沪教版 九年级数学 一模24压轴题题型汇编

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砥知识定位

/考格分析：

I

I

函数综合题的重难点一般出现在模拟考以及中考的第24题第二问或第

三问，此类题在考试中往往具有难度适中、但要求较全面的特点，常以数与

形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、勾股定理与

函数、圆和三角比相结合的综合性试题，同时考查初中数学中最重要的数学

思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想，

需要学生在平时的学习过程中养成良好的做题习惯。

考试占比：

二次函数综合题的分值一般在12分左右，占比整份试卷分值的8%,其

中第一问求解二次函数解析式的分值在3-4分，由于比较简单，需要每位学

生必须做对；第二问以及第三问涉及的知识点比较多，但是题型比较固定，

且解题步骤有迹可循，其中相似三角形存在性问题考的最多，其次还有与圆

有关的位置关系问题、特殊三角形与四边形存在性问题以及角度问题等等。

童鞋，你做好学习本节课的准备了么?

Areyouready?

II题型梳理

3曾三例即精第

-◎-题型梳理1:相似三角形问题

【题目】

2,

【18嘉定】已知在平面直角坐标系xoy(如图7)中，已知抛物线y=§厂+法+c经过

A(l,0)、B(0,2)0

(i)求该抛物线的表达式；

(2)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C,第四象限内的点D在该抛物线的对：称

B.

轴上，如果以点A、C、D所组成的三角形与30B相似，求点D的坐标；1

(3)设点E在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结AE、BE,求sin/ABE。01

【题目分析】图L

本题考察了待定系数法求解二次函数解析式、二次函数与相似三角形以及二次函数与锐角三

角比等等知识点，属于二次函数综合题中一类常考题型，难度适中，需要每位学生重点掌握。

第一问中一般是通过待定系数法求解二次函数解析式，比较简单；第二问考察了相似三角形

存在性问题，这类题型需要根据题意画出大致函数图像，可以按以下步骤进行求解：①分析

题意找出一组相等角，比如该题中NAOB=NACD=90。，有时候需要通过角度关系进行转化

找出等量关系；②确定动点的位置，如本题中的D点，表示出动点的坐标，求出等角的两

组夹边长度；③根据题意分别列出两组比例式，即两种相似情况分别求解即可。注意若是分

析题意确实无法找出一组相等角，此时可能需要分别表示出两个三角形的各条边，然后分别

列出六组比例式进行求解。一般情况下二次函数关于相似三角形存在性讨论只涉及两种情

况。由于这类题型解法比较固定，希望学生好好体会，理解并熟练掌握。

【答案】

2Q।a

(1)>=y2-§%+2;(2)(2,-耳)或(2,-2)；(3)§

【解析】

2

解：(1广.抛物线了=丁2+区+。点经过41,0)、8(0,2),

2,,、

—+0+c=0Q

3解得〃二一§,

c=2

2Q

.・抛物线的表达式是)，=§/-+2.

2Q

(2)由(1)得：,=§/一§九+2的对称轴是直线1=2，，点C的坐标为(2。)，

•.第四象限内的点。在该抛物线的对称轴上，.・以点A、C、。所组成的三角形与08相

似有两种：

①当ZABO=ZDAC时，y--y—,CD=—，，点D的坐标为(2,--);

()DCA2122

②当ZABO=ZADC时，同理求出CO=2,二点D的坐标为(2,-2)

综上所述，点。的坐标为(2,-g)或(2,-2)

(3)•点E在该抛物线的对称轴直线x=2上，且纵坐标是1,••.点E坐标是(2,1),

又点8(0,2)，:.BE<；

设直线x=2与x轴的交点仍是点C,

1113

=SBOCE-SWO-=—(2+l)x2——x2xl——xlxl=—；

过点£作由，A3,垂足为点=,

-''S^E=-xABxEH=-,:.EH=-y[5;

AABE225

EH3

在RM3//E中，ZBFE=90°,/.sinZABE=——=-

BE5

【难度系数】4

砺疑需猿

【题目】

[17普陀】如图8,已知在平面直角坐标系xoy中，点A(4,0)是抛物线y=ax2+2x+c上的

一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B(0.2),平移后所得到的新抛物线的顶点记为

C,新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P.”'

(1)求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；

(2)求NCAB的正切值；

1

(3)如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且ABCQA与SCP相似，求----------

点Q的坐标。

图8

【答案】(1)y=-/+2x+2,C(1,3);(2)；;(3)(1,-1)或(1,|)

【解析】

(1)解法一：由题意得，原抛物线广加+2x+c经过点A(4,0)和(0,8),

0=16a+8+c,a=-l,

得一，解得

c=8.

二原抛物线的表达式是y=+2x+8.

因此，所求平移后的抛物线的表达式是y=-/+2x+2，点C的坐标是(1,3).

解法二：由题意得，新抛物线〉=/+2"〃?经过点(4,-6)和(0,2);

16。+8+"?=-6,

得。解得

m=2.m=2.

因此，所求平移后的抛物线的表达式是y=-/+2x+2，点C的坐标是(1,3).

