沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第20讲 期末复习 (解析版)

本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程

的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中

需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大

家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题.

知识结构

最简二次根式1同类二次根式

‘二次根式的'

性质

—有理化因式和分母有理化

二次

根式

二次根式的加减

[二次根式的运卜T二次根式的乘除|―[混合运算

算

【练习1】下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.£B.亚C.后

D.同

【答案】B

【解析】=-^-;Vo.5-；V50=5>/2.

【总结】本题考查了最简二次根式的定义.

【练习2】若一元二次方程双2一2》+1=0有两个实数根，则a的取值范围正确的

是()

A.a>\B.a<\C.且awOD,0<6f<1

【答案】C

【解析】因为方程有两个实数根，故A=/-4〃c=(-2『-4xa20,则“41,

又因为一元二次方程的二次项系数不为零，即。#0；故且。工0.

【总结】本题考查了一元二次方程根的情况.

【练习3】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2,3),那么另一个

交点的坐标为().

4.(-3,-2)B.(3,2)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【答案】D

【解析】反比例函数的图像与正比例函数图像的两个交点关于原点对称.

【总结】本题考查了反比例函数图像的性质.

【练习4】下列命题中，哪个是真命题()

A.同位角相等

B.两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等

C.等腰三角形的对称轴是底边上的高

D.若PA=PB,则点P在线段A8的垂直平分线上

【答案】D

【解析】A中只有两条直线平行，同位角相等；8中'S-S-A'不能证明三角形全等;

C中等腰三角形的对称轴是底边上的高所在直线，对称轴应该是直线：

。中是垂直平分线的性质.

【总结】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定，对称轴及垂直平分线性质.

【练习5】以下说法中，错误的是()

A.在AABC中，NC=N4NB,则AABC为直角三角形

B.在AABC中，若NA：NB：NC=5:2:3,贝以48。为直角三角形

44

C.在AABC中，^a^-c,b=-c,贝必ABC为直角三角形

55

D.在AABC中，若a:6:c=2:2:4,则4ABC为直角三角形

【答案】D

【解析】选项A、8均由三角形内角和定理可求得乙4=90。；C由勾股定理可得AABC为直

角三角形；。中有三边关系知构造不了三角形，故错误.

【总结】本题考查了直角三角形的判定.

【练习6】关于x轴上有一点4到点B(-3,4)的距离是5,则点A的坐标是()

A.(-6,0)B.(0,0)

C.(-6,0)或(0,0)D.以上都不对

【答案】C

【解析】过点3作x轴的垂线交x轴为点C,则点C的坐标为(-3,0),又因为点B到x轴

的距离为4,所以由勾股定理可得点A的坐标为(-6,0)或(0,0).

【总结】本题考查了勾股定理的应用.

【练习7】匚匚化简成最简二次根式后等于()

桁一1)-

.x4xx4-x「-Xy/^X-x4x

A•D.C•-------L)•

X—\1—X1—XX—1

【答案】c

【解析】.•--X3>0,即X40,x-l<0,故原式.故选C.

(x-1)2l-x

【总结】本题考查了二次根式的化简.

【练习8】某同学做了以下四题，其中做错的有()

①J1=4a2；(2)y/5a■\Jl0a=5a；③，=&；④=

A.1个B.2个C.3个D4个

【答案】B

【解析】①③正确：②④错误；②中扃・阿=石声=5四”：

④中=（\/^-拉）x/ii,故选B.

【总结】本题考查了二次根式的运算及化简.

【练习9】如果关于x的方程(x+a)(x+b)+(x+6)(x+c)+(x+c)(x+a)=0(其中a、b、

均为正数)有两个相等的实数根，则以心氏c为长的线段促成的是().

