2024-2025学年福建省福州市台江区高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省福州市台江区高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．（

）A．25 B．5 C．4 D．32．已知向量，，则的夹角为（

）A． B．C． D．3．已知为第二象限角﹐且，则（

）A． B．C． D．4．已知奇函数的导函数为，若在上是减函数，则不等式的解集是（

）A．或x>2 B．C．或x>1 D．5．设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，7．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为A． B． C． D．8．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（

）.

A．样本在区间内的频数为18B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C．样本的中位数小于350万元D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）10．已知，点到直线：的垂足为，，，则（

）A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为C．的最大值为 D．的最小值为11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（

）A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B．若平面，则AQ的最小值为C．若的外心为M，则为定值2D．若，则点Q的轨迹长度为三、填空题（本大题共3小题）12．在1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数记作，则满足有两个零点的概率是．13．在直三棱柱中，是等边三角形，，在该三棱柱的外接球内随机取一点，则点在三棱柱内的概率为.14．我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体中，，，，将长方体沿平面一分为二，得到堑堵，下列结论正确的序号为．

①点C到平面的距离等于；②与平面所成角的正弦值为；③堑堵外接球的表面积为；④堑堵没有内切球．四、解答题（本大题共5小题）15．(本题满分14分)已知点是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.（Ⅰ）求证：EO⊥平面AFC；（Ⅱ）试问在线段DF(不含端点)上是否存在一点R,使得CR∥平面ABF,若存在,请指出点R的位置；若不存在,请说明理由.16．已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求的值；（2）已知函数为上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.17．如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.(1)证明：；(2)若是棱上一动点（含端点），平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.18．如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，.

(1)求证：平面平面；(2)若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值.19．已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为.(1)对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合及，；(2)求证：不可能为18；(3)求的最大值以及的最小值.

答案1．【正确答案】B【详解】；故选：B.2．【正确答案】B【详解】，又，所以的夹角为.故选：B3．【正确答案】A【详解】，又为第二象限角，，，.故选：A.4．【正确答案】D【详解】因为函数是奇函数，所以导函数是偶函数，所以，等价于因为在上是减函数，所以，解得：，即不等式的解集是.故选：D5．【正确答案】C【详解】设函数为单调递增函数，故，所以“”是“”的充要条件，故选C.6．【正确答案】B【详解】令,可得．设根据题意与直线只有两个交点，不妨设，结合图形可知，当时如右图，与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得，即，此时，，同理可得，当时如左图，，故选：B．7．【正确答案】D【详解】根据题意，画出示意图如下图所示因为，所以三角形ABC为直角三角形，面积为，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值即当DQ⊥平面ABC时体积最大所以所以设球心为O，球的半径为R，则即解方程得所以球的表面积为所以选D8．【正确答案】D【详解】取中点，连接，如图，因为，所以，所以在中，，，，所以，设外接圆圆心为，半径为，则，即；同理可得：，的外接圆半径也为2，因为，所以是等边三角形，则，即二面角为，球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，所以在中，，所以，即，所以外接球的表面积．故选：D.9．【正确答案】AB【详解】由图可得样本在区间内的频数为，故A正确；年收入在300万元以内的企业频率为，故B正确；则中位数在之间，设为则，故C不正确；年收入平均数超过，D不正确.故选：AB.10．【正确答案】AB【详解】已知，则，故直线过定点，正确；设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确；过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆，而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为，又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误．故选：．11．【正确答案】ABD【详解】对于A，因为，又因为面，面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；对于B，取的中点分别为，连接，则易证明：，面，面，所以面，又因为，，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；对于C，若的外心为M，，过作于点，则.故C错误；对于D，过作于点，易知平面，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，又因为所以，则圆弧等于，故D正确.故选：ABD.12．【正确答案】/【详解】解：在这五个数中，任取两个不同的数记作是（1,2）、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(3,1)、(4,1)、(5,1)、……(4,5)、(5,4)共有20种情况，函数有两个不同零点，即方程有两个不相等实数根，即，满足有（5,4）、（5,3）、（5,2）、（5,1）、（4,3）、（4.2）、（4,1）（3,2）、（3，1）共9种；所以所求概率.故13．【正确答案】【详解】设，则，由题意可知三棱柱是正三棱柱，如图所示，为正的中心，为外接球的球心，则该三棱柱的体积.因为是等边三角形，且，，所以外接圆的半径.设三棱柱外接球的半径为，有，，，由平面，则，即，从而，故该三棱柱外接球的体积.由几何概型可知所求概率.故14．【正确答案】①④【详解】如图所示：

