解析几何导学案

第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程

一、考纲要求

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2.掌握确定直线位置的几何要素

3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的

关系

二、命题角度

1.直线的倾斜角与斜率；

2.直线的方程；

3.直线方程的应用。

(・一课时)

三、要点回顾

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之

间所成的角叫做直线I的倾斜角。当直线/与X轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0%

(2)范围：直线/倾斜角的范围是「0。，180。)。

2.直线的斜率

(1)定义：若直线的倾斜角。不是90。，则斜率左=也边；若直线的倾斜角6=90。，

则斜率不存在。

(2)计算公式：若由A(xi,yi),3(x2,72)确定的直线不垂直于x轴，则左0(xiWx2)

四、重点突破

直线的斜率左与倾斜角。之间的关系

00°0°<6»<90°90°90°<<9<180°

k0k>Q不存在k<0

五、巩固训练

1.直线小x—y+a=0的倾斜角为()

A.30°B.60℃.150°D.120°

2.过点M(—2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则加的值为()

A.IB.4C.1或3D.1或4

3.直线/：对11130。+为05150。+1=0的斜率为()

六、典例分析

考点直线的倾斜角与斜率

例1、(1)直线2依+(次+l)y—1=0的倾斜角的取值范围是()

「兀3兀［「八兀］「3兀1(兀］「3兀［「八兀］「3兀)

A.不彳B.0,aU『兀C.I0,aUW可D.0，Wu不兀1

(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(—1,1)和Q(2,2),若直线/：x+my+m=0

与线段PQ有交点，则实数机的取值范围是。

解析⑴设直线2ax+(片+1)丁一1=0的倾斜角为0,则tan6=—层为，当<7=0时，

tan6=0,可得。=0;当。>0时，0>tan峪一或=—1,当且仅当。=1时取等号，所以。

3兀)(兀

G可；当a<0时，OvtanOWl,当且仅当a=-1时取等号，所以］。综上

可得，0,aU彳，71Jo故选D。

3

⑵由题意可知，直线/:x+my+m=0过定点A(0,-1),当mW0时，kQA=^,kpA

111312

所以一一W一或一一三彳，解得或一可加<当加=时，直

=-2,ki=—m,m2m223W0;0

21

线/的方程为x=0,与线段PQ有交点。所以实数机的取值范围为一qW机W］。

七、方法总结

1.求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率左=tana的取值范围；②利用正

切函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角a的取值范围。

2.求倾斜角时要注意斜率是否存在。

3.斜率公式左=七寸'(X1WX2)的计算与两点坐标的顺序无关，当X1=X2,yiW*时，

直线的倾斜角为90。。

八、作业布置,V*12

1.若图中的直线/l,h,/3的斜率分别为M,比，依，贝U()1X)/3

A.ki<ki<k3B.h<k\<ki一

C.k3<ki<k\D.k\<kz<ki11

2.已知点(一1,2)和惇，o)在直线/：ax—y+l=0(aW0)的同侧。求直线/倾斜角的

取值范围。

（■二读时）

三、要点回顾

直线方程的五种形式

名称条件方程适用范围

点斜式斜率左与点（xo,yo）卜一丫0=奴工-%0）不含直线x=xo

斜截式斜率k与截距b不含垂直于X轴的直线

y~yix-xi不含直线X=X1（X1=X2）和

两点式两点(xi,yi),。2,*)

y2~yiX2~xi直线尸>1。1=丁2）

不含垂直于坐标轴和过原

截距式截距a与b~+l=l

ab点的直线

Ajc+3y+C=0平面直角坐标系内的直线

一般式——

都适用

四、重点突破

1.对于直线方程的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。

2.直线方程的点斜式、斜截式是最常用的形式，点斜式重在突出斜率与定点，斜

截式主要体现斜率及在y轴上的截距，都具有非常鲜明的几何特点。

五、巩固训练

3

1.已知直线/经过点尸（一2,5）,且斜率为一；。则直线/的方程为（）

A.3x+4y-14=0B.3x—4y+14=0

C.4x+3y—14=0D.4x—3y+14=0

2.直线2x—y=—'10,y=x+l,y=ax—2交于一点，则a的值为。

3.如果A・C<0且BC<0,那么直线Ax+3y+C=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.直线/：ax+y—2—a=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a=。