A.等腰非等边三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.不能确定形状

【答案】B

【解析】原方程可以整理为3了2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=O

•方程有两个相等的实数根，；.△=[2(a+Z?+c)(-4x3x(ab+/?c+ac)=0

整理得：4«2+4b2+4c2-4ab-4bc-4ac=0

即2(a-b)2+2(Z?-c)2+2(a-c)2=0

a-b-Q,b-c=0,a-c=0,即a=b=c

.,•三角形为等边三角形.

【总结】本题考查了一元二次方程根的判别式及配方的运用.

【练习10]已知一直角三角形ABC的三边为a、b、c,NB=90。，那么关于x的方程

a(d-1)-25+//+i)=o的根的情况是().

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】A

【解析】解：•••NB=90°,.•.。2+02=匕2

化简原方程为：（a+h]x2-2cx+b-a=0,..A=4c2-4（Z>2-a2）=4c2-4c2=0,

方程有两个相等的实数根，故选项A正确.

【总结】本题考查了勾股定理的应用及根的判别式的综合运用.

【练习11】多项式4/+8x7进行因式分解正确的是（）

A.（x+^^）（x+^^）B.（4x+4+2退）（4x+4-2石）

22

C.（2x+2+@（2x+2一石）D.4（》+巨骂（》一生刍

22

【答案】C

【解析】解：令4》2+8X一1=0,由△=82-4X4X(-1)=80>0

由公式法得：占=-21?叵2-旧

%=---------

2

所以4x?+8x-l=4卜+带叵三叵

=(2x+2+\[^)(2x+2-y/s)

故选C.

【总结】本题考查了一元二次方程的应用--二次三项式的因式分解的运用.

【练习12】已知函数〉=找伏。0）中y随X的增大而增大，那么它和函数y=%AwO）在

同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（）.

BCD

【答案】D

【解析】,・,函数y=左乂女工0）中y随x的增大而增大；>0

.•.函数丫=匕（）%0）和函数、=«代二0）的图像都在一、三象限，故。正确.

X

【总结】本题考查了正反比例函数的图像和性质.

【练习13]如图,A、C是函数），=」的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为8,

X

过点C作y轴的垂线，垂足为O，记RtZXAOB的面积为S1,双△COD的面积为S?,

则岳和邑的大小关系是（）.

A.5,>52B.S[<S2

C.S^S2D.由4、C两点的位置确定

【答案】C

（解析】•••点4和点C都在反比例函数图像上，

【总结】本题考查了反比例函数的性质的运用.

【练习14]如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cvn,BC=8cm,现将直角边

AC沿直线AQ折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CC等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cmA

【答案】3

【解析】解：在RrAABC中，由勾股定理得：AB=\Qcm,再由折叠\/

的性质可得CD=DE,AE=AC=6cm,所以C-----------------------------

BE=AB-AE=4an,S.DE±AB；

设C£>为x,则比>=8-x,DE=x,在及ADEB中,WBE2+DE2=BD2,

B|J42+x2=（8-x）2,解得：x=3cm.故8项正确.

【总结】本题考查了图形的折叠和勾股定理的应用，注意翻折的性质的运用.

【练习15】在AABC中，AB=\5,AC=13,BC边上的高AO=12,则“8。的周长

是()

A.42B.32C.42或32D.37或33

【答案】A人

【解析】•••ADJ_8C,.•.在MWC中，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2,/[\

所以C£>=5,同理可得：BD2=AB2-AD2,所以比)=9.

当AABC为锐角三角形时，3c=%>+8=5+9=14,则AA8C的周长=13+14+15=42；

当△ABC为钝角三角形时，BC=BD-CD=9-5=4,则AABC的周长=13+4+15=32；

故选C.

【总结】本题考查了勾股定理的应用，注意当涉及到三角形一边上的高时，要分两种情况讨

论.

填空题

【练习16](1)若x/x-l-Jl-」=(x+»,贝！Jx—y的值为

(2)使J(2-幻@+1)=万^・x/TTT成立的条件是

(3)二次根式向^的有理化因式是.

【答案】(1)2；(2)-l<x<2；(3)jn+n.