由于垂直于平面，在平面内，所以.而，所以有平行四边形，从而四边形是矩形.对于①，由于四面体的体积，同时，所以，这表明矩形的面积为，从而三角形的面积.设点C到平面的距离为，则有，从而，①正确；对于②，由于，，在平面内，所以与平面所成角的正弦值为，②错误；对于③，记长方体的中心为，则到长方体的每个顶点的距离都是体对角线长的一半，即.故以为球心，半径为的球同时经过堑堵的每个顶点，故是堑堵的外接球，从而堑堵的外接球表面积，③错误；对于④，假设堑堵有内切球，设该内切球的球心为，半径为，则在堑堵内部，且到堑堵的每个面的距离都是.所以堑堵的体积等于四棱锥、四棱锥、三棱锥和三棱锥、四棱锥的体积之和，记矩形、矩形、三角形和三角形、矩形的面积分别为，则，，，，.同时，堑堵是对长方体一分为二得到的，故堑堵的体积是长方体的一半，从而堑堵的体积，这就说明：.但是到平面和平面的距离相等，且平面和平面是长方体的一组对面，故它们平行，且距离为.所以到平面和平面的距离都等于平面和平面距离的一半，从而.这就导致了矛盾，所以堑堵不存在内切球，④正确.故①④.15．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析.【详解】【分析】（1）通过证线面垂直，证明AC⊥EO，通过计算证明EO⊥OF，然后得到EO⊥平面AFC（2）若CR∥平面ABF，又CD∥平面ABF则平面CDF∥平面ABF，得出矛盾【详解】证明：（1）连结FO，设AB=BF=2DE=2a，则DO=OB=a，所以EO=a，FO=a，EF=3a。在ΔEOF中，由EO2+FO2=EF2，知EO⊥OF…………（3分）又DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，而BD⊥AC，所以AC⊥平面DOE，故AC⊥EO…………（5分）由AC平面AFC，FO面AFC，AC∩FO=O，所以EO⊥平面AFC…………（7分）（2）找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF

…………（9分）假设存在这样的点R，使得CR∥平面ABF，因为点R与点D不重合，所以CD与CR相交，又CD∥平面ABF，CR∥平面ABF，CD平面ABF，CR∥平面ABF，所以平面CDF∥平面ABF

…………（12分）而平面ABF与平面CDF有公共点F，所以平面ABF与平面CDF必定相交矛盾，所以，找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF

…………（14分）16．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）因为是R上奇函数，所以，即此时，因为成立，所以（2）因是奇函数，从而不等式：等价于因为减函数，由上式推得.即对一切有：从而判别式17．【正确答案】(1)证明见解析(2)5【详解】（1）在四棱台中,延长后必交于一点，故共面，因为平面,平面,故,连接，因为底面四边形为菱形，故,平面,故平面,因为平面,所以；（2）过点A作的垂线作为x轴，交与N点，以分别为y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,设，则，由于，故,则,设，则，，，记平面的法向量为,则,即，令，则，即，平面的法向量可取为，由于平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，解得，当M与N点重合时，平面垂直于平面，由于平面与平面所成角为锐二面角，故，所以,故.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）的中点为中点，，又，可得，又直圆柱的上、下底面圆心分别为平面平面.且平面平面；又因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过作轴//，建立如图所示空间直角坐标系.则，所以，设，；设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，，令，则时，，.

19．【正确答案】(1)，，(2)证明见解析(3)的最大值为17，的最小值为16.【详解】（1）数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为，因为，，所以，，.（2）假设，设，则，即，因为，所以，同理，设，可以