2024-2025学年高中数学第二章平面向量及其应用4.2平面向量及运算的坐标表示课后习题含解析北师大版必修第二册

4.2平面对量及运算的坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为()A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2解析因为c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).所以3=λ1+2λ2,4=2λ1+3答案D2.(2024北京房山高一期末)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则()A.c=3a-2bB.c=-3a+2bC.c=-2a+3bD.c=2a-3b解析如图建立直角坐标系,设正方形网格的边长为1,则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),设向量c=ma+nb,则m-2所以c=3a-2b.答案A3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB同方向的单位向量是()A.35,-45C.-35,解析易得AB=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与AB同方向的单位向量为AB|AB|=15(3,-4)答案A4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析设a=k1e1+k2e2,A选项,因为(3,2)=(k2,2k2),所以k2=3B选项,因为(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),所以-k1故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C,D选项同A选项,无解.答案B5.(2024山东临沂高一期中)已知点A(1,2),B(3,x),向量a=(2-x,-1),AB∥a,则()A.x=3时AB与a方向相同B.x=6时AB与C.x=3时AB与a方向相反D.x=-6时AB与解析A(1,2),B(3,x),可得AB=(2,x-2),又a=(2-x,-1),AB∥a,可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2±2,当x=2+2时,AB=(2,2)与a=(-2,-1)方向相反,当x=2-2时,AB=(2,-2)与a=(2,-1)方向相同.答案BD6.(2024北京房山高一期末)已知点A(0,1),B(2,5),C(x,-3),则向量AB的坐标是;若A,B,C三共点线,则实数x=.

解析因为A(0,1),B(2,5),所以AB=(2-0,5-1)=(2,4);向量AC=(x-0,-3-1)=(x,-4),因为A,B,C三点共线,所以AB∥所以2×(-4)-4x=0,解得x=-2.答案(2,4)-27.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+b2的值是.解析因为A,B,C三点共线,所以AB与AC共线,所以存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),所以a-1=-λb-λ答案1实力提升练1.若{i,j}为正交基,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于()A.第一、二象限 B.其次、三象限C.第三象限 D.第四象限解析x2+x+1=x+122+34>0,x2-x+1=x-122+34>0,所以向量a对应的坐标位于第四象限.答案D2.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“”为mn=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),pq=(-4,-3),则q等于()A.(-2,1) B.(2,1)C.(2,-1) D.(-2,-1)解析设q=(x,y),由题设中运算法则,得pq=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),即x-2y=-4,y+2答案A3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于()A.(1,-1) B.(-1,1)C.(-4,6) D.(4,-6)解析因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案D4.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上随意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)D.[-3,3)解析因为平面上随意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面对量的一组基,即a,b为不共线的非零向量,则3m≠2m-3,即m≠-3,故选C.答案C5.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,OQ=nOB,m,n∈R,则1m+解析设OA=a,OB=b,由题意知OG=23×12(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG=OG-OP=13-ma+13b,由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得PQ=λPG答案36.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.解(方法一)设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=由AP,AC共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)解得t=34,所以OP=(4t,4t)=所以点P的坐标为(3,3).(方法二)设P(x,y),则OP=(x,y),因为OP,OB共线,OB=(4,4),所以4x-4y=0.又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,所以点P的坐标为(3,3).素养培优练已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)证明:对于随意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),又mf(a)=(my1,2my1-mx1),