5.过点（一3,4）,且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是o

六、典例分析

考点直线的方程

例1、（1）求过点A（l,3）,斜率是直线y=—4x的斜率的上的直线方程。

（2）求经过点A（—5,2）,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程。

14

解析（1）设所求直线的斜率为左，依题意上=-4X§=一m又直线经过点A（l,3）,

4

因此所求直线方程为y—3=—q（x—1）,即4x+3y—13=0o

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为或+：=1,将(一5,2)代入所设方程，解得

a=—所以直线方程为x+2y+l=0;当直线过原点时，设直线方程为y=履，则一5左

2?

=2,解得左=一5，所以直线方程为丁=一尹，即2x+5y=0。故所求直线方程为2x+5y

=0或x+2y+l=0o

七、学法指导

1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应

先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)。

八、作业布置

求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点尸(4,1),且在两坐标轴上的截距相等。

(2)经过点A(—l,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍。

(3)经过点3(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。

(«HW)

三、典例分析

考点一与不等式相结合的最值问题

例1、已知直线/过点”(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B

两点，。为原点，当△A03面积最小时，直线/的方程为0

解析设直线/的方程为厂1=左(%—2)(左<0),A(2—，0),3(0,1—2左)，5AAOB=1(1

—24)(2一4+(—4左)+(—"J斗4+4)=4。当且仅当一42一半,即左=—g时，等

号成立。故直线/的方程为y—1—/x—2),即x+2y—4=0。

考点二由直线方程求参数范围

22

例2、已知直线/i：ax-2y=2a-4,Z2：2x+ay=2a+4,当0<a<2时，直线八，

/2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数。=。

解析由题意知直线/i,/2恒过定点尸(2,2),直线/i的纵截距为2一出直线办的横

2

截距为a2+2,所以四边形的面积S=3x2X(2—。)+3*2*(/+2)=/—a+4=(a—j

+与,当时，面积最小。

四、方法总结

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

1.求解与直线方程有关的最值问题。先设出直线方程，建立目标函数，再利用基

本不等式求解最值。

2.求参数值或范围。注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数

的单调性或基本不等式求解。

五、作业布置

1.已知6>0,直线(〃+l)x+ay+2=0与直线x—廿y—1=0互相垂直，则"的最

小值等于O

2.已知x20,y20,且x+y=l,则1十寸的取值范围是。

第二节两条直线的位置关系

一、考纲要求

1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；

2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；

3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直。

二、命题角度

1.两条直线的平行与垂直问题；

2.两条直线的交点与距离问题；

3.对称问题。

《・一课时)

三、要点回顾

两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线/1、h,其斜率分别为M、左2,则有/1〃/2

0kl=k2。特别地，当直线/1、/2的斜率都不存在时，/1与/2平行。

与Ax+By+C=O平行的直线，可设为Ax+3y+根=0(机WC)。

(2)两条直线垂直：如果两条直线/1、/2斜率存在，设为左1、左2,则台釜•左2=—

lo特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。

与Ax+Bv+C=O垂直的直线可设为Bx—Ay+n=Oo

四、重点突破

在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在。若两条直线都有

斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑。

五、巩固训练

1.若直线ax+y+5=0与x—2y+7=0垂直，则实数a的值为()

A.2B.]C.-2D.—2

2.直线2x+(〃z+l)y+4=0与直线3y—2=0平行，则机=()

A.2B.—3C.2或一3D.12或一3

六、典例分析

考点两条直线的平行与垂直问题

例'⑴若直线h：ax-\-2y—6=0与直线/2：x+(a—l)y+/—1=0平行，则a=

(2)已知两直线方程分别为/i：x+y=l,b：ax-\-2y=0,若贝1Ja=。

解析(1)解法一：直线/i:ax+2y—6=0的斜率为一会在y轴上的截距为3。又

因为直线/i与直线〃平行，所以直线/2:x+(a—Dy+/—1=0的斜率存在且等于一H，

在y轴上的截距为一3+1)。由两直线平行得，-3=一士且3W—a—1,解得a=2

NCl1

或a——1o

fa(a-l)=2Xl,

解法二：根据题意可知1,、,解得a=2或a=—1。

a(a―1)7=-6X1,

(2)解法一■:因为人_1_/2,所以上次2=—1,即1=-1，解得a=-2o

解法二：因为人"1_/2,所以a+2=0,a=—2o

七、方法总结

1.当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑

到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件。

2.在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。

设直线/i方程为Aix+Biy+Ci=0,直线,2方程为Avc~\~Biy+C2=0,若h//

A\B2=AIB\,

<,若/l_L/2台442+3132=0。

AC2WA2Q；

八、作业布置

已知两直线/i：x+ysinot—1=0Wh：2vsina+y+l=0,求a的值,使得:

(l)h〃12。

(2)/1±；2o

三、要点回顾

1.两直线相交

(1)交点：直线/i：Aix+&y+Ci=0和』2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程

Aix+Biy+Ci=0>

的解---对应。

Aix-VBiy-\-Ci=Q

⑵相交台方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解。

⑶平行台方程组无解。

(4)重合台方程组有无数个解。

2.三种距离公式

(1)点A(X1,>1)、3(X2,丁2)间的距离为

\AB\=-xi)2+(j2-yi)2o

(2)点P(xo,泗)到直线/：Ax+5y+C=0的距离为

_|Axo+5yo+C]

4币廿中。

(3)两平行直线h：Ax+By+Ci=O与b：Ax+By+C2=0(CiWC2)间的距离为d=

|Q-Ci|

y[A2+B2°

四、巩固训练

1.两条平行直线3x+4y—12=0与ax+8y+H=0之间的距离为()

23237

A.亍7D，2

2.直线2x+2y+l=0,%+y+2=0之间的距禺是。

3.已知点A(3,2)和8(—1,4)到直线以+丁+1=0的距离相等，则a的值为。

五、典例分析

考点两条直线的交点与距离问题

例2、⑴经过两直线/i：x—2y+4=0和乱工+厂2=0的交点P,且与直线A：

3x-4y+5=0垂直的直线I的方程为。

(2)已知点P(4,a)到直线4x—3y—1=0的距离不大于3,则a的取值范围是。

(3)若两平行直线3x—2y—1=0,6x+ay+c=Q之间的距离为带士则c的值是

x—2y+4=0x=0

解析(1)由方程组,''得'即P(0,2)o因为山3,所以直线I

lx+y—2=0,〔y=2,

44

的斜率左=一1,所以直线/的方程为y—2=—尹，即4x+3y—6=0。

(2)由题意得，点P到直线的距离为"广厂广忆吟细。

又|15—3a|

W3,即|15—3a|W15,解之得OWaWlO,所以a的取值范围是[0,10]。

⑶依题意知，与=£#与解得a=一4,c手一2,即直线6x+ay+c=0可化为

+1

271322^13

3x-2y+|=0,又两平行线之间的距离为，所以?解得c=2或

1313'

-6。

六、方法总结

1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件

写出直线方程。

2.利用距离公式应注意：①点P(xo,加)到直线x=a的距离d=\xo~a\,到直线y

=5的距离d=|yo—。|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分

别化为相等。

八、作业布置

1.已知点A(2,—3)是直线aix+biy+1=0与直线〃2%+岳丁+1=0的交点，则经过

两个不同点尸1(。1，61)和尸2(。2,历)的直线方程是()

A.2x—3y+l=0B.3x—2y+l=0C・2x—3y—1=0D.3x—2y—1=0

2.直线/过点尸(一1,2)且到点A(2,3)和点3(—4,5)的距离相等，则直线/的方程为

(■三读时)

三、要点回顾

对称问题

(1)点P(xo,yo)关于点A(Q,b)的对称点为P(24一%o,2b—yo)。

(2)设点P(xo,yo)关于直线丁=履+6的对称点为P6,V),则有

X-X0

q可求出y。

+泗7%+次」_

yGK'gb7,

四、典例分析

考点一对称问题的求解

例1、已知直线/：2x—3y+l=0,点A(—1,-2)o则点A关于直线/的对称点4

的坐标为^_______o

0+221f_33

x+131，x=~13,

解析设A'(x,y),由已知《解得j4

x-1y-2,

2*三一一3*:一+1=0,7=13°

所以A'〔一记，司。

考点二对称问题的应用

例2、已知入射光线经过点M(—3,4),被直线/：x—y+3=0反射，反射光线经过

点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为。

解析设点M(—3,4)关于直线/:x—y+3=0的对称点为b),则反射光线所

a—(—3)

