统考版2024高考数学二轮复习专题限时集训6直线与圆抛物线椭圆双曲线理含解析

PAGE专题限时集训(六)直线与圆、抛物线椭圆、双曲线1．(2024·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．9C[法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以yeq\o\al(2,A)＝18p.又点A到焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离为12，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))\s\up7(2)＋y\o\al(2,A))＝12，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C．法二：依据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－eq\f(p,2)的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以eq\f(p,2)＝12－9，解得p＝6.故选C．]2．(2024·全国卷Ⅱ)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA[法一：由题意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，故选A．法二：由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up7(2))＝eq\r(3)，得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，故选A．]3．(2024·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为eq\f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝()A．5B．6C．7D．8D[依据题意，过点(－2,0)且斜率为eq\f(2,3)的直线方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，与抛物线方程联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))消元整理得：y2－6y＋8＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨设M为(1,2)，N为(4,4)．又F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up7(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up7(→))＝(3,4)，从而可以求得eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FN,\s\up7(→))＝0×3＋2×4＝8，故选D．]4．(2024·全国卷Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))A[若双曲线的焦点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n＞0，,3m2－n＞0.))又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋n＞0，,3－n＞0，))∴－1<n<3.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为eq\f(y2,n－3m2)－eq\f(x2,－m2－n)＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－3m2＞0，,－m2－n＞0，))即n>3m2且n<－m2，此时5．(2024·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)B[因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为eq\f(|2×1－1－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)或eq\f(|2×5－5－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)，故选B．]6．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2).∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2).∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝eq\f(b2,a2).而kAB＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2b2，∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3eq\r(2)，∴E的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.]7．(2024·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)A[设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝eq\r(a2＋b2).如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，∴eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即离心率e＝eq\r(2).故选A．]8．(2024·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝eq\r(2)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3eq\r(2)，最小距离是d－r＝eq\r(2).易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故选A．]9．(2024·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8B[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.]10．(2024·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)D[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，eq\r(3)c)．∵点P在过点A，且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故选D．]11．(2024·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B[由题意设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，连接F1A(图略)，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(2)，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选B．]