专题31 最值模型之将军饮马模型解读与提分精练（全国）（解析版）

专题31最值模型之将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6模型3.将军饮马模型（多线段和的最值） 9 15模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：图（1）图（2）模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关键．取的中点H连接，，，，证明出F点就是与的交点，四边形是平行四边形，四边形是正方形，利用将军饮马模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可．【详解】取的中点H连接，，，，，四边形是平行四边形，，且点为的中点，∴，与的交点就是的中点F，连接，，，四边形是平行四边形，，四边形是正方形，A，C关于BH对称，连接，，则，，即的最小值为的长，在中，，，由勾股定理，得，故答案为：．例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为．【答案】【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为，∵，，在中，∴，，∴，，∵，∴，故答案为：【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．例3．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可知，证明四边形为平行四边形，为最小值，再求出菱形的边，即为的最小值．【详解】解：如图，连接，交于，∵菱形，∴，，，，∵∴，∴，∴，∴，，作点关于直线的对称点，连接，∴，∵点为边上的中点，则点也为边的中点，∴当点、、在一条直线上时，有最小值，连接交于，∴当重合时，为最小值，∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴的最小值是，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键．例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为．

【答案】2【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称求最短路径的方法是解题的关键．根据题意可求出，作点关于的对称点，可得最小，则扇形周长最小，由此即可求解．【详解】解：∵平分，，∴，设扇形的半径，∴的长为：，阴影部分的周长最小为，如图所示，作点关于的对称点，连接与交于点，此时，的值最小，即阴影部分的周长最小，

∴，∴，即，解得，，故答案为：．模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。模型（1）：点A、B在直线m同侧：模型（2）：点A、B在直线m异侧：图（1）图（2）模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．【答案】6【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，∵为等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵点A与A′关于CD对称，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为．【答案】【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可．【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形在和中连接当共线时，最大，图中处作于．即的最大值为．例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为．

【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，由正方形的性质求出的长，继而可得，，再证明，可得，，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案．【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，

根据轴对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“”，∵在正方形中，，，∴，∵O为中点，∴，∵N为中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：2．模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）模型（1）：两定点+两动点条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）图1-1图1-1图1-1图2模型（2）：一定点+两动点条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。图1-1图1-1图1-1图2模型（1-1）（两点都在直线外侧型）如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。模型（1-2）（直线内外侧各一点型）如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。模型（1-3）（两点都在直线内侧型）如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解．【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，∵，，∴，．∵，D是的中点，∴是的中位线，∴，，∵，∴，∴，即，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．例3．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为．（2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值．（3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）

【答案】（1）；（2）的最小值为；（3）的长为500米，的长为1000米【分析】（1）过B作于P，由垂线段最短可知，时，的值最小，由面积法即可求解；（2）作E关于直线的对称点，连接交于P，由E，关于直线对称，可知，当B，P，共线时，此时最小，最小值为的长度，根据，点E是的中点，可得，再用勾股定理可得答案；（3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，由C，N关于对称，C，M关于对称，，当N，E，F，M共线，最小，根据，，可得，即得米，米，米，由，知是等边三角形，从而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米．【详解】解：（1）过B作于P，如图：

由垂线段最短可知，时，∵，∴，∵，∴；故答案为：；（2）作E关于直线的对称点，连接交于P，如图：∵E，关于直线对称，∴，∴，当B，P，共线时，最小，最小值为的长度，∵，∴，∵点E是的中点，∴，∵E，关于直线对称，∴，∴，在中，，∴的最小值为；（3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，如图：∵由C，N关于对称，C，M关于对称，∴，∴，当N，E，F，M共线时，此时最小；∵，∴，∵C，M关于对称，∴，∴，∴米，由勾股定理得米，∴米，∵，∴是等边三角形，∴米，∴米，∵，∴，∵C，N关于对称，∴C，B，N共线，，∴米，由勾股定理得米，∴米，∴，∵，∴，∴，在中，（米），在中，（米），∴（米），答：的长为500米，的长为1000米．【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题．1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】先根据得，进而可得，由此可得E点的运动轨迹在是以为直径的圆上．延长至使，得与F关于直线对称．连接交于P点，交圆O于E点，则，此时的值最小，根据勾股定理求出的长，即可得的最小值．【详解】∵是正方形，，，又，，，又，，，∴E点在以为直径的圆上运动．设的中点为O，则，延长至使，则与F关于直线对称，连接交于P点，交圆O于E点，则，，此时P、E、F三点共线，因此的值最小．在中，，，，，∴的最小值为，故选：B．【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键．2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】过点G作于H，则可证明，得；取中点O，则，则点G在直线上运动，连接，则，，当三点共线时最小，从而最小，由勾股定理即可求得最小值．【详解】解：如图，过点G作于H，则，；四边形是矩形，，，，；，，；取中点O，连接，则，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，则点G在直线上运动；连接，则垂直平分，，，当三点共线时最小，从而最小，，则由勾股定理，即的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，确定点G运动的路径是解题的关键．3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，点，∴，，∴∴△CDB是等边三角形∴∵点是的中点，∴,且BE⊥CD，∴故选：A．【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为．【详解】解：四边形是矩形，，，点M，N分别是的中点，，，，，，，，又，四边形是平行四边形，，，如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，则，