【解析】(1)由题意得：x-l>0,l-x>0,所以x=l,

=l代入Jx-l—Jl-x=(x+y)2,可得：y=-l,故x-y=2；

(2)由题意，得：P-X-0,解得：-l<x<2；

x+l>0

(3)yjm+n的有理化因式是-Jm+n等.

【总结】本题考查了二次根式的有意义的条件及有理化因式的概念，注意任何一个二次根式

的有理化因式是不唯一的.

【练习17](1)方程V-4=0的根是；

(2)已知关于x的一元二次方程)x2+3x+，"2-2=0的一个根为0,则，”的

值是.

【答案】(1)±=2,X2=-2；(2)-五.

【解析】(1)X2-4=0,则%=2,9=-2.

(2)把x=0代入方程得：相2-2=0且%-正*0,则计算得出“=—及.

【总结】本题考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的条件.

【练习18](1)已知正比例函数产(2%-l)x的图像上两点A(X1,%),8(%,必)，当

N＜工2时，,＞丁2那么切的取值范围是；

(2)反比例函数的图像经过直线y=-3x上的点(-加，w+2),则机=

反比例函数的解析式为.

13

【答案】(1)m＜-；(2)I；y=--.

2x

【解析】(1)・・,点A和点3都在正比例函数图像上，当阳＜巧时，%＞为；

二.y随工的增大而减小，即2"[-1＜()；故相＜，.

2

(2),・•点(一加+2)在函数)=一3%图像上，.•.帆+2=-3(-m)，即机=1；

・•・此点坐标为(-1,3),.•.反比例函数解析式为y=-1.

【总结】本题考查了正反比例函数的性质及解析式的求法.

【练习19](1)定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方'’的逆命题是

(2)命题"等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是.

【答案】见解析

【解析】(I)如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角

形.

(2)如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形.

【总结】本题考查了互逆命题的应用.

【练习20](1)已知直角坐标平面内两点A(3,-1)和8(-1,2),那么A、8两点间的距离

等于;

(2)已知直角坐标平面内的RtMBC三个顶点的坐标分别为A(4,3),8(1,2)、C(3,-4),

则该直角三角形的直角顶点是.

【答案】⑴5；⑵点8.

【解析】(1)由两点间距离公式，可得：+(2+1)2=5；

(2)VA(4,3),8(1,2)、C(3,-4),

/lB2=(l-4)2+(2-3)2=10,BC2=(3-l)2+(-4-2)2=40,

AC2=(3-4/+(-4-3)2=50,

AC2=AB2+BC2,所以N8=90°,故直角顶点为点8.

【总结】本题主要考查了两点间距离公式的应用及勾股定理逆定理的应用.

【练习21](1)经过已知点A、8的圆的圆心的轨迹是：

(2)到点A的距离等于2厘米的点的轨迹.

【答案】(1)线段/W的垂直平分线；(2)以点A为圆心2厘米为半径的圆.

【解析】(1)由题意知，圆心应满足到点A和点8的距离相等，从而根据线段的垂直平分

线画出即可；

(2)到定点的距离等于定长的轨迹为圆.

【总结】本题考查了基本图形的画法.

【练习22](1)某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的

房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x,则关于x的

方程为:

(2)某厂计划今年的产值为a比前年翻一番，且这两年的增长率相同，则这三年的总

产值是_____________.

【答案】(1)76000(1+x)2=96000；(2)+与a.

【解析】根据平均增长率问题的方程类型”(l±x)"=匕来列方程：

(1)76000(1+x)2=96000；

(2)设增长率为x,则(l+x>=2,解得：X=72-1,

故这三年的总产值为：—a+—a(y+'j2-1)+a=—a+^-a.

2222

【总结】本题考查了一元二次方程中平均增长率问题的类型，注意对总产值的理解.