12．(2024·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10A[法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线l1的方程为y＝k1(x－1)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝k1x－1))，得keq\o\al(2,1)x2－2keq\o\al(2,1)x－4x＋keq\o\al(2,1)＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(－2k\o\al(2,1)－4,k\o\al(2,1))＝eq\f(2k\o\al(2,1)＋4,k\o\al(2,1))，同理，直线l2与抛物线的交点满意x3＋x4＝eq\f(2k\o\al(2,2)＋4,k\o\al(2,2))，由抛物线定义可知|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝eq\f(2k\o\al(2,1)＋4,k\o\al(2,1))＋eq\f(2k\o\al(2,2)＋4,k\o\al(2,2))＋4＝eq\f(4,k\o\al(2,1))＋eq\f(4,k\o\al(2,2))＋8≥2eq\r(\f(16,k\o\al(2,1)k\o\al(2,2)))＋8＝16，当且仅当k1＝－k2＝1(或－1)时，取等号．故选A．法二：设直线的倾斜角为α，则|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，则|DE|＝eq\f(2p,sin2α＋\f(π,2))＝eq\f(2p,cos2α)，所以|AB|＋|DE|＝eq\f(2p,cos2α)＋eq\f(2p,sin2α)＝4eq\f(1,cos2α)＋eq\f(1,sin2α)＝4eq\f(1,cos2α)＋eq\f(1,sin2α)(cos2α＋sin2α)＝42＋eq\f(sin2α,cos2α)＋eq\f(cos2α,sin2α)≥4×(2＋2)＝16.]13．(2024·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．(3，eq\r(15))[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心，焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq\r(15))．]14．(2024·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，则C的离心率为________．2[如图，由eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，得F1A＝AB．又OF1＝OF2，得OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2∥OA，BF2＝2OA．由eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，得F1B⊥F2B，∴OA⊥F1A∴OB＝OF1，∠AOB＝∠AOF1，又OA与OB都是渐近线，∴∠BOF2＝∠AOF1，又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°，∴∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，又渐近线OB的斜率为eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，∴该双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2))＝eq\r(1＋\r(3)2)＝2.]15．(2024·全国卷Ⅲ)已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.2[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4x1－4x2，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作抛物线准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，设F为C的焦点．因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB中点，所以MM′平行于x轴．因为M(－1,1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，即k＝2.]16．(2024·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________.4[由直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0知其过定点(－3，eq\r(3))，圆心O到直线l的距离为d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1)).由|AB|＝2eq\r(3)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m－\r(3),\r(m2＋1))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(3))2＝12，解得m＝－eq\f(\r(3),3).又直线l的斜率为－m＝eq\f(\r(3),3)，所以直线l的倾斜角α＝eq\f(π,6).画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝eq\f(π,6).在Rt△CDE中，可得|CD|＝eq\f(|AB|,cosα)＝2eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝4.]1．(2024·西城区一模)设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8A[弦长AB＝eq\r(4－22＋1＋12)＝2eq\r(2)，所以半径为eq\r(2)，中点坐标(3,0)，所以圆的方程(x－3)2＋y2＝2，故选A．]2．(2024·松江区模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)分别过点A(2,0)和点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，eq\f(\r(3),2)))，则该椭圆的焦距为()A．eq\r(3)B．2C．2eq\r(3)D．2eq\r(5)C[由题意可得a＝2，且eq\f(1,a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，解得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝4－1＝3，所以c＝eq\r(3)，所以焦距2c＝2eq\r(3)，故选C．]3．(2024·江岸区模拟)已知圆心为(1,0)，半径为2的圆经过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的三个顶点，则C的标准方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B[由题意得，圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±eq\r(3)；令y＝0，可得x＝－1或3.