a=(LO,-l)「，矩阵”=aa「，〃为正整数，则。£一力"二

」、0-P

解法1A=aav=0(100

01」

10-1、0-1、'20-2

A2000000=000

01>「101;<-202

'200T、

Ay=A2A=0000000

、—202A-1004,

’400-g、

A4=A^A=0000=000

「4008,

以此类推，An=000，所以

nl02"T

\-2~7

%_2〃T02"T

aE-An=0a0

、2n-'0a-T-x

解法2由已知可得。丁。=2,

An=(aaT)(aaJ)--(aaT)=«(aTa)(aTa)---(crT«)a1

"个”-l个

2"一|0

=2n~laa000

-2"T02〃-]

因此

a-2n-10一

aE-An=0a0

2"T0a-T-x

同步习题1.2

5

【基础题】

为初等矩阵，

02、

E(l,3+1(2))=010，而选项A,B,D都经过两次初等变换，故应选C.

W01

ai\(010

2.设/=B=，"100

―31+q1I。01

00、

6=010,则必有（）.

J011

A.AP^R,=BB.AP,F[=Bc.*4=BD.哄4=B

解矩阵B是将矩阵A的第1行加到第3行，得P.A,再把巴力的第1行与第2行交

换，得62力，故8=6旦彳，应选C.

【提高题】

123

456进行初等变

789

123

换得到，方法：将矩阵456的第1行与第3行交换2000次，得

789

6

2000\2000

0012312300(\23

010456456,再把010456的第2列和第3

100；8(789U0(78

\20000、2001

00112310132

列交换2001次，得0045600465.故应选B.

U0(789八°798

同步习题1.3

【基础题】

-n

1.设矩阵4=B=A2-3A+2E,则8"=

33,

、fl

解B=A2-3A+2E=

(2

1、

则|团=2,八百8\_0100

2,故应填2

21-2-2

(T-I

(1-1-1

2.求矩阵力=-321的逆.

01

解利用初等行变换求逆.

(1-1I00-1100、

口+3彳

(A\E)=-320100-230

0001、03-20

1-1-100、一100'

『;一2%

o11-1o01-3-10

0230<00421

01-20100211

0-14100-142

00；211211

工。010；532，所以4-532

01:-4-2-11-4-2-1

3.若〃阶方阵4满足力2一24—3E=O,则矩阵/可逆，且/"=().

7

A.A—2.E^.2.E—AC.——(A—D.—(A—2E}

解由42—24—3£=。得4（4一2七）二3片，从而有4•；=E,所以

A-]=-(A-2E),故应选D.

3

4.若〃阶方阵Z满足才一24-3E=O,求（力一2Er.

解由42一2力—3E=0,得力(力一2E)=3E,从而有:/(4—2E)=E,所以

(4-2£尸=!4

3

’101)

5.设力=020,则(4+3£)7(4一9£)=.

、001,

(-101、

解(4+3E尸(片-9£*)=(4+3£尸(4+3£)(4-3£)=4-3£=0-10.

<00-2,

6.设〃阶方阵/满足依2+/求+c=0(cwO),求

解因为〃阶方阵4满足依2+&+。=0,所以有+/^+cE=。，由cwO,得

—A2+—A=E,即=故4可逆，且AT=_，4_2E.

-c-c\-c-cycc

T00、rl00、

7.已知其中8=000P=2-10,求/及/.

,0。-b3i

100(\00、

解因为|P|二2-10二一1。0,故尸可逆，且pi=2-10.从而有

2111-41

0001(100、

0-10=200

01U16-1-1

8

00

/二(PBPT)S=PB'P",而k=B,从而/$=/=200

I6-1-1

【提高题】

1-100、134

01-10023

1.设矩阵4=,C=，且满足力（E—C⑸丁。丁二£

001-1002

0001><0002）

化简上述关系式并求矩阵力.

解由力（七一仁七）,0，=后知

-iT=[(c-叫,

1000、000

2100-200

(C-B)T=

201-210

(432、01-21>

"1000、

-2100

故4=

1-210

<01-2L

2.设4=0（左为E整数）,求（E—力尸.

解因为4*=。，Ek-Ak=E,即(七一川(£+4+42+...+41)=£,故

(E-A)-'=E+4+T+…+TJ

3.已知力，3均为〃阶方阵，且48=4+8,证明：

(1)A-E可逆，其中E为〃阶单位矩阵.

