第10讲 几何法秒解离心率问题（解析版）

一．选择题（共19小题）1．过双曲线的右焦点，作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线左支于点M，且E是MF的中点，则双曲线离心率为()【解答】解：如图，记右焦点为F’，则O为FF’的中点，:E为PF的中点，:OE为△FF’P的中位线，:PF’=2OE=a，:E为切点，:OE丄PF，:PF’丄PF，2，:9a2+a2=4c2，即10a2=4c2，:离心率故选：B.，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为()【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2故选：D.3．如图，已知椭圆过原点的直线与椭圆交于A、B两点，点F为椭范围为():2csinα+2ccosα=2a，’ 故选：B.所以所以则|AF2|AF|cosA，整理可得所以，故选：B.|，则椭圆C的离心率为()|PF过F2作F2N丄PQ，在直角三角形中，|N2，|QN|=22故选：B.6．如图，F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象【解答】解：F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，代入椭圆方程可得可得代入双曲线方程可得可得：则C1与C2的离心率之和为：2.故选：A.7．设F2是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲则双曲线C的离心率为()【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形.:|MF1|=|PF2|，MF1//PN.2，:，:双曲线的离心率.故选：C.8．设椭圆=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，右顶点为A，M为椭圆上一点，且上MF2AA，则椭圆C的离心率为()【解答】解：设椭圆=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，右顶点为A，2-1=解得可得故选：B.9．已知双曲线=1(a>0,b>0)过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A、B两点，A、B两点分别在一、四象限，若则双曲线C的离心率为( 【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点F(c,0)，渐近线方程为，如下图所示：化简可得：a2=3b2，即由双曲线离心率公式可知故选：A.10．设直线x3y+m=0(m≠0B，若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是() 【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x3y+m=0(m≠0):AB中点坐标为9b2a2m:a=2b，:c=·b，故选：A.垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知QA，点P是双曲线C右支上的动点，且PF1+PQ>F1F2恒成立，则双曲线离心率的取值范围是()22a2)，F2|恒成立，故选：A.存在一点P，使得则椭圆C的离心率的取值范围为()【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理知联立①②得|P :椭圆C的离心率的取值范围为(2一1,1).故选：C.|PF双曲线C的左、右两支各交于一点，则双曲线C的离心率的取值范围是()【解答】解：以PF1，PF2为边，作平行四边形PF1EF2，如图所示：|，因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以PF1丄PF2，|222，2|PF2224a224a2，2，又因为双曲线的离心率，所以1<e<，由题意知，双曲线的渐近线方程为，又直线l:3x+4y3c=0与双曲线C的左右两支各交于一点，所以直线l的斜率大于双曲线的渐近线x的斜率，21综上所述故选：D.右顶点．P为C上一点，且PF丄x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点则C的离心率为()解：如图，由MF//OE，所以故选：B.15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，ΔPAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|=·3，则E的离心率是()【解答】解：设ΔPAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N， |PM||MF2|故选：C.16．已知双曲线C:=1(a>0,b>0)线交C于点M，点M位于第一象限，若△AF2M为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为():△AF2M为等腰直角三角形，|AF2|=a+c，MF2丄AF2，22a2，故选：B.圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若AM丄AN，则C的离心率为()【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y=±x，即bx±ay=0，由题意可得A(a,0)，所以A到渐近线的距离 所以故选：B.18．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若上MAN=60O，则双曲线C的离心率【解答】解：双曲线的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.故选：A.19．过椭圆的左顶点A作圆x2+y2=c2(2c是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为M，N，若上MAN=60O，则该椭圆的离心率为()所以离心率故选：A.二．填空题（共11小题）20．已知F是双曲线C的一个焦点，P是C上的点，线段PF交以C的实轴为直径的圆于A，B两点，且A，B是线段PF的三等分点，则C的离心率为【解答】解：如图：OF=c，OA=a，PF=3AB，M是PF的中点，也是AB的中点，一一m2一m2一2，2故答案为：.Q|，则椭圆的离心率为.【解答】解：设椭圆的标准方程为F22222，即(2c)2(3k)2=(2a5k)2(8故答案为：.22．如图，F1，F2是椭圆与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是.点A为椭圆，又四边形AF1BF2为矩形，:x2+y2=(2c)2=32，② ||AF:C2的离心率是. 故答案为：2.23．已知双曲线若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2.由题意可设故答案为：2.24．已知直线y=kx与双曲线相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|，|OA|=b(O为坐标原点则双曲线C的离心率为 3.【解答】解：设|BF|=m，则|AF|=3|BF|=3由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，故答案为：.25．双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，直线y=kx与曲线C交于AF2 故答案为：.26．已知双曲线的右焦点为F，A，B是双曲线的一条渐近线上———→———关于原点对称的两点，AFBF=0且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为———→———【解答】解：如图，由题知AF丄BF，则OA=OB=OF，点M是线段AF的中点，则OM丄AF，故答案为：2.27．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60O的直线A1B1和=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是【解答】解：不妨设双曲线的方程是B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又」满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30O时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30O，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30o，则