在直线过点的，所以＜解得4=1,b=Q又反射光线经过点

—3+〃Q

y—0x—1

M2,6),所以所求直线的方程为t即6x—y—6=0。

五、方法总结

解决对称问题的方法

1.中心对称

x'=2。-x,

(1)点P(x,y)关于Q(a,3的对称点P(,旷)满足,

⑵直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决。

2.轴对称

⑴点A(a,"关于直线士++C=O(BWO)的对称点A\m,n),则有

A

m-a

(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决。

六、作业布置

1.已知直线/：2x—3y+l=0,求直线"z：3x—2y—6=0关于直线/的对称直线加

的方程。

2.光线从点A(—4,—2)射出，到直线y=x上的点3后被直线y=x反射到y轴上

的点C,又被y轴反射，这时反射光线恰好过点。(一1,6),则所在的直线方程为

第三节圆的方程

一、考纲要求

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。

2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

二、命题角度

1.求圆的方程

2.与圆有关的最值问题

3.与圆有关的轨迹问题

三、要点回顾

1.圆的定义

(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。

(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。

2.圆的标准方程

(x—q)2+(y—。)2=产(厂>0),其中(a,为圆心坐标,二为半径。

3.圆的一般方程

%2++Dx-\-Ey-\-F=0表不圆的充要条件是少十石2—4b>0,其中圆心为

丫,一S半径『尸三。

四、重点突破

二元二次方程表示圆的条件：对于方程^+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视

D2+E2-4F>0这一条件。

五、巩固训练

1.圆f+y—dx+GyuO的圆心坐标是()

A.(2,3)B.(―2,3)C.(-2,—3)D.(2,—3)

2.过点A(l,-1),3(—1,1),且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x—l)2+(y—1)2=4D.(X+1)2+(J；+1)2=4

3.△ABC的三个顶点分别为A(—1,5),5(—2,—2),C(5,5),则其外接圆的方程

为。

4.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(X—1)2+(>一1)2=IB.(x+1)2+8+1)2=1

C.(%+l)2+(y+l)2=2D.(X-1)2+CV-1)2=2

5.方程X2+;/+奴+2砂+24+〃-1=0表示圆，则〃的取值范围是()

、222

A.a<—2或〃>93・lgVoVOC.—2V〃V0D・l2VaVg

4.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M0,小)在圆C上，且圆心到直线2x

—y=0的距离为芈，则圆C的方程为。

六、典例分析

考点求圆的方程

例'求圆心在直线丁=一x+1上，且与直线x+丁-2=0相切于点(1,1)的圆的方程。

解析因为圆心在过切点且与切线垂直的直线上，所以圆心在直线y—l=x—l上，

即x~y=O上。

x—y=0,%2，

又已知圆心在直线y=-x+l上，所以联立',解得〈

Ly=-x+l,1

y-。。

七、方法总结

用待定系数法求圆的方程的一般步骤

1.选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程;

若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)。

2.根据所给条件，列出关于。，E,R或a,。，厂的方程组。

3.解方程组，求出。，E,F或a,0,r的值，并把它们代入所设的方程中，得到

所求圆的方程。

八、作业布置

1.圆心在直线x—2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长

为2小，则圆C的标准方程为0

2.求半径为5且与x轴交于A(2,0),5(10,0)两点的圆的方程。

(・二读时)