(2)AB=BA.

证(1)AB=A+B,AB-A-B+E=E,(A-E)B-(A-E)=E

（4一E）（B-E）=E,所以月一上可逆，其中E为〃阶单位矩阵.

⑵由⑴知(4-E)(B-E)=(B-E)(4-E)=E即

9

AB-A-B+E=BA-B-A+E,所以4B=B4.

同步习题1.4

B12

生2

“231-23<73，52、

4练+B=++

22<012-Ulo-3<2-vlo-3af

1252

1-23-43o12-4

4%=于是二

W30-3、0-900-43

000-9

2.利用分块方法求下列矩阵的乘积.

0、(\0c0

1

0010c

⑴0

000d0

1

b)<000d

R稣、

解（1），B=,则

/21^22>

4312+4822

AB=4

<Ai41^12+^22^22>

1-2W1fOY\「_2、1-2V1

4综+4&=,41512+^12522=+

o1AM(01)WI

10

冬练+4氏=(10),+(2)(0)=(0),4稣+冬氏=。0)+(2)(1)=(3),

r1/1U/

r-2P

于是48=11

<03,

7000、0c0、

0a00(aE010c(EcE}.

(2)记力==,B==,，则

1060bE)00d0(OdE)

<010^1000d,

0ac0、

acE、a0ac

AB=于是=］

cE+bdE,0c+bd0

10c+bd,

3.利用分块矩阵求逆公式求卜列矩阵的逆矩阵.

200001

5

2100

⑴⑵210

0083

430

<0052

40、2、’83、1-2、

解(1)记4=，其中4=，4=则4”

obV2)-25)

<1-200、

2-3、才O、-2500

A-'=，根据公式A，有才।

-58,34六002-3

<00-58,

3

(O4、，其中4=佶］,4=，2n

(2)记力=,则4T=⑸，掰=22

O)、4%-2

/3

0q

22

4OA；］

根据公式,WA~]=0一41

4o勾。)

500

11

(30000、

05300

4.已知A=02100求4T.

00025

、00012；

f531f25、

解记4=A.，其中4=(3),4=，4=，则

12X)U2)

[oJJ

N；0、

求心K

Ay=4

\J

\o*3)

000

0-1300

}

A--J-'=

02-500

000-25

、0001-2

【提高题】

OY1A-[O

1.设力和8分别是川阶和〃阶可逆矩阵，则,利用该

B,、一夕&7B'

。000、

1200

公式求矩阵的逆矩阵.

2130

J214，

(000\

、1200(A0、0、<30、(2r

解A记其中4=

bB=C=

2130~[C2JU2)

J219

(10、0

，2

'3

易求得力7=1],-B'CA=-

11

<-22>IJ

<~124>

4>

12

000

100000

1200~22

由公式得

2130_10

~263

2

511_

<8~24\24>

ACY'A--A'CB-'

2.设力和3分别是〃?阶和〃阶可逆矩阵，则利用该

(OB)I。*>

’122P

1113

公式求矩阵的逆矩阵.

0011

、0012)

(AC}(\2](\

解记。=，其中力=,8=

-5、

3,

“221Y1<-125

由公式得1131-1-43

0011002-1

10012；<00-11>

同步习题1.5

【基础题】

<1234

(2-13、

1012

1.求下列矩阵的秩.(1)4=1-34.⑵B:

所以"4)=2.

（2）利用初等变换求秩

13

234T234234]

1010-2-2-20111

B=->->

3-1-100-7-10-120-7-10-12

J20-5W0-3-9、00-3-9j

(\2347234

0111011

->->，所以八£）=4.

00-3-50035

<00-3-9<000

1

a

2.设〃（〃23）阶矩阵4=若矩阵4的秩为〃一1,则。必为

).

A.1B.——C.—1D.——

1-71n-1

解利用初等变换求秩

1aa1+(/?-1)〃

a1a1+(〃-\)a

A=aa1a1+(〃-1)Qaa

J+(〃-\)a

--u

\+(n-\)aaa…a

01-a0…0

->001-a…0

・・•J_

000a)

若〃=L则显然矩阵/的秩为1.矛盾，因而故〃=一!一,应选R.