由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a＝3，b＝eq\r(3)，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1，故选B．]4．(2024·宝鸡二模)已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l切于点P(3，eq\r(3))，则直线l的方程为()A．3x－eq\r(3)y－6＝0 B．x－eq\r(3)y－6＝0C．x＋eq\r(3)y－4＝0 D．x＋eq\r(3)y－6＝0D[圆C：x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，所以直线PC的斜率为kPC＝eq\f(\r(3)－0,3－2)＝eq\r(3)，所以直线l的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线l的方程为y－eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－3)，即x＋eq\r(3)y－6＝0，故选D．]5．(2024·会宁县模拟)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线6x－3y＋1＝0垂直，则该双曲线的离心率为()A．2B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(\r(10),2)D．2eq\r(3)B[∵双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线6x－3y＋1＝0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x.∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，得4b2＝a2，c2－a2＝eq\f(1,4)a2.则离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2).故选B．]6．(2024·宝安区校级模拟)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝2，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．3B．4C．5D．6D[椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中a＝5.如图，可得OM是三角形PF1F2的中位线，∵|OM|＝2，∴|PF2|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|＝6，故选D．]7．(2024·吉林月考)阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是闻名的物理学家，也是闻名的数学家，他利用“靠近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为eq\f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1D[由题意可得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，eq\f(12π,π)＝ab，因为a2＝b2＋c2，解得a2＝16，b2＝9，又因为椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，故选D．]8．(2024·烟台期末)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为()A．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1D[直线AB的斜率k＝eq\f(1－0,2－3)＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得：eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，由eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－1，eq\f(x1＋x2,2)＝2，eq\f(y1＋y2,2)＝1，代入化简得eq\f(2,a2)－eq\f(1,b2)＝0.又c＝3，a2＝b2＋c2，联立解得a2＝18，b2＝9.∴椭圆M的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.故选D．]9．(2024·吕梁一模)直线l：mx－y＋1－4m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝25交于P，Q两点，则弦长|PQA．[6,10]B．[6,10)C．(6,10]D．(6,10)C[圆C：x2＋(y－1)2＝25的圆心C(0,1)，半径r＝5，直线l：mx－y＋1－4m＝0⇒m(x－4)－y＋1＝0过定点M(4,1)，并在圆C内，∴|PQ|最长为直径，PQ最短时，点M(4,1)为弦PQ的中点，即CM⊥PQ时，算得|PQ|＝2eq\r(52－42)＝6，但此时直线斜率不存在，∴取不到6，即|PQ|的范围是(6,10]．故选C．]10．(2024·青岛模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P是准线l上的一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up7(→))＝3eq\o(FQ,\s\up7(→))，|QF|＝eq\f(4,3)，则p的取值为()A．eq\f(7,2)B．eq\f(5,2)C．3D．2D[由已知得焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线l：x＝－eq\f(p,2)，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，y0))，Q(x1，y1)，∵eq\o(FP,\s\up7(→))＝3eq\o(FQ,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)－\f(p,2)，y0))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(p,2)，y1))，即x1＝eq\f(p,6)，∴|QF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)p＝eq\f(4,3)，即p＝2，故选D．]11.(2024·梅河口模拟)如图，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线C左，右两支分别交于点B，A，若△ABF1为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\r(6)xD[设AB＝BF1＝AF1＝m，依据双曲线的定义可知：BF2－BF1＝2a，即m＋AF2－m＝AF2＝2且AF1－AF2＝2a，即m－2a＝2a，所以m＝4a，则BF2＝6a，在△BF1F2中，cos∠F1BF2＝eq\f(BF\o\al(2,2)＋BF\o\al(2,1)－F1F\o\al(2,2),2BF1·BF2)＝eq\f(36a2＋16a2－4c2,2·4a·6a)＝eq\f(1,2)，整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a则b＝eq\r(6)a，所以渐近线方程为y＝±eq\r(6)x，故选D．]