2025届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及简单几何性质教学案含解析新人教A版

PAGE1-第5节椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.驾驭椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质.知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论与微点提示]1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1.2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中；(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq\f(2b2,a).5.AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).诊断自测1.推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以e越大，则eq\f(b,a)越小，椭圆就越扁.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(老教材选修2－1P49T1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________________________.解析因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝13.(老教材选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x＞0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，∴P点坐标为(eq\f(\r(15),2)，1)或(eq\f(\r(15),2)，－1).答案(eq\f(\r(15),2)，1)或(eq\f(\r(15),2)，－1)4.(2024·北京卷)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A.a2＝2b2 B.3a2＝4b2C.a＝2b D.3a＝4b解析因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B.答案B5.(2024·东北三省四校调研)过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1解析由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq\f(x2,λ＋5)＋eq\f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq\f(9,λ＋5)＋eq\f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.答案A6.(2024·浙江卷)已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.解析设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.依据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2.又因为|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠MFF′＝eq\f(|MF′|,|MF|)＝eq\f(\r(|FF′|2－|MF|2),|MF|)＝eq\r(15)，即直线PF的斜率是eq\r(15).答案eq\r(15)第一课时椭圆及简洁几何性质考点一椭圆的定义及其应用【例1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上随意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆(2)(2024·河北九校联考)设F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________________.解析(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，依据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，又知△PF1F2的面积为9，∴eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9.又知b>0，∴b＝3，又知△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2－c2＝9，∴a－c＝1，②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.答案(1)A(2)eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1规律方法1.椭圆定义的应用主要有：推断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.【训练1】(2024·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A.2eq\r(3) B.6 C.4eq\r(3) D.2解析由椭圆的方程得a＝eq\r(3).设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).答案C考点二椭圆的标准方程【例2】(1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,35)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1(2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________.解析(1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2eq\r(3)>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝eq\r(3)，c＝1，∴b＝eq\r(2)，∴动点P的轨迹方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故选D.(2)法一若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.综上所述，椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.法二设椭圆的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，则由题意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3×2\r(n)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3×2\r(m)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝81.))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.答案(1)D(2)eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1规律方法依据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：依据题目所给条件确定动点的轨迹满意椭圆的定义.(2)待定系数法：依据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.(3)椭圆系方程①与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1共焦点的椭圆系为eq\f(x2,a2－k)＋eq\f(y2,b2－k)＝1(k<b2).②与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有共同的离心率的椭圆系为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(λ>0).【训练2】(1)(2024·亳州模拟)椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上两动点P，Q总使PF1QF2为平行四边形，若平行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为8和2eq\r(3)，则椭圆的标准方程可能为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1(2)(2024·岳阳调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为________________.解析(1)如图，由四边形PF1QF2周长为8，可知4a＝8，所以a＝2.当P，Q为短轴端点时，四边形的面积最大，故2bc＝2eq\r(3)，即bc＝eq\r(3).椭圆方程可以是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故选C.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).∵P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,2a＝4c，))又知a2＝b2＋c2，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝\r(6)，))∴所求椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.答案(1)C(2)eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1考点三椭圆的几何性质多维探究角度1椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】(2024·泉州质检)已知椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A.8 B.7 C.6 D.5解析因为椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.答案A规律方法1.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.2.与椭圆几何性质有关的问题要留意数形结合、分类探讨思想的应用.角度2椭圆的离心率【例3－2】(1)(2024·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)(2)(2024·南阳模拟)设M是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若△PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为________.解析(1)不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)∵圆M与x轴相切于焦点F，∴不妨设M(c，y)，又知点M在椭圆上，则有eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)，∴圆M的半径r＝eq\f(b2,a)，若△PMQ为等边三角形，则eq\f(\r(3),2)·eq\f(b2,a)＝c，即eq\r(3)b2＝2ac，又知b2＝a2－c2，∴eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，两边同时除以a2，整理得eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，又∵0<e<1，∴e＝eq\f(\r(3),3)，即椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),3).答案(1)C(2)eq\f(\r(3),3)规律方法求椭圆离心率的方法(1)干脆求出a，c的值，利用离心率公式干脆求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【训练3】(1)(角度1)(2024·武汉模拟)曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等(2)(角度2)(2024·成都质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋1解析(1)曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为eq\f(4,5).曲线eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2eq\r(25－k)，短轴长为2eq\r(9－k)，焦距为8，离心率为eq\f(4,\r(25－k)).比照选项，知D正确.(2)不妨设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.故选A.答案(1)D(2)A考点四与椭圆定义、性质有关的最值范围问题多维探究角度1与椭圆定义有关的最值问题【例4－1】(2024·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.5解析易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，依据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5，故选D.