【练习23](1)在实数范围内分解因式：3d—6x+l=；

(2)若一元二次方程用2+2犬-1=0在实数范围内有实数根，则/〃的取值范围

【解析】(1)令31-6》+1=0,由△=(-6『-4X3=24>0,

所以由公式法得：再=¥，%=¥，故犷-6川

(2)由题意得：△=4+4〃2之。且加。0；解得：.

【总结】本题考查了二次三项式的因式分解及根的判别式的运用.

【练习24】计算：「加+:同+.

【答案】2.

【解析】3屈+(病一唱卜4亚行+后-2⑸+4收=2.

【总结】本题考查了二次根式的混合运算，注意进行化简.

【练习25]如图，及AABC■中，ZACB=90,ZA=40,。为A3中点，CE1AB,

则ZDCE=.

【答案】10°.

【解析】•••ZACB=90a,。为45中点，,•.4)=8,

:.ZACD=ZA=40a,-.-CEA-AB,ZACE=180°-90°-ZA=50",

NDCE=ZACE-ZACD=50°-40°=10°.

【总结】本题考查了直角三角形的性质及等腰三角形性质的综合运用.

【练习26】(1)如果正比例函数>=依(后0)的自变量取值增加7,函数值相应减少4,

那么当x=4时，y=；

(2)若x与-3y成反比例函数关系,y与-4z成反比例函数关系，则x与z成

比例函数.

【答案】(1);(2)反.

7

【解析】(1)由题意得：(y-4)=H》+7),即y-4=乙+7Z,代入y=Z:x中，解得：出=一。，

所以正比例函数为y=-3,故当x=4时，y-y.

(2)由题意得：x=_8,y=-2,所以x=——'=戈,

3y-4z3.(_%3k2

4z

故x与z成反比例函数.

【总结】本题考查了正反比例函数的概念.

【练习27](1)如图，已知在AABC中，C。平分/ACO,NA=2/B,BC=a,AD=b,

则4C=(用含。、b的代数式表示)；

(2)在△ABC,AB=BC,BD=DC,BC=CE,则图中一定相等的角(小于平角)

有对.

【答案】⑴a-b；(2)3.

【解析】(1)如图所示，在BC上截取CE,使得CE=AC,连接OE

•••8平分ZACD,ZACD=ZECD,

又•.•AC=CE,CD=CD,.-.AACD^AECD,

：.AD=DE=b-,ZA=ZCED,

又NA=2N3,ZCED=ZB+ZEDB,:.ZB=ZEDB,

BE=DE=AD=h,又,:BC=a,AD-CE=BC—BE=a—h.

(2)Zfi4C=ZfiC4；ZBAD=ZBEA-,ADAC=Z.CAE.

【练习28](1)如图，在R/AABC中，NC=90度，BC=24cm,NBAC的平分线AO交

BC于点、D,BD-.DC=5：3,则点。到AB的距离为cm-,

(2)等腰直角三角形ABC的斜边BC=4,△力BC为等边三角形，那么4、力两点的距离

是;

(3)在矩形A8C。中，AB:A£>=1:2,将点A沿折痕力E对折，使点A落在BC上的尸点，

则NADE=度.

【答案】(1)9；(2)26+2或26-2；(3)15.

【解析】(1)作力于E,

,/BD:DC=5:3,BC=24cm,DC=9cm,

•・•AD是NBAC的平分线，ZC=90°,DELAB,

DE=DC—9cm.

(2)分两种情况：①连接AD,交BC于E,

•••ADBC为等边三角形，:.BD=CD=BC=4,

•：AB=AC,垂直平分3C,AE=-BC=2,NDEB=90,

2

DE=&-2?=2百,AD=DE+AE=2y/3+2；

②如图示，由①得：£>E=26，AE=2,

AD=DE-AE=2y/3-2；

所以AD=2百+2或26-2.

(3)如图所示：由题意可得/W:4)=l:2,

由翻折性质£>F=AD，则在WAC£)尸中。C：CF=1：2,故NOFC=30°；

在矩形AfiCO中，AD//CF,所以NAO尸=NO9C=30°,

故ZADE=ZEDC=-ZADF=15°.

