压轴题秘籍06 规律探索 带解析

规律探索规律探索问题在中考中常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，规律性较强，重点考查数式、坐标和图形的规律探索问题，涉及整式的计算、一次函数、反比例函数、二次函数、圆、特殊三角形、勾股定理、图形变换等相关知识，以及类比、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①探究数式规律问题；②证明数式成立问题；③探究图形周长、面积问题；④利用函数求坐标问题等.右图为规律探索问题中各题型的考查热度.题型1：数式的规律探索解题模板：类型一：周期型1.观察下列算式：，，，，，，，……观察后，用你所发现的规律写出的末位数字是______．【答案】4【分析】通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此规律算出第2022个算式的个位数字即可．【详解】解：通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，∵，∴第2022个算式末尾数字和第2个算式的末尾数字一样为4，的末位数字是4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳数字的变化规律是解题的关键．【变式1-1】如图是一个电子青蛙游戏盘，已知．电子青蛙在边上的处，第一步跳到处，使，第二步跳到处，使，第三步跳到处，使，……，按上述的规则跳下去，第2023步落点为，则与之间的距离为_____________．【答案】0【分析】根据上述规则，显然6次完成一个循环．因为，则与重合，于是得到结论．【详解】解：第一步跳到处，使，第二步跳到处，使，第三步跳到处，使，第四步跳到处，，第五步跳到处，，第六步跳到处，，与重合，∴6次一循环，则，则与重合．∴与之间的距离为0，故答案为：0．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中各点的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式1-2】将从1开始的自然数，按如图的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…次弯，则第101次拐弯处的那个数是___________．【答案】2602【分析】拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、，据此规律作答即可得．【详解】解：拐弯处的数与其序数的关系如下表：拐弯的序数01234567拐弯处的数12357101317由此可知，拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、，因为，所以第101次拐弯处的那个数是，故答案为：2602．【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确找出数字之间的排列规律是解题关键．类型二：递推型2.按一定规律排列的式子：，……第n个式子是___________．【答案】【分析】根据所给式子找出各部分的规律解答即可．【详解】解：，…，分子可表示为：．，…，分母可表示为：，则第n个式子为：．故答案是：．【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意分别观察各部分的符号规律．【变式2-1】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……根据以上规律解答以下问题：(1)写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔(2)由分式性质可知：，试求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）类比给出的4个等式，写出第5个等式即可，进而得出第n个等式；（2）利用得到的规律将原式变形，再计算即可．【详解】（1）解：；；（2）解：原式．【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．【变式2-2】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________；(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想．【详解】（1）解：第5个等式是；故答案为：．（2）解：猜想：第个等式：；证明：∵左边右边．【点睛】本题考查数字的变化、列代数式，整式的运算，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想和证明是解答本题的关键．类型三：固定累加型3.观察下列由连续的正整数组成的等式：第1层第2层第3层第4层……则第7层等号右侧的第一个数是___________．则第层等号右侧的第一个数是__________．【答案】

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【分析】不难看出每一层等式左边第1个数为，等式右边的第1个数为等式左边第1个数加上层数再加1，据此可求解．【详解】解：∵第1层1＋2＝3第2层4＋5＋6＝7＋8第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24……∴第7层等号右侧的第一个数是：＋7＋1＝57，第n层等号右侧的第一个数是：．故答案为：57，．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．【变式3-1】观查下列等式，探究其中的规律并回答问题：，，，，…（1）第4个等式中正整数k的值是________；（2）根据已知等式可归纳出第n个等式为__________________（n是正整数）．【答案】