答案D规律方法解决与椭圆定义有关的最值问题，留意应用|PF1|＋|PF2|＝2a，同时对称和转化思想是解决问题的关键.角度2与椭圆有界性有关的最值(范围)问题【例4－2】已知点A(0，2)及椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上随意一点P，则|PA|的最大值是________.解析设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∴|PA|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－2)2.∵eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，∴|PA|2＝4(1－yeq\o\al(2,0))＋(y0－2)2＝－3yeq\o\al(2,0)－4y0＋8＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(28,3).∵－1≤y0≤1，而－1<－eq\f(2,3)<1，∴当y0＝－eq\f(2,3)时，|PA|eq\o\al(2,max)＝eq\f(28,3)，即|PA|max＝eq\f(2\r(21),3).答案eq\f(2\r(21),3)规律方法椭圆的范围或最值问题经常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，在求椭圆的相关量的范围时，要留意应用这些不等关系，同时留意应用函数思想处理最值问题.角度3与离心率有关的最值(范围)问题【例4－3】(一题多解)(2024·江西大联考)椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满意eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析法一设点M的坐标为(x0，y0)，∵eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋yeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2.①又知点M在椭圆G上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，②由①②联立结合a2－b2＝c2解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2（c2－b2）,c2)，由椭圆的性质可得0≤xeq\o\al(2,0)≤a2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a2（c2－b2）,c2)≥0，,\f(a2（c2－b2）,c2)≤a2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c2≥b2，,c2－b2≤c2，))所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥eq\f(1,2)，又知0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1，故选D.法二∵椭圆G上存在点M使eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2，即△MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形，∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，∴|MF1|＋|MF2|≤2eq\r(2)c，∴e＝eq\f(|F1F2|,|MF1|＋|MF2|)≥eq\f(2c,2\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2)，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝eq\r(2)c时，等号成立，又知0<e<1，∴e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).故选D.答案D规律方法解决椭圆离心率的最值或范围问题，留意应用椭圆的性质建立不等关系，同时留意椭圆的离心率e∈(0，1).【训练4】(1)(角度1)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上随意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.(2)(角度2)设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满意∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)(3)(角度3)(2024·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(10),5) C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(2\r(10),5)解析(1)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线且P在线段MF2上时取得等号，又|MF2|＝eq\r(（6－3）2＋（4－0）2)＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.(2)①当焦点在x轴上，依题意得0<m<3，且eq\f(\r(3),\r(m))≥taneq\f(∠AMB,2)＝eq\r(3).∴0<m<3且m≤1，则0<m≤1.②当焦点在y轴上，依题意m>3，且eq\f(\r(m),\r(3))≥taneq\f(∠AMB,2)＝eq\r(3)，∴m≥9，综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).(3)不妨设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)，与直线l的方程联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq\r(5)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,a)≤eq\f(\r(5),5)，所以e的最大值为eq\f(\r(5),5).答案(1)－5(2)A(3)AA级基础巩固一、选择题1.(2024·张家口调研)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点坐标为()A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)解析依据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).答案B2.(2024·兰州一中月考)若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆，则m的取值范围是()A.(－3，5) B.(－5，3)C.(－3，1)∪(1，5) D.(－5，1)∪(1，3)解析由方程表示椭圆知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))解得－3<m<5且m≠1.答案C3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(3)，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.答案D4.(2024·湖北重点中学联考)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为()A.eq\f(4,3) B.1 C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)解析不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，可得A点纵坐标为eq\f(3,2)，故|AB|＝3，所以由S＝eq\f(1,2)Cr得内切圆半径r＝eq\f(2S,C)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).答案D5.(2024·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图.不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由点B在椭圆上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案B二、填空题6.若椭圆eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率e＝eq\f(1,2)，则k的值为______.解析(1)若焦点在x轴上，即k＋8>9>0时，a2＝k＋8，b2＝9，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(k－1,k＋8)＝eq\f(1,4)，解得k＝4.(2)若焦点在y轴上，即0<k＋8<9时，a2＝9，b2＝k＋8，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1－k,9)＝eq\f(1,4)，解得k＝－eq\f(5,4).综上，k＝4或k＝－eq\f(5,4).答案4或－eq\f(5,4)7.(2024·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.解析不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2eq\r(36－20)＝8，因为△MF1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.因为点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋4）2＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq\r(15)).答案(3，eq\r(15))8.(2024·昆明诊断)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.解析记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).答案(－3，0)或(3，0)三、解答题9.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，m>0.∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(m（m＋2）,m＋3)>0，∴m>eq\f(m,m＋3)，∴a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(m（m＋2）,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点的坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).10.(2024·福建四地七校调研)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.解(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)))，代入椭圆方程可得eq\f(1,4)＋eq\f(a2,4b2)＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq\f(\r(6),3).(2)由(1)得椭圆E的方程为eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1）－1，,x2＋3y2＝3b2))⇒(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.∴x1＋x2＝eq\f(6k（k＋1）,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3（k＋1）2－3b2,3k2＋1).又x1＋x2＝2，∴k＝eq\f(1,3)，∴x1x2＝eq\f(16－9b2,4)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(\r(10),3)eq\r(4－4·\f(16－9b2,4))＝2eq\r(5)，∴b2＝eq\f(10,3)，则a2＝10，∴椭圆E的标准方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,\f(10,3))＝1.B级实力提升11.(2024·德阳诊断)设P为椭圆C：eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为()A.24 B.12 C.8 D.6解析∵P为椭圆C：eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2eq\r(49－24)＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8.答案C12.(2024·合肥模拟)椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线PA1斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))解析设P(x，y)，由eq\f(x2,4)