12．(2024·潍坊模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(3,2eq\r(3))的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|NM|等于()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶eq\r(3)C[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以kFM＝eq\f(2\r(3),3－1)＝eq\r(3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\r(3)x－1，))可得3x2－10x＋3＝0，所以x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|FN|,|MN|)＝eq\f(x2＋\f(p,2),x1＋x2＋p)＝eq\f(\f(1,3)＋1,3＋\f(1,3)＋2)＝eq\f(1,4).故选C．]13.(2024·长沙模拟)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))，则eq\f(3,e1)＋eq\f(e2,3)的最小值为()A．6＋2eq\r(3)B．6＋2eq\r(2)C．8D．6C[设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，则e1＝eq\f(c,a)，e2＝eq\f(c,a′)，设|PF2|＝m，由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：|PF1|＋|PF2|＝2a⇒a＝eq\f(m,2)＋c，|PF2|－|PF1|＝2a′⇒a′＝eq\f(m,2)－c，则eq\f(3,e1)＋eq\f(e2,3)＝eq\f(3a,c)＋eq\f(c,3a′)＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(m,2))),c)＋eq\f(c,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)))＝6＋eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)),c)＋eq\f(c,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)))≥6＋2eq\r(\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c)),c)·\f(c,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－c))))＝8，当且仅当a＝eq\f(7,3)c时，取等号，故选C．]14．(2024·湛江模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8eq\r(2)，则|AB|＝()A．6B．9C．9eq\r(2)D．6eq\r(2)B[由抛物线的方程可得焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由题意可得，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x＝my＋eq\f(p,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线与抛物线联立可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))整理可得y2－2mpy－p2＝0，∴y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2，因为eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－x1，－y1))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)，y2))，所以y1＝－2y2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＝2mp，,－2y\o\al(2,2)＝－p2，))可得eq\f(1,2)＝eq\f(4m2,1)，所以|m|＝eq\f(1,2\r(2))，所以|y2|＝eq\f(2p,2\r(2))＝eq\f(\r(2)p,2)，|y1|＝2|y2|＝eq\r(2)p，所以S△CFA＝eq\f(1,2)|CF|·|y1|＝eq\f(1,2)p·eq\r(2)p＝8eq\r(2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝m(y1＋y2)＋2p＝2m2p＋2p＝2×eq\f(1,8)×4＋8＝9，故选B．]15．(2024·赣州模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为()A．2B．3C．4D．5B[设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)，过M作l的垂线，垂足为E，依据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的学问可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为CE＝2－(－1)＝3，故选B．]16．(2024·赤峰模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2＋9)＋eq\f(y2,a2)＝1，F1，F2是其左右焦点，若对椭圆C上的随意一点P，都有eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))>0恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－3,0)∪(0,3)B．[－3,0)∪(0,3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C[椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形中，∠F1PF2最大时点P为短轴上的顶点，要使eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＞0恒成立，则∠F1PF2为锐角，即∠F1PO＜45°，即tan∠F1PO＝eq\f(c,b)＜1，所以c2＜b2，而c2＝a2－b2＝a2＋9－a2＝9，所以9＜a2，解得a＞3或a＜－3，故选C．]17．(2024·洛阳模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P(2，eq\r(3))在双曲线上，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))成等差数列，则该双曲线的方程为()A．