当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，在中，，，，的最小值，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（

）

A．的最小值为 B．的最小值为C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为【答案】A【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，延长，依题意∴是等边三角形，

∵是的中点，∴，∵，∴∴，∴∴，∴四边形是平行四边形，则为的中点，如图所示，设的中点分别为，则∴当点在上运动时，在上运动，当点与重合时，即，则三点共线，取得最小值，此时，则，∴到的距离相等，则，此时此时和的边长都为2，则最小，∴，∴∴，或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时故A选项错误，根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；周长等于，即当最小时，周长最小，如图所示，作平行四边形，连接，∵，则如图，延长,，交于点，则，∴是等边三角形，∴，在与中，∴∴∴∴∴，则，∴是直角三角形，

在中，∴当时，最短，∵∴周长的最小值为，故C选项正确；∵∴四边形面积等于∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为．

【答案】【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接交于一点F，连接，∵四边形是正方形，∴点A与点C关于对称，∴，∴，此时最小，∵正方形的边长为4，∴，∵点E在上，且，∴，即的最小值为故答案为：．

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为．【答案】/【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可．【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，

，的最小值为，周长的最小值为，作于，于，，，点是矩形的对称中心，经过点，∵，，，，，，，，周长的最小值为．8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形中，，，，连接、交于点，点为上一动点，连接，点为的中点，连接、，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题，找到对称点转化线段是解题关键．过点作的平行线分别交、于点、，由点为上一动点，点为线段的中点可得到点在线段上运动，为的中位线，求证，用等腰三角形“三线合一”证明，所以，即点与点关于对称，所以，同时证明是等边三角形，，即的最小值为．【详解】解：过点作分别交、于点、，∵点为上一动点，点为线段的中点∴点在线段上运动，且为的中位线，∵在和中，∴，∴，∴，，∴，是等边三角形，∴点与点关于对称，∴，又∵∴的最小值为．9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为．【答案】【分析】如图，连接，由题意知，，由，得，，证明，则，是等腰直角三角形，由是中点，则，，，如图，过作于，过作于，由，可知四点共圆，由，可得，进而可得在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，且，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，，计算求解的值即可．【详解】解：如图，连接，由题意知，，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵是中点，∴，∴，，如图，过作于，过作于，∴，∵，∴四点共圆，∵，∴，∴在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，∴，∴三点共线时，值最小，∵，在中，由勾股定理得，，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹．10．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，中，，，，I为的内心，若M、N分别是斜边和直角边上的动点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查了最短路径问题，三角形的内切圆和内心，相似三角形的判定和性质．解答本题的的关键在于准确找到点与线段的长，找到数量关系．作，，使，，由轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，再根据三角形的内心性质得，推出四边形为正方形，再根据三角形全等，得到，求出和的长，再根据相似三角形的性质求得，进一步可求得．【详解】解：分别作，，垂足分别为点D、E、F，使，交于点M，交于点G，∵，，∴，∴，当、M、N三点共线且垂直于时，最短．∵I为的内心，，，∴，设，又∵，∴四边形是正方形，∴，∵中，，，∴，∴，在和中，∴（），∴，同理，∵，∴，解得，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∴，，即，，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．11．（2024·海南·三模）如图，矩形中，，，、分别是直线、上的两个动点，，沿翻折形成，连接、，则，的最小值是.