三、巩固训练

1.在平面直角坐标系xOy中，A(—12,0),3(0,6),点P在圆。：f+尸=50上。

若现评W20,则点P的横坐标的取值范围是

四、典例分析

考点一斜率型、截距型、距离型最值问题

例1、已知实数x,y满足方程f+V—标+1=0,则^的最大值为，最小

值为。

解析如图，方程f+y2—4x+l=0表示以点(2,0)为圆心,

以小为半径的圆。设(=左，即＞=履，当圆心(2,0)到直线

的距离为半径时，即直线与圆相切，斜率取得最大、最小值。

，\2k-Q\

由际=解得贷=3,所以kmax='\[3,kmin=­

考点二与圆有关的范围问题

例2、已知点P在圆x2+y2=l上，点A的坐标为(一2,0),。为原点，则成•好的

最大值为________

解析由题意知，历=(2,0),令尸(cosa,sina),则AP=(cosa+2,sina),AOAP=

(2,0)-(cosa+2,sina)=2cosa+4W6,故A。AP的最大值为6。

五、方法总结

1.形如〃二三的最值问题，可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题。

XCL

2.形如/="+力的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换

求解。

3.形如机=(x—a)2+(y—6)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最

值问题。

六、作业布置

1.设点P是函数y=—74—(x—1)2的图象上的任意一点,点Q(2a,。-3)(adR),

则|P0|的最小值为o

2.已知P是直线/：3x—4y+ll=0上的动点，PA,是圆/十丁一2%-2、+1=0

的两条切线，C是圆心，那么四边形出C3面积的最小值是0

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

一、考纲要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方

程判断圆与圆的位置关系。

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

二、命题角度

1.直线与圆的位置关系。

2.圆的弦长与切线问题。

3.圆与圆的位置关系。

（■一课时）

三、要点回顾

直线与圆的位置关系与判断方法

方法过程依据结论

/>0相交

联立方程组消去x（或y）得一元二次方程，

代数法J=0相切

计算』=Z?2-4QC

z/<0相离

d<r相交

计算圆心到直线的距离d,比较d与半径厂

几何法d=r相切

的关系。相交时弦长为2、户—#

d>r相离

四、重点突破

当直线与圆相交时，由弦心距（圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成一个直

角三角形。

五、巩固训练

1.圆（x—iy+（y+2）2=6与直线2x+y—5=0的位置关系是（）

A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离

2.圆/十9―以=0在点p（l,小）处的切线方程为（）

A.x+小y—2=0B.x~\-y[3y—4=0C.x—/y+4=0D.x—4y+2=0

3.直线/：3%—丁一6=0与圆％2+'2-2%—4丁=0相交于A,3两点，则|AB|=i_。

4.若直线3x—4y+5=0与圆^+产二户&乂））相交于A,3两点，且/公。3=120。（。

为坐标原点)，则r=

六、典例分析

考点直线与圆的位置关系

例1、(1)“a=3”是“直线y=x+4与圆(x—a)2+(y—3)2=8相切”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)直线y=--^-x+m与圆/+9=1在第一象限内有两个不同的父点，则m的取值

范围是()

A.他,2)B.(小,3)C惇,明D.[l,卓)

解析(1)若直线y=x+4与圆(%—〃)2+。-3/=8相切，则有[]=2吸，即|。+

1|=4,所以a=3或一5。但当<7=3时，直线y=x+4与圆(%一。广+。一3)?=8一定相切，

故“a=3”是“直线y=x+4与圆(x—a)2+(y—3>=8相切”的充分不必要条件。故选

Ao

⑵当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时机=1;当直线与圆相

1,解得机=芈(切点在第一象限)，所以栗

切时有圆心到直线的距离d=

使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1(机故选D。

七、学法指导

判断直线与圆的位置关系的常见方法：

1.几何法：利用d与厂的关系。

2.代数法：联立方程之后利用/判断。

八、作业布置

1.设机>0,则直线6(x+y)+l+机=0与圆f+y2=机的位置关系为()

A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切

2.若圆/+尸=户(/>0)上恒有4个点到直线x-y-2=Q的距离为1,则实数r的

取值范围为()

A.(y[2+l,+8)B.(^2-1,V2+1)C.(0,表一1)D.(0,^2+1)

(■二读时)

三、典例分析

考点一圆的切线问题

例1、过原点。作圆f+V—6x—8》+20=0的两条切线，设切点分别为P,Q,则

线段PQ的长为0

解析将圆的方程化为标准方程为(x—3)2+(y—4/=5,则圆心为(3,4),半径长为小。

由题意可设切线的方程为y=kx,则圆心(3,4)到直线y=kx的距离等于半径长小，即

小,解得左=1■或S则切线的方程为y=2x或7=枭。联立切线方程与圆

422'

的方程，解得两切点坐标分别为(4,2),予y,此即为P,。的坐标。由两点间的距离

公式得归。1=4。

考点二圆的弦长问题

例2、若。2+庐=2c2(cW0),则直线ax+by+c=Q被圆x1+y2=l所截得的弦长为()