2

【总结】本题考查了直角三角形的性质，及分情况讨论.

【练习29】一元二次方程依-1）丁+2履+左+3=0有两个不相等的实数根，求上的最大整

数值______________.

【答案】0.

【解析】由题意得：公=（2。2-4k-1）（A+3）=-84+12>0,解得：k<|且2—1左0,即4w1,

所以k的取值范围为k<3且4*1.所以k的最大整数值为0.

2

【总结】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的运用.

【练习30】方程（2016x）2-2015x2017x-l=0的较大根加，方程2015/-2016x+l=0较

小根为〃，则m-n的值

【答案】2014

2015

【解析】•・•(2016x)2-2015x2017x-1=0,(2016x)2-(2016-1X2016+1)x-1=0,

A(2016X)2-20162X+X-1=0,ER20162x(x-l)+(x-l)=0,

(x-l)(20162x+l)=0,解得：x.=l,^=--L5-,,

又2015X2-2016X+1=0,(2015x-lXx-l)=0,

1=1

解得:A，X-y1»n=----

-20152015

12014

故加一〃=1

20152015

【总结】本题考查了一元二次方程的解法.

【练习31】AAOC与AOCE均为等边三角形，点A、。均在双曲线y=二（》＞0）上，点。

为坐标原点，点C、E在x轴上，A、。的坐标分别是.

【答案】A（l,g）；D（V2+1，V6-^）.

【解析】如图，过点A作AHLx轴于点〃，过点。作

。/，》轴于点尸.

•JAAOC为等边三角形，.•.设A（“，口）

又•.•点A在双曲线y=立（》＞0）上，

XHCFE

43a2=V3＞解得：a=l或〃=一1（舍），则点A的坐标为（1,G）；

同理，设。仅，小〃一2））,则麻0-2）=百，解得：b=y[2+l（负值舍去），

则点。的坐标为（应+1,6-6）.

【总结】本题考查了反比例函数图像上点的特征及等边三角形的性质.

【练习32]已知三角形ABC为等腰直角三角形，且A（2,3）,B、C分别在坐标轴上,

则点B的坐标分别是.

【解析】如图所示：4（-1，0）；员（2,0）；B3（5,0）；纭（0,5）；V（0,3）；B6（0,l）.

B4

B5仆

【总结】本题考查了简单的‘数形结合’思想.

解答题

【练习33】⑴已知求的值;

(2)已知：5j2-x+3，>-2=y+1,求“+y的值.

【答案】(1)4-272；(2)1.

【解析】⑴•••。=-^7==-2《+⑸<0,

1—V2

,原式=尹===上次=4-2叵

7(«-1)2-1+2(1+72)

(2)v2—x>0,x—2>0,:.x=2,/.y+1=0,y=-l,

Jx+y=J2-1=1.

【总结】本题考查了二次根式的化简和运算.

【练习34]解方程：

(1)>/3X2-X-7V3=0；(2)-2X2-3(X-1)=(X+1)2.

，林安1(16+,2556—)255s、1①

【行条】(1)x=------------，x=-------------；(2)再=-,x=-2.

[62632

【解析】⑴A/3X2-X-7V3=0,△=l+4gx7百=85>0,解得：xJ士写,

2V3

原方程的解为士=.土画，x2=小二画；

66

(2)-2X2-3(X-1)=(X+1)2,化简得：3X2+5X-2=0,(3X-1)(X+2)=0

.,.原方程的解为X1=g,x2=—2.

【总结】本题主要考查一元二次方程的解法.

【练习35】证明：无论如〃取任何实数时，方程加r，+("2+")x+”=0都有实数根.

【解析】①当m=0时，原方程可化为nr+〃=0,解得：x=-l；

②当时，方程为一元二次方程，A=(m+n)2-4mn=(in-«)2>0,

故方程有两个实数根.