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【分析】（1）第个等式中正整数为，其中；第个等式中正整数为，其中；第个等式中正整数为，其中；故得出第个等式中正整数；（2）观查等式左侧，等式个数每增加，等式中就会增加这个等式个数的倍；故可归纳出第个等式．【详解】解（1）第个等式中正整数为，其中；第个等式中正整数为，其中；第个等式中正整数为，其中；第个等式中正整数；故答案为：．（2）第个等式左侧为；第个等式左侧为；第个等式左侧为；第个等式左侧为；第个等式左侧可归纳为；由（1）中知第个等式右侧为第个等式可归纳为的形式故答案为：．【点睛】本题考查用归纳法推导规律．解题的关键与难点在于将等式的个数与数值建立联系．【变式3-2】若干个有规律的数，排列如下：试探究：(1)第2012个数在第几行？这个数是多少？（每行的数都是从左往右数）(2)写出第n行第k个数的代数式；（用含n，k的式子表示）(3)求第2012个数所在行的所有数之和S．【答案】(1)第63行，这个数为358；(2)（﹣1）n+13k﹣1；(3)．【分析】每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3n﹣1，偶数行的数字都是（﹣3）n﹣1，统一为（﹣1）n+13n﹣1；（1）设第2012个数在第n行，则1+2+3+…+n＝，估算得出答案即可；（2）有以上分析直接写出即可；（3）写出第2012个数所在行的所有数，进一步求和即可．(1)解：∵每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3n﹣1，偶数行的数字都是（﹣3）n﹣1，设行数为n，数字个数为，=1+2+3+…+n＝，当n=62时，＝1953；当n=63时，＝2016；∴＝1953＜2012＜＝2016，所以第2012个数在第63行，从左往右数第2012﹣1953＝59个，这个数为358；(2)解：由以上分析可直接写出为（﹣1）n+13k﹣1；(3)解：∵S＝1+3+32+…+362①∴3S＝3+32+…+362+363②由②﹣①得2S＝363﹣1∴S＝1+3+32+…+362＝．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题．类型四：渐变累加型4.如图，有一个起点为的数轴，现有同学将它弯折，虚线上从下往上第一个数为，第二个数为，第三个数为，，则第十个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图形中数字变化（增加）情况，发现后一个数总是在前一个数的基础上加上一个数，探索加数规律即可．【详解】解：第一个数是，第二个数是，第三个数是，第四个数是，第五个数是，方法一：规律探索，第个数是当时，代入上式得：方法二：第个数是，故选：A．【点睛】本题考查探索数字规律技能技巧，耐心统计数据，认真分析数据变化从中找出规律最为关键．【变式4-1】按一定规律排列的等式：……，按此规律（）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过观察可以看出：规律为一个等式，等号左边为连续奇数的和，且奇数的个数、最后一个奇数都与等式的序数有关，即：第个等式左边有个奇数，最后一个奇数为；等号的右边为序数的平方，即：．【详解】解：规律为：则中，解得：则等号右边为：故选C【点睛】本题主要考查了观察、归纳概括总结的能力，归纳出规律是解题的关键．【变式4-2】请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．，，，，……（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．（2）①计算：．②若a为最小的正整数，，求：．【答案】（1），；（2）①；②【分析】（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；（2）①根据运算规律可得结果．②利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．【详解】（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；（2）①，，，；②为最小的正整数，，，，原式，，，，．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．题型2坐标的规律探索解题模板：类型一：周期型5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知正六边形循环了８次，由可知和的坐标相同，即可求出结果．【详解】解：由题意可知：正六边形绕点O顺时针旋转一圈，旋转了8个，∵当时，，的坐标与的坐标相同，如图所示：过点于点H，过点D作轴于点F，，，，∴在中，，，∴在中，，，，，又，在中，，，，又∵点在第三象限，∴点的坐标为，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，坐标与图形的变化，解直角三角形，学会探究规律的方法，确定和是解决问题的关键．【变式5-1】如图所示，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是______．【答案】【分析】先求出，，，，，找到规律求解．【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环．，，，，，，，，，，，，，，，，，当时，即，解得，横坐标为，纵坐标为，则的坐标，故答案为：．【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为______．【答案】【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵余2，∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．类型二：递推型6.正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点（1，1），（3，2），则的坐标是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】根据（1，1），（3，2），（7，4），……，的横坐标为，的纵坐标为，再求解即可．【详解】解：，即，，，即，，，，，，，，即，的横坐标为，的纵坐标为，的坐标是，故选：C．【点睛】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，探索出正方形边长与点坐标的关系是解题的关键．【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中方向排列，如，，，，，...根据这个规律，第2021个点的坐标__．【答案】【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，求出与2021最接近的平方数为2025，然后写出2021的坐标即可．【详解】解：根据图形，以最外围的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，；右下角点的横坐标为2时，共有4个，；右下角的点的横坐标为3时，共有9个，；右下角的点的横坐标为4时，共有16个，；⋯⋯；右下角的点的横坐标为n时，共有个，，45是奇数，∴第2025个点的坐标为，∴第2021个点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了点的坐标的规律变化，从正方形的观点考虑更简便，注意正方形的右边的点的横坐标是奇数还是偶数是解题的关键．【变式6-2】已知：如图，，，，，(1)继续填写：，，，，，(2)试写出点，【答案】(1)；；；；；(2)；【分析】（1）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点即可求解；（2）找到点的横纵坐标符号的规律即可求解．【详解】（1）解：根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点知，，，．，．故答案为：；；；；；；（2）解：根据（1）可得：在第一象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加1，在第二象限的点的横坐标依次加，纵坐标依次加1；在第三象限的点的横坐标依次加，纵坐标依次加，在第四象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加，第一，二，三象限的点的横纵坐标的绝对值都相等，并且第四象限的横坐标等于相邻4的整数倍的各点除以4再加上1．点，，故答案为：；．【点睛】本题主要考查了通过图示及坐标系内各象限横纵坐标的特点判断坐标，还考查了寻找规律，难度适中．类型三：固定累加型7.如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…如图，∵（1，1）在直线y＝x+b上，∴b＝，∴y＝x+，设（，），（，），（，），…，（，），则有，，…，又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，∴，，…∴，，…，将点坐标依次代入直线解析式得到：，，，…，又∵，∴，，，…，故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．【变式7-1】在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出AB=BC=AD，再用三角形相似得出，找出规律，即可求出第2021个正方形的面积．【详解】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA=1，OD=2，BC=AB=AD=，∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，∴∠OAD+∠A1AB=90°，∠ADO+∠OAD=90°，∴∠A1AB=∠ADO，∵∠AOD=∠A1BA=90°，∴△AOD∽△A1BA，∴，∴，∴，∴，同理可得，，同理可得，，同理可得，，∴第2021个正方形的面积=．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于找到规律．【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……若点，，则点的坐标为________．【答案】【分析】由勾股定理可计算出AB的长，其周长为p=6，△AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；…；一般地，△AOB经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，B2n(6n，2)．从而根据规律可求得B2022的坐标．【详解】∵，∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：∴△AOB的周长为△AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；△AOB再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；…；一般地，经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，即B2n(6n，2)．∵2022是偶数∴B2022(6066，2)故答案为：【点睛】本题是平面直角坐标系中坐标规律探索问题，先由特殊情况出发，得出一般性规律，再回到特殊情况，体现了数学中的归纳思想，这是问题的关键．注意数形结合．类型四：渐变累加型8.如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（