【答案】14【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、轴对称的最短路线问题，作点关于的对称点，连接，．由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，．

在中，，，，，，是定值，当、、、共线时，定值最小，最小值，的最小值为4，故答案为：1，4．12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为．【答案】6【分析】连接，先证明是等腰三角形，点Q是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，∵，∴，，∵，∴，∴，是等腰三角形，点Q是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点B关于直线的对称点为点，∴，的长为的最小值，∴的最小值．故答案为：6．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，垂线段最短，平行四边形的性质，等腰三我的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．13．（2024·山东淄博·一模）如图，线段与相交于点E，保持，已知，，则的最小值是．【答案】【分析】过点作，过点作交于，过点作于，连接，则四边形为平行四边形，从而得，，，在中分别求出，，则，由此可求出，然后根据可得出的最小值．此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确地作出辅助线构造平行四边形和直角三角形，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．【详解】解：过点作，过点作交于，过点作于，连接，如下图所示：，，，四边形为平行四边形，，，又，，在中，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，，，根据“两点之间线段最短”得：，即，的最小值为，的最小值是．故答案为：．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

【答案】/【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．【详解】解：∵为高上的动点．∴∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，∴∴∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则在中，，则，则当三点共线时，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．15．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线上的一个动点，当时，的最小值为.

【答案】【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，此时有最小值，连接、、、，根据圆的性质和轴对称的性质，得出，，再利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值．【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，此时有最小值，连接、、、，点A是半圆上的三等分点，，B是弧的中点，，由轴对称的性质可知，，，，，，，由勾股定理得：，，故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的性质，轴对称的性质求最小值，勾股定理等知识，解题关键是利用轴对称的性质作辅助线将所求线段转化．16．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是___________．

【答案】【分析】取的中点，连接，，过点作于H点．解直角三角形求出，根据可得结论．【详解】解：取的中点，连接，，过点作于H点．

∵四边形是菱形，，，∴，，∵点E为的中点，点为的中点，∴，，∵四边形是菱形，，且，，∴点E与点关于对称，∴，∵，，∴，，∴，∴在中，，∵，当且仅当F、G、三点共线时取等号，∴，∴的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______．【答案】5【分析】过点P作于H．过点P作直线，作点C关于直线l的对称点，连接交直线l于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长．【详解】解：如图，过点作于．，，，过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于．，四边形是矩形，，，，，，的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，涉及到的知识点三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．18．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________；【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值；【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值为米．【分析】（1）根据中点的定义求出，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据线段和差即可得到答案；（2）先求出，则当最小时，的周长最小．连接交AC于点，证明，则，即可得到，则当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．过点E作交的延长线于点H，进一步求出，得到的最小值为．即可得到答案；（3）过点P作于点H，得到米．在上取点N，使得米，连接．得到四边形为平行四边形，进一步得到．作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，则垂直平分，，即，则当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为，进一步求出米，即可得到答案．【详解】解：（1）∵，点E为的中点，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，故答案为：11（2）菱形的边长为8，点E为的中点，，当最小时，的周长最小．连接交AC于点，如图2．四边形为菱形，，．在和中，，，，，，，当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．过点E作交的延长线于点H，如图2．四边形为菱形，，．，，，，，即的最小值为．∴周长的最小值为．（3）过点P作于点H，如图3．，于点H，∴．点P为的中点，即，点H为的中点，即米．在上取点N，使得米，连接．，四边形为平行四边形，，．作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，如图3．则垂直平分，，即，当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为的长．，过点作交的延长线于点M，如图3．∴∴．∴，∴米，∴米．点P、H分别为的中点，为的中位线，米，米，米，米，即的值存在最小值，最小值为米．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、解直角三角形、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．19．（23-24九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．(2)实践运用如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．(3)拓展迁移如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．【答案】(1)(2)的最小值为(3)①；②点M的坐标为；周长的最小值为【分析】（1）过点A作于点M，作于点N，求出，，，证明四边形为平行四边形，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案；（2）取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，证明，根据，利用勾股定理求出即可；（3）①先利用对称性求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式即可；②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，根据勾股定理求出周长的最小值为；求出直线的解析式为，把代入求出点M的坐标即可．【详解】（1）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示：

则，∵四边形为等腰梯形，∴，，∴，，∴，，，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．（2）解：取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，如图所示：

∵A关于的对称点，为直径，∴点在上，∵，∴，∵点A关于的对称点，∴，∵点是弧的中点，∴，∴，∴，∵直径，∴，∴，即的最小值为．（3）解：①∵抛物线的对称轴为，且抛物线经过，∴抛物线与x轴的另外一个交点B的坐标为：，∴抛物线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：．②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，如图所示：

∵点A、B关于直线对称，∴，∴，∵两点之间线段最短，∴最小，即最小，∵为定值，∴此时的周长最小，∵，，∴周长的最小值为；设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，把代入得：，∴点M的坐标为．【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，二次函数的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，求出二次函数解析式，求一次函数解析，解题的关键是理解题意，数形结合，作出相应的辅助线．20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；(2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小