所以无论小、〃取任何值，方程都有实数根.

【总结】本题考查了方程跟的情况，注意分类讨论.

【练习36】某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取

提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元销售量

就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元.

【答案】见解析

【解析】解：设每件售价定为*元(x>10),

由题意得:(x-8)|200-10[(x-10)4-0.5]}=640

2

化简得：X-28X+192=0,解得：%,=12,x2=16

当x=12时，{200-10[(x-10)-0.5]}=160；

当x=16时，{200-10[(x-10)-0.5]}=80.

所以售价定为12元时每天可售160件，售价定为16元时每天可售80件，利润可达每天

640元.

【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决利润问题.

【练习37]已知正比例函数丫=依+1)》的图像经过4(2,-4)、8(,〃，2)两点.

(1)求m的值;

（2）如果点8在反比例函数y=［（&HO）的图像上，求反比例函数的解析式.

【答案】（1）m=-l;（2）y=--.

x

【解析】（1）因为正比例函数图像经过A（2,-4）,所以2（占+1）=-4,解得：用=-3,

所以正比例函数解析式为y=—2x,由题意得，当y=2时，-2m=2,得：机=一1；

（2）由点3在反比例函数图像，得：&2=7x2=—2,

所以反比例函数解析式为丁=-2.

X

【总结】本题考查了利用待定系数法求正反比例函数的解析式.

【练习38]如图，在△A8C中，/C=90度，AC=BC,AO平分NCAB,AB=20cm.

求AC+CD的长.

【答案】20cm.

【解析】过。作垂足为点E，

VZC=90°，ZC=ZDEA.vAD平分ZC4B,

ZC=ZAED

在A4C£）和AAED中，＜NC4。=ND4E,

AD=AD

：.AACD=AAED,：.AC=AE,CD=DE.

又♦.•AC=8C,N4CB=90,.•.AA3C是等腰直角三角形,

ZB=ZCAB=45°，ZBDE=180°-90°-45=45°，

:.ZEDB=ZB,CD=DE=EB,

AC+CD=AE+EB=AB=20cm.

【总结】本题考查了构建全等三角形证明线段相等.

【练习39]如图：在四边形ABC。中，ZC=90°,BC=3,CD=4,AD=\2,AB=13,求

四边形ABC。的面积.

【答案】36.

【解析】vZC=90°,BC=3,CD=4,

BC

.••由勾股定理得：BD=^BC2+DC2=5,

VAB=\3,AD=]2,AD2+BD2=AB2,:.ZADB=90a,

：.四边形/WCZ）的面积5=5.8+5^480=4x3x4+3x5x12=36.

【总结】本题考查了勾股定理逆定理的应用，从而快速求出几何图形的面积.

【练习40】小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书饵的路

程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图

书馆，图中折现。一——B——C和线段0。分别表示两人离学校的路程y（千米）

与所经过的时间x（分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：

（1）小智在图书馆查阅资料的时间为分钟，小智返回学校的速度为

千米/分钟；

（2）请你求出小方离开学校的路程y（千米）与所经过的时间x（分钟）之间的函数

,A

代入（45,4）,得:4=45k,解得：k=—,

所以y与x的函数关系式为：y=-^X0<x<45）.

【总结】本题考查了正比例函数解析式的求法，注意数形结合的理解.

【练习41]如图，在四边形A8CD中，ZABC=ZADC=90°,对角线AC与2。相交于点

O,M,N分别是边AC、8。的中点.

（1）求证：MN上BD；

(2)当NBCA=15°,AC=Scm,OB=OM时，求MN的长.

【解析】（1）证明：连接3M、DM.

DC

・・・NABC=NADC=90°,点M、点N分别是边AC、5。的中点,

BM=DM=-AC.

2

vN是的中点，

..MN上BD.

(2)vZBC4=15°,BM=CM=-AC,

2

/BCA=NCBM=15°,

.-.ZBMA=30°.