）A．（2022，8）B．（63，5）C．（64，5）D．（64，4）【答案】C【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），最后按照规律可得第2022个点的坐标．【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个∴前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），∵=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序是由上而下，∴第2016个点的坐标为（63，0），第2017个点的坐标为（64，0），第2018个点的坐标为（64，1），第2019个点的坐标为（64，2），第2020个点的坐标为（64，3），第2021个点的坐标为（64，4），第2022个点的坐标为（64，5），故选：C．【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键．【变式8-1】如图所示，直线与y轴相交于点D，点A1在直线上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO=30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3…都是等腰三角形，且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．【详解】解：设直线与x轴相交于C点．令x=0，则y=；令y=0，则x=-1．∴OC=1，OD=．∵tan∠DCO=，∴∠DCO=30°．∵△OA1B1是正三角形，∴∠A1OB1=60°．∴∠CA1O=∠A1CO=30°，∴OA1=OC=1．∴第一个正三角形的高=1×sin60°=；同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2，高=2×sin60°=；第三个正三角形的边长=1+1+2=4，高=4×sin60°=2；第四个正三角形的边长=1+1+2+4=8，高=8×sin60°=4；…第n个正三角形的边长=2n-1，高=2n-2×．∴第n个正三角形顶点An的纵坐标是2n-2×．故选：D．【点睛】本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征．【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．【答案】【分析】设第n次跳动至点，根据部分点的坐标找出变化规律“，，，”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．【详解】解：设第n次跳动至点，由图知，、、、、、、、、…，∴可得：点的变化规律为，，，，∵2022=4×505+2，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律，根据部分点的坐标找到规律是解题关键，属于中考常考题型．题型3：图形的规律探索解题模板：类型一：周期型9.桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答．【详解】解：由图可知：3和4相对，2和5相对，1和6相对，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，骰子朝下一面的点数依次为5，4，2，3，且依次循环，∵2022÷4=505......2，∴滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是：4，故选：B．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，先找出正方体相对的面，然后从数字找规律是解题的关键．【变式9-1】如图是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2021个图案与第1～4个图案中相同的是第___个．（只填数字）【答案】1【分析】根据题目中的图案，可以发现图案的变化特点，从而可以得到2021个图案与第1～4个图案中相同的是第几个．【详解】解：由图可得，每四个图案为一个循环，∵2021÷4=505……1，∴第2021个图案与第1～4个图案中相同的是第1个，故答案为：1．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图案的变化特点，利用数形结合的思想解答．【变式9-2】如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上-2025的点是______．【答案】【分析】由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合．【详解】解：由图形可知，旋转一周，点对应的数是1，点对应的数为0，点对应的数为，点对应的数据为，点对应的数为，点对应的数为，在数轴上-2025到2的距离为，，对应的点应该为圆上的第6个点，即点故答案为：【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键．类型二：递推型10.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第n个图案有2023个三角形，则（

