2024-2025学年黑龙江省虎林市高二上册期中联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年黑龙江省虎林市高二上学期期中联考数学检测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（

）A．8 B．9 C．10 D．203．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（

）A． B． C．2 D．44．已知圆与圆外切，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．8．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（）A．的面积为B．内切圆的面积为C．点P的纵坐标为D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分)9．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．点到渐近线的距离为4D．直线与直线的斜率乘积为10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（

）A．B．C．平面平面D．直线PB与平面PAD所成角的正弦值为11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知双曲线C的方程为，则的取值范围为．13．已知向量，，，则．14．已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程；(2)求过点，的双曲线的标准方程．16．已知直线与圆交于，两点，且.(1)求实数的值；(2)若点为直线上的动点，求的面积.17．如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.18．已知双曲线，，斜率为的直线过点.(1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；(2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积.19．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，当面积为时，求直线的斜率.答案：题号12345678910答案CDCBDBCBBDBC题号11答案BC1．C【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案.【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为，则，故焦点坐标为.故选：C.2．D【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长．【详解】为椭圆的两个焦点，，的周长为．故选：D．3．C【分析】由题设知，结合它们的坐标得即可求，进而求.【详解】由，知：，则，解得，，故.故选：C4．B【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.我们先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值.【详解】对于圆，其圆心坐标，半径.对于圆,其圆心坐标，半径.因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和.两圆的圆心距.根据两圆外切性质，即，解得.故选：B.5．D【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解.【详解】如图，抛物线的焦点为,根据抛物线的定义可知，点到的距离等于,所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和，由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，所以即为所求，故选:D.6．B【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程.【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）又在椭圆上，则①，②，由，可得，将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，故直线的方程为：，即.故选：B.7．C【分析】根据双曲线定义可得，即可根据勾股定理，结合分类讨论求解.【详解】由题意可得，由双曲线定义可得，故，若,则,即，化简可得，则，若,则,即，化简可得，不符合题意舍去，故选：C8．B【分析】根据椭圆的定义和余弦定理求出即可判断A，根据三角形面积求出内切圆半径即可判定B，根据三角形面积建立关系求解判断C，根据椭圆的有界性可判断D.【详解】对于A：根据椭圆定义可得，则，在中，由余弦定理，由①②可得，所以得面积为，故A错误；对于B：设内切圆半径为，因为的面积为，所以，即，解得，所以内切圆的面积为，故B正确；对于C：因为的面积为，则，解得，故C错误；对于D：设，则，，，则当时，的最大值为5，故D错误；故选：B.9．BD【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可.【详解】由双曲线知，，，对于A，双曲线的离心率为，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；故选：BD.10．BC【分析】建立适当的空间直角坐标系，由模长公式可验算A，由数量积的运算律可验算B，求出两个平面的法向量验算其数量积即可；对于D，求出直线方向向量与平面法向量即可验算.【详解】由题意过点作于点，因为平面，平面，所以，因为，所以，所以两两互相垂直，故以为原点分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：因为，所以，，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，显然的一个法向量为，设平面的一个法向量为，而，从而，令，解得，所以，所以，故C正确；对于D，显然的一个法向量为，而，从而，则直线与平面所成角的正弦值为，故D错误.故选：BC.11．BC【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点F1,0，所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为，由消去并化简得，解得，所以，B选项正确.由上述分析可知，中点，其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切，C选项正确.，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：BC

12．【分析】根据双曲线的方程特点可得不等式，解之即得.【详解】由双曲线方程特点知：，解得，故的取值范围为.故答案为.13．1【分析】先利用空间向量的模长公式求解得，再利用数量积的坐标表示即得解【详解】由题意，解得故故114．/【分析】找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，利用平行线的距离公式求距离的最大值.【详解】要使点到直线的距离最大，只要找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，令与平行且与椭圆相切的直线为，联立，消去整理得，由，即，解得或，对于直线，与直线的距离为，对于直线，与直线的距离为，所以点到直线的距离最大值为.故答案为.15．(1)(2)【详解】（1）依题意，，-------------------------2即，两边平方得，-------------------5整理得.------------------6’双曲线的方程为，----------------------------7将，代入得：---------------------------------8，解得，---------------------------12所以双曲线方程为.--------------------1316．(1)(2)【详解】（1）将圆可化为，------1所以其圆心，半径，作于点，-----3由垂径定理可得为的中点，如下图所示：由可得，-----------------4，------------6解得--------7（2）由（1）可知，所以，--------------9易知直线与直线平行，所以点到的距离为，---------------12因此的面积为.---------------1517．(1)证明见解析(2)详解】（1）取的中点，连接，因为，，所以，-------------2又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为，则，所以，------------5所以，即平面，又平面，所以平面平面；--------7

（2）取的中点，连接，则，即，如图建立空间直角坐标系，则P0,0,1，，，所以，，----------------9设平面的法向量为，则，取，----------12又平面的一个法向量为，--------------13设平面与平面夹角为，则，--------14所以平面与平面夹角的余弦值为------------------1518．(1)或(2)【详解】（1）当时，，则直线的方程为，------------------1又双曲线的渐近线为，----------------2所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；---------3当时，联立方程组，--------------4得，，解得；-------------6综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或---------------7（2）由双曲线，则，，，------------8又点在双曲线上，即，即---10在中，由余弦定理，---------------12即，解得，-------------------14所以的面积.------------------1519．(1)(2)【详解】（1）由椭圆顶点性质以及可得；---------------1当直线过焦点且与轴垂直时，其方程为，代入可求得，所以，------------------3解得；---------------------5所以椭圆的方程为.-----------------------6（2）由（1）可知B−2,0设直线的方程为