A.；

B.1D.V2

Idkl__正

解析因为圆心(0,0)到直线ax+by+c=Q的距离d=,因此根

yja-+b2啦|c|2

、历

据直角三角形的关系，弦长的一半就等于号所以弦长为地。故选D。

考点三与弦长有关的最值问题

例3、在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x—机尸+。—2)2=40内，动直

线A3过点P且交圆C于A,3两点，若△ABC的面积的最大值为20,则实数机的取

值范围是

解析由圆的方程知，圆心C(m,2),半径厂=2/5,所以SAABcnJ/sinNACBuZOsin

7T

ZACB,所以当NAC3=]时，SAABC取得最大值20,此时△ABC为等腰直角三角形，|A3|

=y[2r=4y[5,贝U点C到AB的距离为2小，所以2小W|PC|<2®,即2y[5^(m-3)2+22

<2\Jw,解得一3<mW—1或7W/n<9。

四、学法指导

直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关

系的一个衍生问题。常用的方法有：①根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径

和圆心到直线的距离表示；②通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦

长与交点坐标的关系来解决问题。

五、作业布置

1.从圆/一2%+产—2y+i=o外一点p(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的

余弦值为.O

2.直线x—3y+3=0与圆(x—l)2+(y—3)2=10相交所得弦长为()

A.而B.乎C.4-V2D.35

3.设直线/：3x+4y+4=0,圆C：(%-2)2+y2=^(r>0),若圆C上存在两点P,Q,

直线I上存在一点使得NPMQ=90。，则r的取值范围是。

(・三读时)

三、要点回顾

1.圆与圆的位置关系

设圆01：(%—6zi)2+(y—Z?i)2=z^(n>0),

圆。：(x—a2)2~\~(y—历)2=”(厂2>0)。

几何法：圆心距d与n,n代数法：两圆方程联立组成

方法位置关系

的关系方程组的解的情况

外离d>ri+n无解

外切d=.1+.2一组实数解

相交|.L也VdVn+及两组不同的实数解

内切d=\n~n\(nWri)一组实数解

内含0WdV|ri—r2|(nWri)无解

2.两圆公切线的条数

位置关系内含内切相交外切外离

公切线条数01234

四、重点突破

1.关注一个直角三角形

2.两圆相交时公共弦的方程

设圆Ci：J^+^+DIX+EI^+F1=0,①

圆C2：x2+y2+Z>2x+£I2y+尸2=0,②

若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①一②所得，即：(D—

D2)X+(El—E2)y+(RI—R2)=0。

五、巩固训练

1.若圆f+y2=4与圆％2+,2+2分一6=0(&>0)的公共弦长为24，贝Ua=。

2.两圆/十;/—2y=0与/+>2—4=0的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.内含

3.已知圆Cl：(X—02+8+2)2=4与圆C2：(X+6)2+G+2)2=I外切，则曲的最

大值为O

六、典例分析

考点圆与圆的位置关系

例、已知两圆Ci：f+y?—2x—6y—1=0和C2：—10%—12y+45=0。

⑴求证：圆G和圆C2相交。

⑵求圆Ci和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长。

解析(1)证明：圆G的圆心。(1,3),半径厂i=JH,

圆Ci的圆心。2(5,6),半径9=4,

两圆圆心距d=|GC2|=5,n+r2=Vll+4,

|z'i-n|=4—

所以|ri—n\<d<nn,

所以圆Cl和。2相交。

(2)圆。和圆Q的方程左、右分别相减，得4%+3>—23=0,所以两圆的公共弦所

在直线的方程为4%+3>—23=0。圆心。2(5,6)到直线4x+3y—23=0的距离

|20+18-23|

d=V16+9=3；

故公共弦长为2116—9=2由。

七、学法指导

两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d,半弦长/半径厂所在线段构成直角三

角形，利用勾股定理求解。

八、作业布置

1.若圆G：/+9=1与圆C2：炉+产―6%—8y+机=0外切，则机=()