）A．670 B．672 C．673 D．674【答案】D【分析】由题意可知：第（1）个图案有个三角形，第（2）个图案有个三角形，第（3）个图案有个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形，进而得出方程解答即可．【详解】解：∵第（1）个图案有个三角形，第（2）个图案有个三角形，第（3）个图案有个三角形，…∴第n个图案有个三角形．根据题意可得：，解得：，故选：D．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．【变式10-1】用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为_____．【答案】【分析】先根据图案排列规律求出第n个图案的三角形的个数，再根据没有个三角形有三根火柴棒计算即可得解．【详解】解：第1个图案有1个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形，…，依此类推，第n个图案有：个三角形，∵，∴第n个图案所用的火柴棒的根数为．故答案为：．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，先求出第n个图案的三角形的个数是解题的关键．【变式10-2】观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有（用含n代数式表示）________个．【答案】【分析】分别数出第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，即可推出第n个大三角形中白色的三角形的个数．【详解】解：第1个图形的白色三角形个数为1，第2个图形的白色三角形个数为，第3个图形的白色三角形个数为，第4图形的白色三角形个数为，…，以此类推，第n个图形的白色三角形个数为，故答案为：．【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，解答此题要有以下步骤：①先数出白色三角形的个数；②探索出白色三角形的增长规律；③根据规律解题．本题运算量比较大，要仔细计算．类型三：固定累加型11.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为______．【答案】【分析】如图，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△A1CF≌△A1BE，则可证明每一个重叠部分的面积都是正方形面积的四分之一，进而可求解．【详解】解：如图，由正方形的性质得：A1C=A1B，∠A1CF=∠A1BE=45°，∠EA1F=∠BA1C=90°，∴∠CA1F+∠CA1E=∠BA1E+∠CA1E=90°，∴∠CA1F=∠BA1E，∴△A1CF≌△A1BE（ASA），∴,∴，同理，每两个正方形的重叠部分的面积都等于则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，故答案为：．【点睛】本题考查图形类变化规律探究，涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等，会添加辅助线构造全等求解一个阴影部分面积是解答的关键．【变式11-1】如图，从左至右，第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形，第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形，第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形，……即从第2个图案开始，每个图案比前一个图案多4个等边三角形和5个正方形，则第n个图案中等边三角形和正方形的个数之和为______个．【答案】（9n＋3）【分析】分别求出第n各图案中等边三角形与正方形的个数，再相加即可．【详解】解：∵第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形，第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形，第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形，……∴第n个图案中等边三角形的个数为：6+4(n-1)=4n+2，第n个图案中正方形的个数为：6+5(n-1)=5n+1，则其和为:4n+2+5n+1=9n+3，故答案为：(9n+3)．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析清楚存在的规律．【变式11-2】如图，是由一些小圆点组成的图形，第1个图形是由7个小圆点组成，第2个图形是由13个小圆点组成，第3个图形是由19个小圆点组成，…，按照这样的规律，由181个小圆点组成的是第_____个图形．【答案】【分析】首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．【详解】解：观察分析可得：第1个图形有7个小圆点，7＝6+1，第2个图形有13个小圆点，13＝6×2+1，第3个图形有19个小圆点，19＝6×3+1，…，第n个图形小圆点的个数为6n+1，所以6n+1＝181，解得：n＝30．故答案为：30【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．类型四：渐变累加型12.下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第100个图形中⊙的个数为（）A．298 B．302 C．304 D．305【答案】B【分析】将原图中基本图形划分为中间部分和两边部分，中间基本图形个数等于序数，两边基本图形的个数和等于序数加1的两倍，据此规律可得答案．【详解】解：∵第①个图形中基本图形的个数，第②个图形中基本图形的个数，第③个图形中基本图形的个数，第④个图形中基本图形的个数，⋯，∴第n个图形中基本图形的个数为，当时，，故选B．【点睛】本题考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，解决本题的关键在于将原图形划分得出基本图形的数字规律．【变式12-1】为庆祝国庆节，七年级小高同学用五角星按一定规律摆出如下图案，则第9个图案需五角星的颗数为______．【答案】28【分析】设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星，根据各图形中五角星颗数的变化，可找出变化规律“an=3n+1（n为正整数）”，再代入n=9即可得出结论．【详解】解：设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星．观察图形，可知：a1=3×1+1，a2=3×2+1，a3=3×3+1，…，∴an=3n+1，∴a9=3×9+1=28．故答案为：28．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中五角星颗数的变化，找出变化规律“an=3n+1（n为正整数）”是解题的关键．【变式12-2】如图，△A1B1C1的面积为a,分别延长△A1B1C1的三条边B1C1、C1A1、A1B1到点B2、C2、A2，使得C1B2=B1C1，A1C2=A1C1，B1A2=A1B1，得到△A2B2C2；再分别延长△A2B2C2的三条边B2C2、C2A2、A2B2到点B3、C3、A3，使得C2B3=B2C2，A2C3=A2C2，B2A3=A2B2，得到△A3B3C3；…．按照此规律作图得到△AnBnCn，则△AnBnCn的面积为【解答】解：连接A2C1．