x2－y2＝1 B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1A[设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点坐标分别为(－c,0)，(c,0)，因为|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，所以2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|＝4c，又点P(2，eq\r(3))在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a解得|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2＋c2＋\r(3)2)＝2c＋a，,\r(2－c2＋\r(3)2)＝2c－a，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋c2＋\r(3)2＝4c2＋4ac＋a2，①,2－c2＋\r(3)2＝4c2－4ac＋a2，②))，①－②得：8c＝8ac，所以又点P(2，eq\r(3))在双曲线上，所以eq\f(22,a2)－eq\f(\r(3)2,b2)＝1，将a＝1代入，解得b2＝1，所以所求双曲线的方程为x2－y2＝1，故选A．]18．(2024·衡水模拟)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，则|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝()A．9B．6C．4D．3B[抛物线y2＝4x焦点坐标F(1,0)，准线方程：x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∵eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，点F是△ABC重心，则eq\f(x1＋x2＋x3,3)＝1，∴x1＋x2＋x3＝3.由抛物线的定义可知：|FA|＋|FB|＋|FC|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6，∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝6，故选B．]19．(2024·安庆二模)直线l是抛物线x2＝2y在点(－2,2)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于()A．0B．eq\f(6\r(5),5)C．eq\f(6\r(5),5)－2D．eq\f(6,5)C[抛物线x2＝2y，即y＝eq\f(x2,2)，y′＝x，在点(－2,2)处的切线斜率为－2，则切线l的方程为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0，所以圆心(2,0)到l的距离是eq\f(6,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5)，圆的半径为2，则点P到直线的距离的最小值是eq\f(6\r(5),5)－2，故选C．]20．(2024·深圳二模)已知抛物线y2＝8x，过点A(2,0)作倾斜角为eq\f(π,3)的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为()A．eq\f(16,3)B．eq\f(8,3)C．eq\f(16\r(3),3)D．8eq\r(3)A[由题意，直线l方程为y＝eq\r(3)(x－2)，代入抛物线y2＝8x整理得3x2－12x＋12＝8x，∴3x2－20x＋12＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(20,3)，∴弦BC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(4\r(3),3)))，∴弦BC的中垂线的方程为y－eq\f(4\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(10,3)))，令y＝0，可得x＝eq\f(22,3)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)，0))，∵A(2,0)，∴|AP|＝eq\f(16,3).故选A．]21．(2024·济宁模拟)已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－y2))2，则()A．M的最小值为eq\f(2,5) B．M的最小值为eq\f(4,5)C．M的最小值为eq\f(8,5) D．M的最小值为eq\f(12,5)B[由题意，M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值可转化为函数y＝lnx－x＋2图象上的点与直线x＋2y－4－2ln2＝0上的点的距离的最小值的平方，由y＝lnx－x＋2，得y′＝eq\f(1,x)－1，与直线x＋2y－4－2ln2＝0平行的直线斜率为－eq\f(1,2)，令eq\f(1,x)－1＝－eq\f(1,2)，解得x＝2，所以切点的坐标为(2，ln2)，切点到直线x＋2y－4－2ln2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2ln2－4－2ln2|,\r(1＋4))＝eq\f(2\r(5),5)，即M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为eq\f(4,5)，故选B．]22．(2024·泉州模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c，F1，F2是E的左、右焦点，点P是圆(x－c)2＋y2＝4c2与E的一个公共点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为________．eq\r(2)－1[依题意可得|F1F2|＝|PF2|＝2c，又因为△PF1F2为直角三角形，所以∠PF2F1＝90°，故|PF1|＝eq\r(2)·|F1F2|，eq\r(2)·2c＋2c＝2a，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，所以e＝eq\r(2)－1.]23．(2024·淮安模拟)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4eq\r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为________．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1[设椭圆C的焦距为2c(c＞0)，如图所示，由于△F2AB是面积为4eq\r(3)的等边三角形，则eq\f(1,2)|AB|2×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝4eq\r(3)，得|AB|＝4，即△F2AB是边长为4的等边三角形，该三角形的周长为12＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，解得a＝3，由椭圆的对称性可知，点A、B关于x轴对称，则∠AF2F1＝eq\f(π,6)且AB⊥x轴，所以|AF2|＝2|AF1|＝4，∴|AF1|＝2，∴2c＝|F1F2|＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3)，则b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(6)，因此，椭圆C的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.]24．