A.21B.19C.9D.-11

2.圆。1的方程为f+G+1)2=4,圆。2的圆心为。(2,1),圆。2与圆。1交于A,

3两点，且点。2到直线A3的距离为啦，则圆。2的标准方程为o

第五节椭圆

一、考纲要求

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

2.了解椭圆的简单应用。

3.理解数形结合的思想。

二、命题角度

1.椭圆的定义及简单几何性质。

2.椭圆的综合问题。

三、要点回顾

椭圆的概念

平面内与两定点尸1、尸2的距离的和等于常数(大王尸]2|)的点的轨迹叫椭圆。这两

定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。

集合P={MI"Ri|+l"R2|=2a,|FIF2|=2C,其中a>0,c>0,且a,c为常数}。

(1)若心，则M点的轨迹为椭圆。

(2)若^^则M点的轨迹为线段。

⑶若在,则M点不存在。

四、重点突破

22

1.设椭圆7+金=1(。>。>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时，|。尸|有最小值。，

这时，尸在短轴端点处；当尤=±a时，|。尸|有最大值a,这时，尸在长轴端点处。

2.椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，

a2=Z?2+c2o

3.已知过焦点Ri的弦A3,则△ABR2的周长为4a。

4.若P为椭圆上任意一点，口为其焦点，则a—cW|PR|Wa+c。

五、巩固训练

1.若Ri(3,0),R2(—3,0),点P到RI,R2距离之和为10,则P点的轨迹方程是()

A-I+导1B.斋+若=1忌+[=1D.务昌1或1+言1

?2

2.“心0”是“方程全+5=1表示椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知△ABC的顶点3,C在椭圆曰+y2=i上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭

圆的另外一个焦点/在3C边上，则△ABC的周长是（）

A.2/B.6C.4小D.2

六、典例分析

考点椭圆的定义及应用

例⑴已知Ri,歹2是椭圆C：，+埠=1伍＞。＞0）的两个焦点，尸为椭圆C上的一点，

且冲」由2。若△PR1R2的面积为9,则人=o

72

（2）已知椭圆于+，=1（0＜。＜2）的左、右焦点分别为Ri,Fi,过人的直线/交椭圆

于A,3两点，若|3尸2|十总歹2|的最大值为5,则6=0

_1厂1+厂2=2。，

解析（1）设|PRi|=ri,|尸尸2|=2贝M,所以2r1厂2=（厂1+厂2）2—（r?+玲

Ln+n=4c-,

=4a2—4c2=4b2,所以SZXPRiR2=|nr2=b2=9,所以6=3。

（2）由0＜6＜2可知，焦点在x轴上，因为过Ri的直线/交椭圆于A,3两点，所以13b

2I+IAF2I+IBFi|+|AFi\=2a+2a=4a=8,所以|8尸2|十|4尸2|=8一以为。易知当直线A3

垂直于％轴时，|48|的值最小，丑尸2|十收尸2|的值最大,此时|43|=/，所以5=8一庐,

解得b=小。

七、学法指导

1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为

椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等。

2.椭圆的定义式必须满足2a＞尸归2|。

八、作业布置

92

1.已知椭圆w+》=l的两个焦点是歹1,尸2,点尸在该椭圆上，若|尸/1|一|尸口2|=2,

则△PR1R2的面积是（）

A.y[2B.2C.2y/2D.^3

2.与圆G：（x+3）2+y2=l外切，且与圆C2：（x-3）2+y2=81内切的动圆圆心P

的轨迹方程为。

（■二读时）

三、要点回顾

提+5=l(a>Q0)

标准方程5+本=1(。>。>0)

B2

图形IT

B、

—aWxWa—bWxWb

范围

—bWyWb一

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点

Al(-4Z,0)>上(。,0)Ai(0?—d),A2(0,a)

性顶点

31(0,一b),B2(0,b)Bi(~b,0),B(b,0)

质2

轴长轴AiAi的长为额；短轴BiBi的长为2b

焦距\FiFi\=2c

离心率

a,b,c

c2=a2—b2

的关系

四、巩固训练

?2

1.椭圆1+1=1的离心率是（）

手B坐C.|D

?2

2.已知椭圆生+5=1（加＞0）的左焦点为F1（—4,0）,则m等于（

A.2B.3C.4D.9

3.设椭圆的两个焦点分别为Ri,F2,过歹2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若

△R1PR2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（)

A事/C.2一巾D.j—l

4.下列正确结论的序号是0

①平面内与两个定点