2025版高中数学课时作业5柱体锥体台体的表面积与体积二新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业5柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)基础巩固1．正方体全面积增大为原来的2倍，则它的体积增大为原来的()A．2倍 B．4倍C.eq\r(2)倍 D．2eq\r(2)倍解析：S全＝6a2，S′全＝6a′2＝2S全，∴a′＝eq\r(2)a.V＝a3，V′＝a′3＝2eq\r(2)a3＝2eq\r(2)V.答案：D2．(2024年安徽高二模拟考试)已知一个简洁几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为()图1A．3π＋6 B．6π＋6C．3π＋12 D.12解析：由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×32×4＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×4＝3π＋6，故选A.答案：A3．(2024年晋冀鲁豫高三月考)若某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为()图2A.eq\f(4,3) B.eq\f(2,3) C．2 D．4图3解析：据三视图分析知，该几何体是如图3所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥C－ADE，且D是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(4,3).答案：A4．(2024年重庆高二月考)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图4所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．图4解析：由图可得π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×x＋3×1×(5.4－x)＝12.6⇒x＝1.6.答案：1.65.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为________．图5解析：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，∴该几何体的体积为V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×1×eq\f(1,2)＝eq\f(13π,6).答案：eq\f(13π,6)实力提升1．(2024年安徽高三检测)一个三棱锥的三视图如图6所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为()图6A．7B．2eq\r(2)C．3D.eq\r(5)解析：由三视图可得三棱锥为如图7所示的三棱锥B1­ABD，其中底面三角形ABD是直角三角形，两直角边分别为AB＝1，AD＝eq\r(3)，BB1⊥底面ABD，且BB1＝2.图7结合图形可得最长的棱为DB1＝eq\r(12＋（\r(3)）2＋22)＝2eq\r(2).故选B.答案：B2．(2024年山东高三模拟)如图8,一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图8所示，则这个四棱锥的体积为()图8A．1 B．2 C．3 D．4解析：由三视图可知高为h＝eq\r(（\r(13)）2－22)＝3，∴V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×3＝2，应选B.答案：B3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()图9A．1∶1 B.1∶eq\r(2) C.1∶eq\r(3) D.1∶2解析：设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD­A1B1C1D1的表面积为S2＝6a2，且三棱锥D1­AB1C为各棱长均为eq\r(2)a的正四面体，其中一个面的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×eq\r(2)a＝eq\f(\r(3),2)a2，所以三棱锥D1­AB1C的表面积为S1＝4×eq\f(\r(3),2)a2＝2eq\r(3)a2，所以三棱锥D1­AB1C的体积与正方体ABCD­A1B1C1D1的表面积之比为S1∶S2＝1∶eq\r(3).故选C.答案：C4．如图10，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P­BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为()图10A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：设正方体棱长为1，则三棱锥P­BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)；三棱锥P­BCD的俯视图取最大面积时，P在A1处，俯视图面积的最大值为1×1＝1，故三棱锥P­BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为2，故选D.答案：D5．如图11，三棱锥A­BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF＝FD，若三棱锥A­BEF的体积是2，则四棱锥B­ECDF的体积为________．图11解析：因为eq\f(S△AEF,S△ACD)＝eq\f(\f(1,2)AE·AF·sinA,\f(1,2)AC·AD·sinA)＝eq\f(1,6)，V正＝6VA­AEF＝12，则VB­ECDF＝10.答案：106．如图12，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1，且h1＝eq\f(1,3)h，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h2，求h2.图12解：因为eq\f(V圆锥SO,V圆锥SO′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2,3)h,h)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，所以eq\f(V水,V圆锥S′O1)＝eq\f(19,27).倒置后的体积关系为eq\f(V水,V圆锥S′O1)＝eq\f(h23,h3)＝eq\f(19,27)，所以h2＝eq\r(3,\f(19h3,27))＝eq\f(\r(3,19),3)h.7．如图13，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1,D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图13(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：图14(1)交线围成的正方形EHGF如图14.(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.长方体被平面α分为两个高为10的直棱柱，其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).拓展要求1．(2024年安徽蚌埠高三其次次质量检查)如图15，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()图15A．15 B．16 C.eq\f(50,3) D.eq\f(53,3)解析：本题主要考查空间几何体的三视图与体积，考查空间想象实力．由三视图可知，该几何体是四棱锥P­ABCD，如图16所示，则该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×4＋eq\f(1,2)×2×2)×5＝eq\f(50,3).图16答案：C2．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解：如图17所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0，所以S侧＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)h0＝75h0.图17上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325eq\r(3)，所以h0＝eq\f(13\r(3),3)(cm)．又O′D′＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm),OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×30＝5eq\r(3)(cm)，记棱台的高为h，则h＝O′O＝eq\r(h02－（OD－O′D′）2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(3),3)))\s\u