[一题两空](2024·临沂模拟)已知圆心在直线x－3y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，且截x轴所得的弦长为4eq\r(2)，则圆C的方程为________，则点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，5))到圆C上动点Q的距离最大值为________．(x－3)2＋(y－1)2＝98[设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0)，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3b＝0，,a＝r，,b2＋8＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，,r＝3，))所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9，设点P(6,5)到圆心C(3,1)的距离为d＝eq\r(6－32＋5－12)＝5，则点P(6,5)到圆C上动点Q的距离最大值为d＋r＝5＋3＝8.]25．(2024·洛阳模拟)已知双曲线C：eq\f(4,3)x2－4y2＝1的左焦点恰好在抛物线D：y2＝2px(p≠0)的准线上，过点P(1,2)作两直线PA，PB分别与抛物线D交于A，B两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，则点A，B的纵坐标之和为________．－4[由题意知，双曲线C的左焦点F(－1,0)，抛物线D的准线x＝－eq\f(p,2)，由左焦点F(－1,0)在准线x＝－eq\f(p,2)上，故p＝2，则抛物线方程为y2＝4x.设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，则kPA＋kPB＝0⇒eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝0⇒eq\f(4,y1＋2)＋eq\f(4,y2＋2)＝0⇒y1＋y2＝－4.]26.(2024·平谷区一模)设直线l过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，且与圆C：x2＋y2－2y＝0相切于点B，那么eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝________.3[由圆C：x2＋y2－2y＝0配方为x2＋(y－1)2＝1，C(0,1)，半径r＝1.∵过点A(0，－1)的直线l与圆C：x2＋y2－2y＝0相切于点B，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＝eq\o(AC,\s\up7(→))2－r2＝3.]27．(2024·衡水模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(－1,0)．若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|－|BF|＝________.4[依题意，将(1，－2)代入抛物线的方程中，可得y2＝4x，则F(1,0)，如图，设直线l的倾斜角为α，则|AF|＝|AF|cosα＋|QF|＝|AF|cosα＋2，∴|AF|＝eq\f(2,1－cosα)，同理|BF|＝eq\f(2,1＋cosα)，∴|AF|－|BF|＝eq\f(2,1－cosα)－eq\f(2,1＋cosα)＝eq\f(4cosα,1－cos2α)，∵以QF为直径的圆经过点B，∴BQ⊥BF,∴|BF|＝eq\f(2,1＋cosα)＝2cosα，即cosα＝1－cos2α，∴|AF|－|BF|＝eq\f(4cosα,cosα)＝4.]1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离是eq\f(\r(3),2)，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3C[抛物线y2＝4x的焦点(1,0)到双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线bx－ay＝0的距离是eq\f(\r(3),2)，可得eq\f(b,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)，可得b2＝3a2，所以c2＝4a2，因为e＞1，所以双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝2，故选C．]2．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不行能为()A．eq\f(x2,15)－eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,15)＝1C．eq\f(y2,3)－eq\f(x2,12)＝1 D．eq\f(y2,21)－eq\f(x2,7)＝1C[依题意，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x或y＝±eq\r(3)x，视察选项可知，双曲线的方程不行能为eq\f(y2,3)－eq\f(x2,12)＝1.故选C．]3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为θ，且cosθ＝eq\f(\r(5),5)，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(5)B．eq\f(\r(5),2)C．2D．4A[设双曲线的半个焦距为c，由题意θ∈[0，π)，又cosθ＝eq\f(\r(5),5)，则sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，tanθ＝2，eq\f(b,a)＝2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up7(2))＝eq\r(5)，故选A．]4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，倾斜角为eq\f(π,6)的直线交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为2eq\r(3)，则p的值为()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．4C[由题意设直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋t，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\f(\r(3),3)x＋t，))得eq\r(3)y2－6py＋6pt＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点的纵坐标为2eq\r(3)，则y1＋y2＝eq\f(6p,\r(3))，∴eq\f(6p,\r(3))＝4eq\r(3)，∴p＝2.故选C．]5．已知P为圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))2＋y2＝1上随意一点，A，B为直线l：3x＋4y－7＝0上的两个动点，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝3，则△PAB面积的最大值为()A．