机械波习题思考题

习题

8-i.沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与儿B点、

振动相位比A点落后卫，已知振动周期为2.0s,求波长和波速。

6

•，7T

解：按照题意，对于A、B两点，Ax=2m

6

而相位和波长之间又满意这样的关系：

X,-x,Ax-

\（p=（p-（p=--^—^-271=-2/r

2xZX

代入数据，可得：波长入=24m。又已知T=2s,所以波速u=入/T=12m/s

8-2.已知一平面波沿x轴正向传扬，距坐标原点。为七处尸点的

振动式为丁=Acos@/+0）,波速为〃，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传扬，波动式又如何？

解：（1）按照题意，距坐标原点。为七处尸点是坐标原点的振动状

态传过来的，其0点振动状态传到p点需用加=土，也就是说t时刻

u

P处质点的振动状态重复一四时刻。处质点的振动状态。换而言之，。

U

处质点的振动状态相当于，+土时刻P处质点的振动状态，则0点的振

U

朽木易折，金石可镂。

Y

动方程为：y=Acos\co(r+—)4-^7]波动方程为：

u

y=Acos[o<r+—--)+=Acos[o>(r-———)+^J

uuu

Y

(2)若波沿x轴负向传扬，。处质点的振动状态相当于时刻p

u

处质点的振动状态，则。点的振动方程为：y=Acos[o(，-土)+洌

U

波动方程为

y=/lcos[6Xr=ACOS[69(^-^-^1)+^]

uuu

8-3.一平面简谐波在空间传扬，如图所示,

己知A点的振动逻辑为y=Acos(2m//+e),试

写出：

(1)该平面简诣波的表达式；

(2)3点的振动表达式(B点位于A点右方d处)。

解：(1)模仿上题的思路，按照题意，A点的振动逻辑为

y=4cos(2m//+0),它的振动是0点传过来的，所以0点的振动方程

为：y=Acos[2^v(.+')+夕]

u

那么该平面简谐波的表达式为：y=Acos[2m/(r+-+-)+^]

uu

(2)B点的振动表达式可直接将坐标冗=〃-/,代入波动方程：

y=/lcos[2^v(，+—+-——•)+°]=Acos[2加(，+—)+初

uuu

也可以按照B点的振动经过《时光传给A点的思路来做。

u

8-4.已知一沿x正方向传扬的平面余弦波，，=-s时的波形如图所

3

不，且周期T为2s.

(1)写出。点的振动表达式;

(2)写出该波的波动表达式;

(3)写出A点的振动表达式;

(4)写出A点离。点的距离。

解：由图可知A=0.1m,入=0.4m,由题知T=2s,3=2n/T二叮，而u二

入/T=0.2m/so

波动方程为：y=0.Icos[n(t-x/0.2)+d\]m关键在于决定0点的

初始相位。

(1)由上式可知：0点的相位也可写成：小=Jit+①。

由图形可知：，=1s时y产-A/2,VoVO,J此时的6=2Ji/3,

3

将此条件代入，所以：菖=4!+化所以9。=?

。点的振动表达式y=0.Icos[Jit+Ji/3]m

(2)波动方程为：y=0.Icos[Ji(t-x/0.2)+Ji/31m

(3)A点的振动表达式决定主意与0点相似由上式可知:

A点的相位也可写成：4)=J：t+0Ao

可得：3二^—T=2T./w=12/5

6

贝ijy=0.5cos(—t--)cm

63

(2)沿x轴负方向传扬，波动表达式：

y=0.5cosf率(t+—]=0.5cosf法(t+?x)・言]acm

6〃3643

4W

(3)按照己知的T=12/5,u=0.8m/s,可知:4=—m

25

那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差：

△夕=271—=—7i=3.27rad

A24

8-6.一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均

强度为9.0乂10-3〃($-),频率为300Hz,波速为300m/s。问波中的平

均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中

含有多少能量？

解：(1);I=vvu

：.w=-=9.0XIO7/300=3X10-5J•m-3

u

卬皿二2访二0.6X105J,m3

(2)W=6JV=w-7id2Z=w-7rd2-

44v

=3X1O5X1JI/4X(0.14)2X300/300=4.62X10"J

8-7.一弹性波在媒质中传扬的速度w=IO?m/s，振幅

朽木易折，金石可镂。

A=l.OxlO^m,频率i/=103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3,求:

(1)该波的平均能流密度；

(2)1分钟内垂直通过面积5=4.()*1(尸11?的总能量。

解：3=2兀丫=2兀xlO3

I=-upA2co2=-x[03x800x(10-4汽2万1O3)2

(1)2-2X

=1.58xl05J/(m2e^)

(2)1分钟内垂直通过面积5=4.0*1(尸0?的总能量

W=ISt=1.58x105x4x10-4x60=3.79x103J

8-8.S1与也为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间

距为d=5/l/4,S,质点的振动比酬超前1/2.设3的振动方程为

27r

>10=Acos干且媒质无吸收，

（1）写出，与邑之间的合成波动方程；

（2）分离写出酬与S2左、右侧的合成波动方程。

27r2兀

解：(1)y=Acos@/+/o----/)y2=Acos@/+02o----G)

