2024-2025学年江苏省无锡市江阴市高二上册12月月考数学阶段性检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市高二上学期12月月考数学阶段性检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．2．在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（

）A． B． C． D．3．如图，在平行六面体中，E为延长线上一点，，则可以表示为（）

A． B．C． D．4．已知则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（）A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺6．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．27．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，，与y轴交于点M.若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（）A． B．C． D．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（）A．曲线C不可能表示一个圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线10．已知空间三点，，，则下列结论正确的有（）A．存在唯一的实数x使B．对任意实数，三点都不共线C．当时，与夹角的余弦值是D．当时，是平面的一个法向量11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（

）A．直线与抛物线C相切 B．C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得三、填空题（本大题共3小题）12．写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：.①与圆相切，②与x轴相切.13．已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为.14．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若的内切圆与x轴切于点N，且，则C的离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆经过点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)求过点与圆相切的直线方程.16．已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足.(1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.(2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式.17．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．(1)求直线\到直线的距离；(2)求直线到平面的距离．18．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．如图，已知椭圆的长轴长为4，离心率为，过点作直线l交椭圆于x轴上方两点M，N，点M在点N左侧，直线和交于点G.(1)求点G的横坐标；(2)若和的面积分别记为和，求的取值范围.

答案1．【正确答案】D【详解】由得：，所以直线的斜率为，直线的倾斜角为.故选：D2．【正确答案】C【详解】，复数与关于虚轴对称，故.故选：C3．【正确答案】B【详解】因为，所以，所以.故选：B.4．【正确答案】C【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为若，则，解得或，当时，直线与直线重合，所以，若时，所以“”是“”的充要条件；故选：C5．【正确答案】C【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，故可设该等差数列为，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，，，，公差为，由题可得：，即，解之得：，所以立春的日影子长为：（尺）.故选：C6．【正确答案】B【详解】设圆的圆心为，半径为，过点作垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知，，所以，当且仅当四点共线时，等号成立，而，所以，即的最小值为4．故选：B7．【正确答案】A【详解】如图：

因为，所以，又，所以，且，所以，.又.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选：A8．【正确答案】A【分析】不妨设，，结合椭圆的定义与圆的性质综合计算即可得、，即可得离心率.【详解】法1：不妨设，，，则，，，所以，所以①，②，联立①②解得，，所以椭圆离心率；法2：，，设轨道Ⅱ的长轴和焦距分别为和，，，则，，，得：，则，，，得：，故.故选：A.9．【正确答案】ACD【详解】A：若，无解，故曲线C不能表示一个圆，对；B：若，无解，故曲线C不能表示焦点在x轴上的椭圆，错；C：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，对；D：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，对.故选：ACD10．【正确答案】BCD【详解】对于A，，若，则，解得或1，故A错误；对于B，设三点共线，则，即，即，无解，故对任意实数，三点都不共线，故B正确；对于C，当时，，所以，故C正确；对于D，当时，，若是平面的一个法向量，则，即，所以当时，是平面的一个法向量，故D正确；故选：BCD.11．【正确答案】AC【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，即抛物线方程为，焦点F0,1.对于A：直线的方程为，即，因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确；对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意；所以直线l的斜率存在，设其方程为，，由，得，则，即或，于是，又，所以，故B错误；对于C：由焦半径公式可得，因为P是线段的中点，所以，整理得，即，故C正确；对于D：若，则，得所以，即，解得，此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.

故选：AC.12．【正确答案】（答案不唯一）【详解】设圆的方程为，由题意可得，整理可得，可令，即，故（答案不唯一）.13．【正确答案】/【详解】由题设，四面体各侧面均是等边三角形，且边长都为1，，，所以.故14．【正确答案】【分析】结合题意，首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于离心率的方程，解出即可.【详解】结合题意：双曲线的渐近线方程为，即，所以F到渐近线的距离为，所以，则的内切圆的半径为，设的内切圆与FM切于点P，则，由，得，即，则，，由，得，即,由于，解得．故答案为.15．【正确答案】(1)(2)和【详解】（1）设圆的标准方程为，由题意得，所以圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，符合题意，当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为，即，圆心到该直线的距离为，即，解得，此时直线方程为，故所求直线方程为和.16．【正确答案】(1)数列是等差数列，理由见解析(2)【详解】（1）数列是等差数列，理由如下：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，所以，，因为，所以为常数，所以数列是以为公差的等差数列；（2）因为，，所以，由（1）可知数列是等差数列，且公差为，因为的公差为，的公差为，所以数列的公差，所以数列的通项公式为.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以，即，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，，，，，所以直线到直线的距离为；（2）因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，,，设平面的一个法向量为，则，即，取，可得，所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.18．【正确答案】(1)证明见详解；(2)存在，.【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可证，然后结合，利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的方法列出关于参数的方程，即可得解．【详解】（1）证明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因为，且，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面;（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，设平面的法向量为，，，则即取，则，，所以，，，设平面的法向量为，，，则即取，则，，所以，，，因为平面和平面夹角的余弦值为，所以，整理得，，即，解得或，因为，所以，故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时．【方法总结】向量法求两个平面的夹角：首先求出两个平面的法向量m，n，再代入公式cosα＝±(其中m，n分别是两个平面的法