(2)-.-AC2=18,BC2=2,AB2=20，得AC?+a=A"ZAC8=90-

所以tan/C4B=gg=：，即的正切值等于上

AC33

(3)设直线48的的表达式为了=丘+匕，

因为直线48经过点A(4,0)和(0,2),所以可得直线A8的表达式为y=-；x+2;

•.•抛物线的对称轴与线段A3交于点P,.•.点P的坐标是,

由题意得NBCQ=NACP=45°,所以△BC。与AACP相似有两种可能性：

①当詈=等时，得CQ=4，，点。的坐标是(LT)；

CAC//

②当穿时，得c0=1,••点Q的坐标是

综上所述，符合题意的Q点坐标是(1,-1)、(1,1)

总结：本题是以二次函数为背景，考察动点有关的三角形相似问题，第一问利用待定系数

法求函数解析式，一种方法是求出原函数解析式，再通过平移得出新函数解析式，另一种方

法就是将平移后的对应点坐标代入新函数解析式中求解即可，比较简单；第二问求解锐角三

角比，可以先考察是否属于是直角三角形中的一个锐角，本题通过勾股定理逆定理发现对应

三角形三边符合勾股数，因而直接在直角三角形中求解锐角三角比即可。倘若所求角度不属

于直角三角形中的一个锐角，此时一般需要进行角度转化，有时甚至需要作垂直，构造直角

三角形求解；第三问属于相似三角形存在性问题，分析题意可以找出NBCQ=NACP=45。，

因而直接按照例题的步骤求解即可。

【难度系数】4

-◎-题型梳理2：与圆有关的位置问题

【题目】

[17金山长宁】在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+2bx+c与x轴交于点A、B(点

A在点B的右侧)，且与)'轴正半轴交于点C,已知A(2,0)。

(1)当凤-4,0)时，求此抛物线的解析式；

(2)0为坐标原点，抛物线的顶点为P,当tan/。4P=3时,求此抛

物线的解析式；

(3)0为坐标原点，以A为圆心0A长为半径画。A,以点C为圆心、

长为半径画。C,当OA与。(:外切时，求此抛物线的解析式。

【题目分析】

本题考察了待定系数法求解二次函数解析式、锐角三角比、圆与圆的位置关系等等知识点,

属于二次函数综合题中比较常见的一类题型，需要学生重点掌握，对于二次函数与圆的结合

考察通常出现在第二问或第三问中，解题的关键不仅在于理解圆与圆位置关系的判断依据，

还需要掌握在函数背景下产生的动点位置问题，即动点在函数图像上，并以该动点相关的圆

的位置关系。一般的处理方法就是，根据已知条件表示出相应点的坐标，根据两点间距离公

式表示出两圆的半径长和圆心距离，再依据圆与圆的位置关系判断条件进行分类讨论即可。

【答案】

,,,18

(1)y^-x2-2x+8;(2)y^-x2-x+8;(3),=一尸+丁+§

【解析】

-4+4b+c=0

解：（1）把点A（2,0）、M-4,0）代入得«-16'+"。；解得』Lc=8,

••・抛物线解析式为y=-/_2x+8.

（2）设对称轴与x轴的交点为H,

把点A(2,0)代入解析式y=—/+2"+c得0=-4+4b+c①

y=-x2+2bx+c=-(x-b)2+0?+c，贝！JP(b,b?+c)；

在RtAPHA中PH=U+c，AH=2-b,

tan/°"=黑=3,代入得b2+c

3②

2-b

-4+48+c=0b=2

b2=-1

①②联立得〃+J3，解得＜匕一（不合题意,舍

8

2-b

」•抛物线的解析式为y=-/_%+8.

（3）由题意得C点坐标为（0,c）（c>0）,；OC=gc

A(2,0),0A=2,•.AC=+/

当两圆外切时AC=；C+2="77，解得q=|,c2=0（不符合题意，舍去），

Q1

此时抛物线解析式为尸—-+2笈+§代入A（2,0），解得b=§,

18

所以抛物线解析式为》=一/9+]工+3.

【难度系数】4

砺Si晡昧

【题目】

[15闸北】如图9,在平面直角坐标系MV中，点A坐标为（8,0）,点8在

4

V轴的正半轴上，且cotN0A8=1,抛物线y二

图9

经过A、B两点。

(1)求。、c的值；

(2)过点3作CB，。8,交这个抛物线于点C,以点C

为圆心，C8为半径长的圆记作圆C,以点A为圆心，厂

为半径长的圆记作圆A,若圆。与圆A外切，求「的值；

(3)若点。在这个抛物线上，△A08的面积是△OBD面积的8倍，求点。的坐标。

【答案】

50

(l)0=“c=6;(2)r=375-5；(3)D(L7)或(-1,万)

【解析】

解：(1)••点A的坐标为(8,0),=8,

由题意,cotZ.OAB=,:.0B=6,

•.点B在V轴的正半轴上，，点B的坐标为(0,6),

f12

——x82+8/?+c=05

,4,解得：b=二,c=6.

c-6衣4

(2)由(1)得抛物线的表达式是：y=-^-x2+^x+6,

••・CB上0B,点B的坐标为(0,6),

.,点C的坐标为(5,6),.-.CB=5,：.AC=J(8—5尸+(0—6/=3后,

.,圆。与圆A外切，.•.CB+r=AC,.,.r=375-5.

(3)：OA=S,OB=6,.-.5=-xOAxOB=24,

、/••LM^rO\KJeD2

1

--X-3

•••△AQB的面积是△面积的8倍，,S.OBD824

•・点。在这个抛物线上，所以可设点。的坐标为吐江+?+6),

1