AA

由题意：。2。-6小卫设它们之间的这一点坐标为x,则

2

.2%、

y=ACOS3+9|（）----%）

4

y1—Acos\cot+(p\g+——(—A—x)]—Acos(cot+(p^H——x)

相当于两列沿相反方向传扬的波的叠加，合成为驻波。

0TTD7T

合成波为：)=%+%=2ACOS—xcos-t

AT

2%

(2)在Si左侧的点距离Si为x：y=Acos@/+%o+x)

y2=AcosM+夕I。+-y++=ACOS(G/+91O+'工)

合成波为：y=y1+%=2ACOS2〃(—+^)

TA

、.27r

在S2右侧的点距离Si为X：必=ACOS(69/+^10-—^)

/t

y9—Acos心/+夕|()---(X——A)]—Acos(cot+夕乂)—x)

两列波正巧是彻低反相的状态，所以合成之后为0。

8-9.设加与S2为两个相干波源，相距;波长，SJ匕S2的位相超前

-O若两波在在S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问5、

S2连线上在加外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度

如何？

解：由题意：由「42二工，n

2

在Si左侧的点：AS尸n,AS2=r2,/—\ASi

S2

朽木易折，金石可镂。

在S2左侧的点：AS尸n,AS2=r2,ri

A4）=°2—叼—2不气」TC-2万且=0

A~22

所以A=Ai+Az=2A,I=4IO；

8-10.测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住,

一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活

塞P,使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。

若已知棒中纵波的频率y,量度相邻波节间的平均距离d,可求得管内

玻璃管

U-2vda

气体中的声速〃o试证：u=2vdo,D

2

证实：按照驻波的定义，相邻两波节（腹）间距：A=再按照

乙

已知条件：量度相邻波节间的平均距离d,所以：d=-那么:

A=2d

所以波速〃=2v=2vt/

8-11.图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干

涉。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD

的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有

空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值1()()

单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时,

有极大值900单位。求：

(1)声源发出的声波频率；

(2)抵达探测器的两波的振幅之比。

A几

解：按照驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：=-

乙

A4

相邻波节与波腹的间距：Ar=1可得：2=4Ax=6.6cm

声音的速度在空气中约为34()m/s,所以：叫巴=二^^=515K〃z)。

A6.6x102

按照强度是振幅的平方的关系：声音强度在B的第一位置时为极小值

100单位，

在第二位置有极大值900单位，所以振幅的相对大小为10与30单位。

极小值的缘故是两个振幅相减(AI-A2=10),极大值的缘故是两个振

幅相加(AI+A2=30)O

朽木易折，金石可镂。

那么Ai：A?=2：1o

8-12.绳索上的波以波速u=25m/s传拗，若绳的两端固定，相距

2m,在绳上形成驻波,且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m,

，=0时绳上各点均经过平衡位置。试写出：

（1）驻波的表示式；

（2）形成该驻波的两列反向举行的行波表示式。

A4

解：按照驻波的定义，相邻两波节（腹）间距:—=5,倘若绳的两端

固定，那么两个端点上都是波节，按照题意除端点外其间还有3个波节,

）%c

可见两端点之间有四个半波长的距离，Ar=4x二=2,所以波长

A=Im,v=25m/s,所以口=24y=5（）乃（辰）。又已知驻波振幅为

A

71

0.1m,r=0时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为y，

JI

关于时光部分的余旋函数应为cos（50R+5）。

所以驻波方程为：y=0.1COS2^-XCOS(50^r+y)

（2）由合成波的形式为：y=y+%=2Acos竽cos2mzz

/t

可推出合成该驻波的两列波的波动方程为:

y=0.05cos(50加一2双)

丫2-0.05cos（50m+2TZX-%）

8-13.弦线上的驻波波动方程为：y=Acos匕x+^）cos&.设弦

42

线的质量线密度为2.

（1）分离指出振动势能和动能总是为零的各点位置。

（2）分离计算0-2半个波段内的振动势能、动能和总能量。

2

解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是cos（竺尢+卫）=0

42

的地方。

r»2"71z_.、,、兀

即n：——X+-=（2k±1）—

422

可得：x=—（k=0,±1,±2,±3…）

2

（2）振动势能写成：

II7T

2222

dWp=—k(dy)=—pdV^cocos(—x+—)coscot

()-4半个波段内的振动势能：

2

2]A

22/2万71x2

；pdxA^cocos\---x-l—)coscot

42

=—2pA4~2a)2~cos2cot

8

朽木易折，金石可镂。

dW=-dmv2=-pdVA2co2cos2(—x+—)sin2a)(t--)

k22A24

()-4半个波段内的振动动能：

2

27rTVx.2

产—(Jmv2)=p—pdxA2co2sin2(——x+—)sincot

22

X422・，

=—sin-cot

8

所以动能和势能之和为:

22

W=Wk+W/)=^pAco

8・14.试计算：一波源振动的频率为2040Hz,以

波源

速度匕向墙壁临近（如图所示），看见者在A点听得oO-

拍音的频率为/t/uBHz,求波源移动的速度匕，设

声速为340m/s。

解：按照