∵A2B1=A1B1，

∴S△A2B1C1=S△A1C1B1=a,

∵B2C1=B1C1，

∴S△A2B2C1=S△A2B1C1=a,

∴S△A2B2B1=2a,

同法可证，S△A1A2C2=S△B2C1C2=2a,

∴S△A2B2C2=7a,S△A3B3C3=7S△A2B2C2=72•a,

•••，

S△AnBnCn=7n-1a,

故答案为：7n-1a.【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．1．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．那么点A2020的坐标是（

A．1010，0 B．1010，1 C．【答案】A【分析】根据图形写出A4、A8、A12…【详解】解：将A4、A8、A由图可知A42,0，A84,0即第1个点为A4，横坐标为2，纵坐标为0第2个点为A8，横坐标为4，纵坐标为0第3个点为A12，横坐标为6，纵坐标为0……以此类推，可知第n个点为A4n，横坐标为2n，纵坐标为0，即A∵当4n=2020时，n=505，2n=1010，∴A2020故选A．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系内点的规律变化，解题的关键是要仔细观察图像，得出点的变化规律．2．在-44，-43，-42，…，2021，2022这一串连续的整数中，前100个连续整数的和为（

）A．465 B．550 C．560 D．606【答案】B【分析】先确定前100个连续的整数，观察可知其中前89个整数正负相加之和正好等于零，然后把剩下的11个数相加，得出最后结果．【详解】解：这前100个连续整数是-44，-43，-42，…，-1，0，1，2，…54，55，则这些数字的和为-44+=-44+=45+46+⋯+55==550，故选：B．【点睛】本题考查有理数的加法，乘法运算，正确找出规律是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P1,0．点P第1次向上跳动1个单位至点P11,1，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2-1,1，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…A．506,1011 B．505,1011 C．-506,1011 D．-505,1011【答案】C【分析】设第n次跳动至点Pn，根据部分点Pn坐标的变化找出变化规律P4n(n+1，【详解】设第n次跳动至点Pn，观察发现P4n∵2022=505×4+2，∴P2022-505-1，故选：C．【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找到点的坐标变化规律．4．有一个数字游戏，第一步：取一个自然数n1=4，计算n1⋅3n1+1得a1，第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n2⋅3nA．7 B．52 C．154 D．310【答案】D【分析】通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．【详解】解：由题意知：n1n2n3n4=3+1=4，a由上可知，a1,a2,a3,⋅⋅⋅是按照52、154、310、∵2022÷3=674，∴a2022故选D．【点睛】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键．5．观察下列图形，图①中有7个空心点，图②中有11个空心点，图③中有15个空心点，…，按此规律排列下去，第50个图形中有（）个空心点．A．196 B．199 C．203 D．207【答案】C【分析】由第1个图形中空心点的个数为：7，第2个图形中空心点的个数为：11=7+4，第3个图形中空心点的个数为：15=7+4+4，…得出第【详解】解：∵第1个图形中空心点的个数为：7，第2个图形中空心点的个数为：11=第3个图形中空心点的个数为：15=…∴第n个图形中空心点的个数为：7+4（∴第50个图形中空心点的个数为：4×50+3=故选：C．【点睛】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是从特殊到一般寻找规律．6．一组按规律排列的多项式：a+b,a2-b3,aA．n B．2n-1 C．3n-1 D【答案】B【分析】根据第1个多项式为a+b，第2个多项式为a2-b3=a2-b2×2-1，第3个多项式为a3+b5=a3+b2×3-1，第4个多项式为a4-b7=a4-b2×4-1，第5个多项式为a5+b9【详解】解：第1个多项式为a+b=a+b第2个多项式为a第3个多项式为a第4个多项式为a第5个多项式为a⋯当n为奇数时，后一项为负，当n为偶数时，后一项的符号为正，由此得到第n个多项式为：a第n（n为正整数）个式子的次数是2n-1．故选：B【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．7．下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（