9B．eq\f(9,2)C．3D．eq\f(3,2)B[由题意知圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1,0)，半径为1，则圆心到直线的距离为eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝eq\f(|－3－7|,5)＝2，所以圆上的点到直线的最大距离为2＋1＝3，所以S△PAB的最大值为eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，故选B．]6．圆x2＋y2＝4被直线y＝eq\r(3)x＋2截得的劣弧所对的圆心角的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°D[由题意，设直线y＝eq\r(3)x＋2与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB，如图所示，由圆x2＋y2＝4的圆心坐标为O(0,0)，半径为r＝2，得圆心O到直线y＝eq\r(3)x＋2的距离为d＝eq\f(|2|,\r(\r(3)2＋12))＝1，在直角△AOM中，cos∠AOM＝eq\f(OM,OA)＝eq\f(1,2)，所以∠AOM＝60°，所以∠AOB＝120°，即截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，故选D．]7．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)的最小值是()A．2eq\r(3)B．eq\f(32,3)C．eq\f(20,3)D．eq\f(16,3)B[由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0，得圆心坐标为(－2,6)，又圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0对称，∴－2a－6b＝－6，即a＋3b＝3，得eq\f(a,3)＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(6,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)＋b))＝eq\f(20,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥eq\f(20,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝eq\f(32,3).当且仅当a＝b时上式等号成立．∴eq\f(2,a)＋eq\f(6,b)的最小值是eq\f(32,3).故选B．]8.如图所示，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满意∠AFB＝120°，且|BF|＝2|AF|，则双曲线C的离心率是()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(7),2)C．eq\r(3)D．eq\r(7)C[连接AF′，BF′，由条件可得|BF|－|AF|＝|AF′|－|AF|＝|AF|＝2a，则|AF|＝2a，|BF|＝4a，∠F′所以F′F2＝AF2＋BF2－2AF·BFcos60°，可得4c2＝4a2＋16a2－16a2×eq\f(1,2)即4c2＝12a2，所以双曲线的离心率为e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(3).故选C．]9．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>eq\r(3)a>0)的左，右焦点分别为F1，F2，斜率为eq\r(3)的直线过点F2且交C于A，B两点．若|BF2|＝2|F1F2|，则C的离心率为()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(2＋\r(7),3)C．2＋eq\r(5)D．2＋eq\r(3)D[∵b＞eq\r(3)a＞0，∴eq\f(b,a)＞eq\r(3).可得过点F2斜率为eq\r(3)的直线C交于A，B两点，A，B在异支，∵|BF2|＝2|F1F2∴|BF1|＝4c－2在△BF1F2中，由余弦定理可得：(4c－2a)2＝4c2＋16c2－2×2c×4c×eq\⇒c2－4ac＋a2⇒e2－4e＋1＝0，∵e＞1，∴e＝2＋eq\r(3)，故选D．]10．过抛物线x2＝12y的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，则|BC|＝()A．4B．4eq\r(3)C．6D．8D[作BM⊥CP，AN⊥CP，BH⊥AN，如图，因为eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，不妨设BF＝x，所以AF＝3BF＝3x，AB＝4x，依据抛物线的定义可得，BM＝BF＝HN＝x，AN＝AF＝3x，FP＝p＝6，则AH＝AN－HN＝3x－x＝2x，所以sin∠ABH＝sin∠ACN＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(1,2)，则CF＝12，CB＝2x，则CF＝CB＋BF＝3x＝12，所以x＝4，则BC＝2x＝8，故选D．]11．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0，y0)是双曲线C上的一点，满意eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，若点P的纵坐标的取值范围是y0∈eq\f(2,3)c，eq\f(4,5)c，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．(eq\r(2)，2) B．(2,4)C．(3,5) D．(eq\r(3)，eq\r(5))D[由eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，可得xeq\o\al(2,0)－c2＋yeq\o\al(2,0)＝0，又eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b4,c2)，由于y0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)c，\f(4,5)c))，所以eq\f(2,3)＜eq\f(b2,c2)＜eq\f(4,5)，eq\f(2,3)＜1－eq\f(1,e2)＜eq\f(4,5)，eq\f(1,5)＜eq\f(1,e2)＜eq\f(1,3)，因为e＞1，所以eq\r(3)＜e＜eq\r(5).故选D．]12．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1与直线l：y＝eq\r(3)x，P为直线l上一动点，若圆上存在点A，使得∠CPA＝eq\f(π,6)，则|PC|的最大值为()A．2eq\r(3)B．4C．2D．4eq\r(3)C[圆C：(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标为C(2,0)，半径为1，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2\r(3)－0|,2)＝eq\r(3)＞1，可知直线与圆相离，由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径2R＝eq\f(|AC|,sin\f(π,6))＝2，P为直线l上一动点，当直线PA与圆相切时，此时|PC|为外接圆的直径，取得最大值为2.