2024-2025学年福建省福州市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年福建省福州市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．经过点，倾斜角是的直线方程是（

）A． B．C． D．2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（

）A．1 B．2 C． D．44．如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．6．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（

）A． B．C． D．7．若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆，则下列说法正确的是（

）A．当时，圆与圆有2条公切线B．当时，是圆与圆的一条公切线C．当时，圆与圆相交D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为10．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（

）A．，使B．线段存在最小值，最小值为C．直线与平面所成的角恒为45°D．，都存在过且与平面平行的平面11．平面直角坐标系中，若点，点，则称为点到点的“曼哈顿距离”.已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（

）A．若点的横坐标为，则B．的最大值是C．的最小值是2D．的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为.13．在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则．14．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程.(1)直线与直线平行；(2)直线在两坐标轴上的截距相等.16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面.求：(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)点A到平面的距离.17．已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标.18．如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆.（1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标.（2）过点作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由.（3）设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为.已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围.

答案1．【正确答案】B【详解】因为所求直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，又因为所求直线经过点，可得直线的方程为.故选：B.2．【正确答案】A【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A3．【正确答案】B【详解】由，则圆的标准方程为，如下图：图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点，易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，.故选：B.4．【正确答案】C【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可.【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.如图所示，取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道.则为直线与所成角或补角.连接，.根据正方体性质，知道．在中，由余弦定理，,则直线与所成角的余弦值为.故选C．5．【正确答案】C【详解】由得：，点的轨迹是以2,1为圆心，为半径的圆，的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，

当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切；设过点的圆的切线为，即，圆心到切线的距离，解得：，，则的最大值为.故选：C.6．【正确答案】C【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，故.由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选：C.7．【正确答案】A【详解】解：曲线即为，表示以2,3为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示：由圆心到直线的距离等于半径，得，解得或，当直线过点0,3时，，因为直线与曲线有公共点，所以实数的取值范围是，故选：A8．【正确答案】D【详解】不妨设，，，则，．又，所以，化简得，显然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的离心率为．故选：D9．【正确答案】BD【详解】由可知圆心为，半径为1；由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为；对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误；对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切，所以是圆与圆的一条公切线，即B正确；对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误；对于D，当时，，此时两圆相交，圆的一般方程为，与圆的方程相减可得，化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确.故选：BD10．【正确答案】AD【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.设，则，其中，由题设可得，，对于A，当即时，，故A正确；对于B，，故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误；对于C，由B的分析可得，而平面的法向量为且，故，此值不是常数，故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；对于D，由B的分析可得，故为共面向量，而平面，故平面，故D正确；故选：AD11．【正确答案】ABD【详解】对于A，把代入中，可得，则，故A正确；对于B，设，则，于是，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故B正确；对于C，设点，则，当时，等号成立，即的最小值是，故C错误；对于D，设点，，，则，其中，故只需当时，取得最小值为，此时，故D正确.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】圆圆心坐标为O0,0，圆化成标准方程为，圆心坐标为，两圆公共弦的垂直平分线恰为过两圆圆心的直线，由，则直线的方程为，即.故答案为.13．【正确答案】3【详解】，，则，，所以，故314．【正确答案】【分析】将点到直线、的距离转化为和，可得，结合椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系得椭圆的标准方程，根据椭圆方程和平面向量数量积坐标表示可求出结果.【详解】因为，所以，在正方体中，平面，平面，

因为平面，所以，，所以，且，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，这里，，所以，，，以的中点为原点，为轴，的中垂线为轴建立平面直线坐标系，

所以点的轨迹方程为，设，因为，，则，，所以，因为，，.故15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）由已知直线与直线平行，则设直线，又直线过点，即，解得，则直线方程为，即；（2）当直线不过坐标原点时，设直线方程为，则，解得，即直线方程为，即；当直线过坐标原点时，直线方程为，即，综上所述直线方程为或.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面的法向量，则，令，则，，所以，取平面法向量为，所以，故面与面夹角的余弦值为；（2）因为，平面法向量为，所以点到平面的距离.17．【正确答案】(1)(2)；【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案；（2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案.【详解】（1）由与，则直线的斜率，其中点坐标为，所以的对称轴为直线，易知圆心在直线上，联立，解得，则，半径，所以圆的标准方程为.（2）根据题意，作图如下：由图可知：四边形的面积为，且，，在中，，因为，所以当最小时，最小，当时，最小，此时最小，此时，，，所以四边形面积的最小值为，由直线，则其斜率，直线的斜率，则直线的方程为，整理可得，联立，解得，则.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)或．理由见解析．【详解】（1）由题意，，平面，所以平面，又因为图1中，分别是中点，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由题意，所以是二面角的平面角，二面角的大小为.则，又由已知，所以等边三角形，取中点，连接，则，由（1）知平面，而平面，所以，，平面，所以平面，以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，,，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设，，，与平面所成角的正弦值为，则，解得或．所以的值为或．19．【正确答案】（1）和；（2）直径与直径共轭，理由见解析；（3）或.【分析】（1）设所求直线方程为：依题意可得，即可得到直线方程，再联立直线与椭圆方程求出交点坐标即可；（2）设：，､，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，再利用基本不等式求出面积最大值，即可求出参数的值，即可判断；（3）设点，，设：，则：，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，从而得到点坐标，再由在椭圆内部，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：（1）由题设知，设所求直线方程为：，则，则.故共轭直径所在直线方程为.联立椭圆与，即可得：，.故端点坐标为和.（2）由题设知，不与轴重合，故设：，､联立方程：，则，，，.当且仅当，即时取等号，此时，故直径与直径共轭.（3）设点，，当不与坐标轴重合时，设：，则.联立.同理可得：，.由椭圆的对称性，不妨设在第一