第十九章-塑性应力-应变关系本构方程

第十九章塑性应力—应变关系本构方程塑性变形过程中应力与应变之间的函数关系称为本构方程，也叫做物理方程。塑性本构方程从本质上反映了物体发生塑性变形时的特征，这一方程和屈服准则都是求解塑性成形问题的基本方程。第一节弹性应力一应变关系在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即对于一般应力状态下各向同性材料的应力与应变间的关系，则由广义虎克定律表达，即式中，E为弹性模量；为泊松比；G为切变模量。三个弹性常数E，G间有以下关系若将式（19-1）中的三项相加整理后可得式(19—3)表明，物体弹性变形时其体积变化率与平均应力成正比，这说明应力球张量使物体产生弹性的体积改变。若将式(19—1)中的前三式分别减去式(19-3)，例如式(19—6)表示应变偏张量与应力偏张量成正比，即表明物体形状的改变只是出应力偏张量引起。由式(19—3)和式(19—5)，广义虎克定律可写成张量形式根据式(19—5)可推导出复杂应力状态下应力强度与弹性应变强度之间的关系。因等效应力为根据式（19-5）可得将上式代入等效应力公式，得式(19—14)表明，在弹性变形范围内，应力强度与弹性应变强度成正比，比例系数仍为E。可对应相同的应变状态。同理，只要通过后继屈服轨迹CD里面的任一加载路线(如OACJF)到达F点，情况也是如此。以上例子充分说明塑性变形时应力与应变之间的关系不是单值关系，而与加载路线(加载历史)有关。因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的普遍关系是不可能的。塑性变形时应力与应变关系的特点可总结如下：(1)应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。(2)塑性变形时可以认为体积不变，即有(3)对于等向强化的应变硬化材料，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高。(4)塑性变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力一应变关系不再保持单值关系。第三节塑性变形的增量理论(流动理论)增量理论又称为流动理论，是描述物体处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论，它是通过加载过程中的每一变形瞬间的应力状态来确定该瞬间的应变增量。对于弹塑性材料，在塑性变形过程中必有弹性变形同时发生，因此可将物体的总变形分解为可恢复的弹性变形和不可恢复的塑性变形两部分。在任一微小的塑性变形过程元中，应变增量张量与应变速率张量可分解如下上式中，e为弹性变形的标记，p为塑性变形的标记。可以用矢量来表示，而在主应变增量空间，一点的应变增量张量也可以用矢量来表示。现在，将主应力坐标系和主应变增量坐标系重合，称为主应力一应变复合势流动理论，且将屈服函数f称为塑性位势。于是，采用不同的屈服函数，由式（19-15）就得到不同的塑性本构方程。四、Levy-Mises本构方程于是，由塑性势流动理论可得由上式可有式（19-16）及式（19-17）称为增量形式的Levy-Mises本构方程。性变形的增量形式的Mises本构方程，而式（19-18）与式（19-19）是刚塑性变形的速率形式的Mises本构方程，且可以省出标记“p”。五、Prantle-Reuss本构方程于是，由式（19-16）可得上式称为弹塑性变形的Prantle-Reuss本构方程。注意，式(19—21)是一个非线件方程组．使用起来很不方便。在非线件有限元分析中，已将该式推演为一个能够应用的公式，称之为山田公式。有关上述塑性本构方程的试验验证，本教材由于篇幅有限不予介绍，有兴趣的读者可参阅有关文献。第四节塑性变形的全量理论(形变理论)塑性变形的全量理论产生的背景是简单加载。在简单加载时，各应力分量按同一比例增加，应力主轴的方向将固定个变，故简单加载也称为比例加载。由于应变增量的主轴是和应力主轴重合的，所以应变增量的主轴也将始终不变。于是，可以对增量形式的Mises或Reuss本构方程进行积分，得到全量应变和应力之间的关系，这就是塑性变形的全量理论。简单加载的数学表达式为第五节最大塑性功原理图19-6∏平面上的塑性功上式是最大塑性功原理的点形式。由于因此由式（19-25）得上式是最大塑性功原理的整体形式。上式表明，对于真实的塑性应变增量场，真实的应力场所做的塑性功，相对于虚拟的或可能的应力场而言，