故选C．]13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点D(3,0)的直线交抛物线C于点A，B，若|eq\o(FA,\s\up7(→))|－|eq\o(FB,\s\up7(→))|＝eq\r(13)，则eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝()A．－9B．－11C．－12D．2eq\r(3)A[设直线AB方程为x＝my＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|eq\o(FA,\s\up7(→))|－|eq\o(FB,\s\up7(→))|＝eq\r(13)，∴x1－x2＝eq\r(13)⇒(x1＋x2)2－4x1x2＝13联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋3，,y2＝4x，))可得y2－4my－12＝0.∴y1＋y2＝4m，y1y2∵(y1y2)2＝16x1x2，∴x1x2＝9，∴x1＋x2＝7.则eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝－9.故选A．]14．设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)C[由题意可得右顶点A(a,0)，F(c,0)，设B(－x1，－y1)，C(x1，y1)，因为直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋x1,2)，\f(y1,2)))，所以B，F，M三点共线，即eq\f(y1,c＋x1)＝eq\f(\f(y1,2),\f(x1＋a,2)－c)，可得c＋x1＝x1＋a－2c，可得a＝3所以离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，故选C．]15．设椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F1(0,1)，M(3,3)在椭圆外，点P为椭圆上的动点，若|PM|－|PF1|的最小值为2，则椭圆的离心率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)A[由通用的定义可得|PF1|＝2a－|PF2所以|PM|－|PF1|＝|PM|＋|PF2|－2a，当且仅当P，M，F2三点共线时，|PM|＋|PF2|－2所以|PM|－|PF1|的最小值为|MF2|－2a再由题意c＝1，F2(0，－1)，|MF2|＝eq\r(32＋3＋12)＝5，所以2a＝5－2＝3，即a＝eq\f(3,2)，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\f(3,2))＝eq\f(2,3)，故选A．]16．已知点B(4,0)，点P在曲线y2＝8x上运动，点Q在曲线(x－2)2＋y2＝1上运动，则eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值为()A．eq\r(3)B．4C．eq\r(5)D．6B[如图，设圆心为F，则F为抛物线y2＝8x的焦点，该抛物线的准线方程为x＝－2，设P(x，y)，由抛物线的定义得|PF|＝x＋2，要使eq\f(|PB|2,|PQ|)最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|＝|PF|＋1＝x＋3，且|PB|＝eq\r(x－42＋y2)＝eq\r(x2＋16).∴eq\f(|PB|2,|PQ|)＝eq\f(x2＋16,x＋3)，令x＋3＝t(t≥3)，则x＝t－3，∴eq\f(|PB|2,|PQ|)＝t＋eq\f(25,t)－6≥4，当t＝5时取“＝“，此时x＝2.∴eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值为4.故选B．]17．P是双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为()A．eq\r(3)B．2C．eq\r(7)D．3A[如图所示F1(－eq\r(7)，0)，F2(eq\r(7)，0)，设内切圆与x轴的切点是点H，与PF1，PF2的切点分别为M，N，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1H|，|F2N|＝|F2H故|MF1|－|NF2|＝2eq\r(3)，即|HF1|－|HF2|＝2eq\r(3)，设内切圆的圆心横坐标为x，即点H的横坐标为x，故(x＋eq\r(7))－(eq\r(7)－x)＝2eq\r(3)，所以x＝eq\r(3).]18．已知双曲线C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\r(2)))且渐近线为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是()①C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1；②C的离心率为eq\r(3)；③曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点；④直线x－eq\r(2)y－1＝0与C有两个公共点．A．①②B．①③C．①②③D．①③④B[对于①：由已知y＝±eq\f(\r(3),3)x，可得y2＝eq\f(1,3)x2，从而设所求双曲线方程为eq\f(1,3)x2－y2＝λ，又由双曲线C过点(3，eq\r(2))，从而eq\f(1,3)×32－(eq\r(2))2＝λ，即λ＝1，从而①正确；对于②：由双曲线方程可知a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，从而离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，所以②错误；对于③：双曲线的右焦点坐标为(2,0)，满意y＝ex－2－1，从而③正确；对于④：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)y－1＝0，,\f(x2,3)－y2＝1，))整理，得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，由Δ＝(2eq\r(2))2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，④错误．故选B．]19．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若F1，M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(2\r(5),5)D．eq\f(\r(5),5)D[由已知可知，若F1，M是线段AB的三等分点，则M为AF1的中点，所以AF2∥OM，所以AF2⊥x轴，A点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(b2,2a)))，M，B关于F1对称，易知B点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(b2,2a)))，将其代入椭圆方程得a2＝5c2，所以离心率为eq\f(\r(5),5)，故选D．]20