OB=OM，

・•./OBM=NBMA=30、

AC=8,BM=-AC,

2

在RtMMN中,NBNM=90°,NNBM=30°,

==2.

2

【总结】本题考查了等腰三角形及直角三角形的性质的综合运用.

【练习42]己知：如图(a),在等腰三角形ABC中，ZC=90°,4。是/CAB的平分线.

(1)求证：AB=AC+CD；

(2)把原题中的“NC=90。”改为“NC=100。”,其余条件不变，如图他)，请说出AB,

AD.CO之间的数量关系，并证明.

【解析】(1)在边A8上截取AE=AC；

•••AD是/C40的角平分线，ZCAD=ZDAB,

AD=AD,AE=AC,AACDsAAED.

:.CD=DE,ZAED=ZC=90°,

■：AB^AC,ZCAB=ZB=45°,ZBDE=ZB=45\

DE-BE=CD,/.AB-AE+BE=AC+CD；

(2)AB=AD+CD.

证明：在他上截取AE=AC,AF=AD,

AC=BC,ZC=1()0,ZBAC=ZB=40°,

又•••AD平分ZCAB,ZCAD=ZBAD=20°,

由(1)得AACD三AA£D,..DE=CD,ZA£Z)=NC=100°,NOE8=80°,

AF=AD,ZFAD=20°,AADF=ZAFD=80°,DF=DE=CD,

;NBFD=100°,ZB=40°,ZFDB=4ff,则所=。尸=C£),

AB=AF+BF=AD+CD.

【总结】本题考查了辅助线的添法-截长补短法的运用，注意对题目条件的有效分析.

【练习43]己知：在AABC中，AB=AC,ADLBC,垂足为。，BELAC,垂足为E,M为

AC的中点，联结OE,。“设NC=e.

(1)当AABC时锐角三角形时(如图)，试用a表示

(2)当△ABC时钝角三角形时•，请画出相应的图形，并用a表示NEDW(可直接写出).

【答案】(1)NE£>M=3a—180°；(2)ZEDM=\80a-3a.

【解析】(1)VAB=AC,AD±BC,:.BD=CD,

■：BEYAC,

BDC

，CD=DE=-BC,

2

ZCDE=180°-2ZC=180°-26z,

又・・・AD_L3C,〃为AC中点，

CM=DM=-AC,

2

/CDM=/C=a，

/EDM=/CDM-ZCDE=a-(180f-2a)=3a-l80°.

(2)如图，同(1)可得：

NCDE=180°-2ZC=180°-2a9

NCDM=NC=a,

NEDM=ZCDE-^CDM=180°-2a-a=180°-3a.

【总结】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，注意角度之间的关系.

【练习44]如图，在气象站台A的正西方向240千米的B处有一台风中心，该台风中心

以每小时20千米的速度沿北偏东60。的BD方向移动，在距离台风中心130千米内的地

方都要受其影响.

(1)台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少？

(2)台风中心在移动的过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间

会持续多长？

【答案】(1)\20km-.(2)5小时.

【解析】(1)如图，过点A作于E,

♦.•台风中心在皮»上移动，

,­,AE就是气象台距离台风中心的最短距离,

在WA/WE中，AB=240hn,NA8E=30,

AE=-AB=l20km,

2

所以台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离为120公”;

（2）由题意得：线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，

在R/AACE中，AC=130hn,A£=1204/77,

CE=ylAC2-AE2=>/1302-1202=50km,

AC=AD,AEYCD,

CE=ED=50A7”,

CD=lOOkm,

：.台风影响气象台的时间会持续100+20=5（小时）.

【总结】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题的运用.

【练习45]如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A的坐标为（1,,"）04=2,

正比例函数y=2和反比例函数y=金的图像都经过点A,过点A作OA的垂线交

mx

x轴于点B.

（1）求加和人的值；（2）求点8的坐标.