\-n

'岫】a}b2…他、

力-•••、八.八

ci2->b,aab.,

3.设/=：1；〃，其中4。0,4工0«=],2,…,〃)，则矩阵力的

"i4a…a„bn>

秩厂（力）=

14

他…他A

abb\b2…bn

解22

4=/=1.2,

1岫。也…3

b\打…bn

000

i=2,--.n,所以矩阵力的秩，,（力）=1,故应填1.

【00•••0J

4.设4是机x〃矩阵，。是〃阶可逆矩阵，矩阵力的秩为…矩阵4=4C的秩为小

则（）.

A1〉/B.r<AjC/=4D,与彳的关系依。而定

解由于任何矩阵乘以可逆矩阵秩不变，而C是可逆矩阵，所以

r(B)=r(AC)=r(A)=r.故应选C.

【提高题】

xyyy

yXyy

求矩阵A=的秩.

yyXy

<yyyx)

(Xyyy>G+3yyy)，、，x+3yyyy、

yxyy铲。x+3yxyyr1-r\0x-y00

解4二T->

yyxy42,3,4x+3yyxy*=2,3.400x-y0

uyyxj、x+3yyyx>、000x—力

当x+3yw0且x-ywO时,r(A)=4；当x+3y=0且x-y工0时,r(^)=3；

当x+3yw0且x-y=0时,r(A)=1；当x+3y=0且x-y=0时，r(A)=0.

第1章总复习题

L选择题:（1）〜（10）小题,每小题4分，共虫）分.下列每小题给出的4个选项中，只有

一个选项是符合题目要求也

10

(1)(2021305)已知矩阵力=2-1,若存在下三角可逆矩阵。和上三角可逆

-12

矩阵。，使4。为对角矩阵，则夕，。分别为（）.

15

00]r101

010,013

0J

、。1001

<100、0r100、(\2-3、

2-1001D.010,0-12

1一321；*0J31八00

解对A作初等行变换化为上三角矩阵B,有

'10-1100](\0-1100、

(4£)=2-11010-0-13-210

110

2-5002-6101,

0-1100、

1-32-10=(RP)

00-32

(\0-P,100、

01-3可知P=2-10

、000;【321

再对8作初等列变换化为对角矩阵，可求。.

」o-r"100

01-3010

」01

000001

—->可得。二013故应选C.

同100101

01

010013

boi,

01

(2)(2020104)设矩阵4经过初等列变换化为矩阵矩阵8,则【

A.存在矩阵尸，使得21=8B.存在矩阵尸，使得6P=%

C.存在矩阵P,使得D.方程组/x=。与At=。同解

（3）（2017304改编）设a为〃维列向量满足。丁二二］，E为〃阶单位矩阵，则（）.

A.E-aaI不可逆B.E+aa「不可逆

C.E+2aaT不可逆D.不可逆

解/是秩为1的矩阵，又a为单位列向量，有6^1=1,故矩阵2的特征值为

1,0J,,0（〃一1个0）,所以《一次/的特征值为0,1,…,1（〃一1个1）,因此，矩阵E-a/

不可逆，故应选A.

16

00、

（4）（2012304）设力为三阶矩阵，。为三阶可逆矩阵，且PT力P=010,若

(002;

0=（«,%,。3），。=（%+%，%，%），则。一~。=（).

「100、100、’200、(200

A.020B.010C.010D.020

10

0"002,、002,0

解本题考查初等矩g,由于月经列变换（把第2列加至第1歹ij）为Q,有

100、

Q=P110=P£21(1)

1°0

那么

Q'^Q=[尸/⑴丁/I/J(i)]=/0Y3明(i)

，100100100100、

-110010110010

、001002人。0U1°02;

故应选B.

100

（5）（2009304）设/，。均为三阶矩阵，。丁为P的转置矩阵，且。丁力尸=00

1°02

若。二（四,%,%），。=（/+%，%，%），则。丁力。二（).

210、(\10，200100、

A.110B.120C.010D.020

1°

(002Wo202002,

解本题考察矩阵的初等变换、初等矩阵.按题意P经列变换化为。（把第2

110、110

列2加至第1列），有P110=0,记/⑴二1I0,于是

(001[001J

。7。=[P/⑴了“夕J（1）]=招仍7尸）/（1）

17

U10]（\00、」00、「210

010010110=110

1002,

<001J<001J

k002

故应选A.

(6)(2011304)设力是3阶方阵,将A的第2列加到第1列得B,再交换B的第2行与

」00、」00、

第3行得单位矩阵，记6=110，6=001,则力=(