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文档简介
2025届云南省江川二中高考适应性考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.2.已知点,若点在曲线上运动,则面积的最小值为()A.6 B.3 C. D.3.函数的部分图象如图所示,已知,函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到,则函数的解析式为()A. B.C. D.4.设,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C. D.5.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称6.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是A. B. C. D.7.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.8.函数在上的最大值和最小值分别为()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-29.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()A.3 B. C.4 D.10.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()A. B. C. D.11.已知,,,若,则正数可以为()A.4 B.23 C.8 D.1712.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则__________.14.若函数为自然对数的底数)在和两处取得极值,且,则实数的取值范围是______.15.已知函数,则关于的不等式的解集为_______.16.抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某工厂,两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.(1)从,生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的作为的值.①已知,生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元.若从两条生产线上各随机抽检件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线挽回的损失较多?②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件分别获利元、元、元,现从,生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测,结果统计如下图;用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为,求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.18.(12分)已知数列是各项均为正数的等比数列,数列为等差数列,且,,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前项和;(3)设为数列的前项和,若对于任意,有,求实数的值.19.(12分)函数,且恒成立.(1)求实数的集合;(2)当时,判断图象与图象的交点个数,并证明.(参考数据:)20.(12分)设函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)证明:,恒成立.21.(12分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.22.(10分)如图所示,在三棱柱中,为等边三角形,,,平面,是线段上靠近的三等分点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.2、B【解析】
求得直线的方程,画出曲线表示的下半圆,结合图象可得位于,结合点到直线的距离公式和两点的距离公式,以及三角形的面积公式,可得所求最小值.【详解】解:曲线表示以原点为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点),如图,直线的方程为,可得,由圆与直线的位置关系知在时,到直线距离最短,即为,则的面积的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积最值,解题关键是掌握直线与圆的位置关系,确定半圆上的点到直线距离的最小值,这由数形结合思想易得.3、A【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得,利用周期公式可得,再根据图像过,即可求出,再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到,所以.故选:A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换,需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则,属于基础题.4、D【解析】
作出不等式对应的平面区域,由目标函数的几何意义,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线:在可行域内平移当过点时,取得最大值.由得:,故选:D【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,属于基础题.5、B【解析】
根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.6、B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,底面半径为2,则其体积为,.故选B点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.7、D【解析】
如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.8、B【解析】
由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意,,作出函数的图象如下所示;由函数图像可知,当时,有最大值,当时,有最小值.故选:B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,属于基础题.9、B【解析】
先根据角度分析出的大小,然后根据角度关系得到的长度,再根据正弦定理计算出的长度,最后利用余弦定理求解出的长度即可.【详解】由题意可知:,所以,,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查解三角形中的角度问题,难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.10、C【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知,ABD选项可以围成三棱柱,C选项不是三棱柱展开图.故选:C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断,属于基础题.11、C【解析】
首先根据对数函数的性质求出的取值范围,再代入验证即可;【详解】解:∵,∴当时,满足,∴实数可以为8.故选:C【点睛】本题考查对数函数的性质的应用,属于基础题.12、A【解析】
试题分析:α⊥β,b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.考点:充分条件、必要条件.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设等比数列的公比为,根据题意求出和的值,进而可求得和的值,利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的性质可得,,由于与的等差中项为,则,则,,,,,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列求和,解答的关键就是等比数列的公比,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】
先将函数在和两处取得极值,转化为方程有两不等实根,且,再令,将问题转化为直线与曲线有两交点,且横坐标满足,用导数方法研究单调性,作出简图,求出时,的值,进而可得出结果.【详解】因为,所以,又函数在和两处取得极值,所以是方程的两不等实根,且,即有两不等实根,且,令,则直线与曲线有两交点,且交点横坐标满足,又,由得,所以,当时,,即函数在上单调递增;当,时,,即函数在和上单调递减;当时,由得,此时,因此,由得.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用,已知函数极值点间的关系求参数的问题,通常需要将函数极值点,转化为导函数对应方程的根,再转化为直线与曲线交点的问题来处理,属于常考题型.15、【解析】
判断的奇偶性和单调性,原不等式转化为,运用单调性,可得到所求解集.【详解】令,易知函数为奇函数,在R上单调递增,,即,∴∴,即x>故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题.16、【解析】
设抛物线上任意一点的坐标为,根据抛物线的定义求得,并求出对应的,即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为,抛物线的准线方程为,由抛物线的定义得,解得,此时.因此,抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)①生产线上挽回的损失较多.②见解析【解析】
(1)由题意得到关于的不等式,求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值;(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可;②.由题意首先确定X可能的取值,然后求得相应的概率值可得分布列,最后由分布列可得利润的期望值.【详解】(1)设从,生产线上各抽检一件产品,至少有一件合格为事件,设从,生产线上抽到合格品分别为事件,,则,互为独立事件由已知有,则解得,则的最小值(2)由(1)知,生产线的合格率分别为和,即不合格率分别为和.①设从,生产线上各抽检件产品,抽到不合格产品件数分别为,,则有,,所以,生产线上挽回损失的平均数分别为:,所以生产线上挽回的损失较多.②由已知得的可能取值为,,,用样本估计总体,则有,,所以的分布列为所以(元)故估算估算该厂产量件时利润的期望值为(元)【点睛】本题主要考查概率公式的应用,二项分布的性质与方差的求解,离散型随机变量及其分布列的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、(1),(2)(3)【解析】
(1)假设公差,公比,根据等差数列和等比数列的通项公式,化简式子,可得,,然后利用公式法,可得结果.(2)根据(1)的结论,利用错位相减法求和,可得结果.(3)计算出,代值计算并化简,可得结果.【详解】解:(1)依题意:,即,解得:所以,(2),,,上面两式相减,得:则即所以,(3),所以由得,,即【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用,以及利用错位相减法求和,属基础题.19、(1);(2)2个,证明见解析【解析】
(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要讨论求解看是否有最小值;(2)将图像与图像的交点个数转化为方程实数解的个数问题,然后构造函数,再利用导数讨论此函数零点的个数.【详解】(1)的定义域为,因为,1°当时,在上单调递减,时,使得,与条件矛盾;2°当时,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而时,,要使恒成立,故.(2)原问题转化为方程实根个数问题,当时,图象与图象有且仅有2个交点,理由如下:由,即,令,因为,所以是的一根;,1°当时,,所以在上单调递减,,即在上无实根;2°当时,,则在上单调递递增,又,所以在上有唯一实根,且满足,①当时,在上单调递减,此时在上无实根;②当时,在上单调递增,,故在上有唯一实根.3°当时,由(1)知,在上单调递增,所以,故,所以在上无实根.综合1°,2°,3°,故有两个实根,即图象与图象有且仅有2个交点.【点睛】此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想,考查导数的运用,属于较难题.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)将不等式化为,利用零点分段法,求得不等式的解集.(2)将要证明的不等式转化为证,恒成立,由的最小值为,得到只要证,即证,利用绝对值不等式和基本不等式,证得上式成立.【详
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