【答案】（1）机=白；%=百+1；（2）8（4,0）.

【解析】（1）•.•第一象限内的点A的坐标为（1，机），

在正比例函数y=在的图像上，

m

m=---->解得：m=±A/3，

m

•.•正比例函数经过第一、三象限,

tn=y[3，

则代入y=~,解得：k=V3+1.

(2)由⑴得设点5的坐标为(a,0),

2,BO=a,A8=扁,

由题意得：BAXOA.

则在用△Q4B中，由勾股定理：AB2+AO1=BO-,

所以(a-1)-+3+4=a*,解得：a=4,

所以8(4,0).

【总结】本题考查了正反比例函数性质及勾股定理的运用.

察

纽

T观

【练习46］如图,认真分析各式，如何解答问题:

(8+1=2S,=-

^2

(0)2+1=3S--

22

-^

(扬2+1=4S,=2

(1)用含有〃(〃是正整数)的等式表述上述的变化规律;

(2)推算出0A。的长;

A.

S4

S5

4

(3)求出5：+邑2+邑2+…+S；的值.

【答案】(1)S“=乎(〃wN)；

(2)0Ao=布；

(3)—.

4

【解析】(1)由已知式子可得：+i=〃+i,

S"=?(〃eN)；

(2)由图可得：OA=yf\,OAy=2x=y[2,04=2x=V3>

所以OAo=加；

(3)由(1)、(2)得：S：+s；+s：+…+S[j=?l+2+…+10)=变.

【总结】本题考查了勾股定理的运用.

【练习47]如图，在平面直角坐标系中，已知AAOB是等边三角形，点A的坐标是

(0,3),点B在第一象限，点P是x轴正半轴上的一个动点，连接AP,并把AAOP

绕着点A按逆时针方向旋转，使边A0与AB重合，得到△ABD.

(1)当点P运动到点(G，0)时，求此时DP的长及点D的坐标;

若△OPC的面积等于且，请求出符合条件的点P.

(2)

4

【答案】(1)DP=26,£>(26,3)；(2)P2-6

2

【解析】(1)AAOB是等边三角形，NOAB=60°,

AAOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与AB电合,

旋转角=N0A8=/%£)=60°,AD=AP,

：.AAPD是等边三角形，；.DP=AP.

VA(0,3),P(6,0),

AP=[㈣2+3?=2yf3,

AOAP=30,DP=AP=2g,

ZOAD=ZOAP+ZPAD=90°.

.•.点。坐标为(26,3),DP=2>/3.

(2)过点。作。HLr轴于点H,连接。£),

设点P(x,0),因为点P是x轴正半轴上的一个动点，所以OP=x,

易证。4=3+且x,

22

SqpD=g,°P.DH,,

解得：犬=二虫”...x>0,.「=在音.

22

故P点坐标为尸卜夕二更，0.

2

【总结】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质及分类讨论，综合

性较强.

【练习48]已知：在AA8C中，AB=6,AC=5,NA为锐角，"BC的面积为9,点P为

边AB上动点，过点B作BO〃AC,交CP的延长线于点。，NACP的的平分线交AB于

点E.

(1)如图1,当CO_L48时，求PE的长；

(2)如图2,当点E为A8中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、OB的数量关系.

3

【答案】(1)PE=-;(2)AC=CD+BD.

2

【解析】(1)过点E作EFLAC于点F

VCDYAB,SiM)c=^ABCP=9,\-AB=6,CP=3.

在向AACP中，由勾股定理得：AC2=AP2+CP2,

AC=5,.'.AP=4.

•••CE平分ZACP,CDLAB,EFLAC,PE=EF

易证ACPEMACTE,:.CF=CP=3,:.AF=2.

在向AAEF中，AF2+EF2=AE2,:.22+PE2=(4-PE)2,

AC=CD+BD.

【总结】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用及基本图形的应用.

【练习49]如图，已知点A(3,4),ABLX轴，垂足为点B