第9讲 破解离心率问题之顶底角公式（解析版）

一．选择题（共6小题）1．如图，已知双曲线上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦【解答】解：在RtΔABF中，|OF|=c:|AB|=2c，:≤α≤,:≤α+≤,故选：A.椭圆离心率e的取值范围是()【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角上F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，:存在点P为椭圆上一点，使得上F1PF2=60O，2:a2—c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥:椭圆离心率，且a>c>0:≤e<1故选：C.最小值为()【解答】解：:上F1PF2=90O:P在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即：b≤c≤a2可得：故选：B.4．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点M满足上F1MF2=60O，则该椭圆离心率取值范围是()|F2|MFrr4a2，r，:≥, 故选：B.率的取值范围是()【解答】解：因为椭圆中P位于短轴端点时，上F1PF2最大， 解得e≤. 故选：B.则该椭圆的离心率的取值范围是()【解答】解：点A，B是长轴的两个端点，示，:该椭圆的离心率的取值范围是故选：A.二．多选题（共3小题）7．已知椭圆=1的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M(1,1)，则下列结论正确的有() |FF2所以点P为以F1F2为直径的圆与椭圆的交点，所以不存在点P，故C错误，所以|PM|+|PF1|最大值为5，故D正故选：ABD.8．已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为e，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF2是钝角，则满足条件的一个e的值()【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角上F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角上F1PF2达到最大值.椭圆上存在点P使得上F1PF2是钝角，:P0O<OF2，即b<c， 结合选项可得，满足条件的一个e的值为BC.故选：BC.9．已知F是椭圆的右焦点，M为左焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不|，…组成公差为d的等差数列，则()|的最大值为8C．d的值可以为D．椭圆上存在点P，使上FPM=由椭圆的性质可得：当点P为椭圆的短轴端点时，上FPM最大，且此时三角形FPM的面积也最大，又椭圆上至少有21个不同的点组成公差为d的等差数列，所以|FP1|的最大值为8，B正确，设已知的等差数列为{an}，公差为d>0，故选：ABC.三．填空题（共7小题）10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|=2|OM|，tan上MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值6MFMF:t+≥2+=，:1<e2≤5，:法二|=2|OM|，:上，令|M=2csinθ,r2=2ccosθ, sinθ—cosθ=1(0<θ<)，则椭圆C的离心率e的取值范围是【解答】解：椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2可得则θ=，短轴的端点与两个焦点所成角大于等于，≥sin．因为e∈所以故答案为12．已知双曲线=1(a>0,b>0)右支上有一点A，它关于原点的———→———【解答】解：AFBF=0，可得AF丄BF，———→———:|AB|=2c， 的取值范围是:以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径r=c≥b，2:椭圆的离心率e的取值范围是[2，1)， 2【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角上F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角上F1PF2达到最大值.:a2—c2≤可得a2≤c2，15．设椭圆=1(a>b>0)两焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1丄PF2，则椭圆离心率的取值范围为:点P的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2+y2=c2.:以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，:b≤c，即·≤c，化简得a2≤2c2，解得a≤c.因此，椭圆C的离心率.」椭圆离心率在(0,1)之间取值，:椭圆C的离心率1).故答案为：1)16．已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为e，F1，F2分