）A．38 B．52 C．68 D．86【答案】C【分析】由题意易知第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；…..，由此问题可求解．【详解】解：由题意知，第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；……；∴第⑦幅图小圆的个数为7×8+2×6=68（个）；故选C．【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找到图形规律即可．8．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第3个黄金三角形的周长（）A．k2 B．k3 C．k2【答案】C【分析】先根据题意可得△ABC∽△BCD，则△BCD的周长：△ABC的周长=BC：AB，即可得到△BCD的周长：△ABC的周长=k，求出△ABC的周长=AB+AC+BC=2+k，则△BCD的周长=k2+k【详解】解：∵△ABC和△BCD都是顶角为36°的等腰三角形，∴△ABC∽△BCD，∴△BCD的周长：△ABC的周长=BC：AB，∵AB=AC=1，BCAB∴BC=k，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2+k∴△BCD的周长：△ABC的周长=k，∴△BCD的周长=k2+k同理：△CDE的周长：△BCD的周长=k，∴△CDE的周长=k故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，找出各个三角形周长之间的关系，是本题的关键．9．用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需棋子___________枚．【答案】301【分析】认真观察给出的第一个图，第二个图，第三个图，试猜想第n个图，找到n与点数的关系，再按照这个规律求出第100个图所需棋子枚数．【详解】解：第一个图，点数4，第二个图，点数4+3，第三个图，点数4+6，猜想第四个图，点数4+9，第五个图，点数4+12，.....．第n个图，点数4+3(n-1)，∴第100个图形需棋子：4+3×(100-1)=301（枚)．故答案为：301．【点睛】本题考查了图形变化，解题的关键是读懂题意，能发现变化中的规律，利用规律解决问题．10．观察下列等式：第1个等式：x1=11×3第2个等式：x2=13×5第3个等式：x3=15×7第4个等式：x4=17×9则xl+x2+x3+…+x10=_______________．【答案】10【详解】因为x1=11×3=x2=13×5x3=15×7x4=17×9…所以xl+x2+x3+…+x10=12(1-13)+=12（1-=1=1021故答案为：10【点睛】考点：分式的计算．11．如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,2)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,1)，第4次接着运动到点(4,0)，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是________．【答案】（2022，0）【分析】根据题意可以发现规律，各点的横坐标与运动次数相同，而且纵坐标每4次运动组成一个循环：2，0，1，0，根据规律求解即可．【详解】解：观察图，结合点P前4次运动后的点的坐标特点可知，各点的横坐标与运动次数相同，而且纵坐标每4次运动组成一个循环：2，0，1，0；∵2022＝4×505+2，∴经过第2022次运动后，动点P的横坐标是2022，纵坐标为0，故经过第2022次运动后，动点P的坐标是（2022，0），故答案为：（2022，0）．【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找到点的坐标规律是解答此题的关键．12．观察下列单项式：-ab2，a2b3，-a3b4，【答案】-【分析】找出变化规律，再依据规律写出结果．【详解】由-ab2，a2b3，-a第n项为-a所以第2023个单项式为：-a故答案是：-a【点睛】考查了单项