2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.1.5三视图学案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．5三视图1．了解三视图的概念．2．理解三视图的画法特征．3．会画简洁几何体的三视图．1．正投影(1)定义：在物体的平行投影中，假如投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．(2)正投影的性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．2．三视图(1)三视图的定义①水平投射面、俯视图：一个投射面水平放置，叫做水平投射面；投射到这个平面内的图形叫做俯视图．②直立投射面、主视图：一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面；投射到这个平面内的图形叫做主视图．(也有的叫做正视图)③侧立投射面、左视图：和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．(也有的叫做侧视图)④将空间图形向水平投射面、直立投射面、侧立投射面作正投影，然后把这三个投影按肯定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．(2)三视图的画法要求①三视图的主视图、俯视图、左视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．③记忆口诀a．长对正，高平齐，宽相等；b．主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽．1．画出如图所示的正三棱柱和圆台的三视图．解：题图(1)所示的正三棱柱的三视图如图(3)所示(3)题图(2)所示的圆台的三视图如图(4)所示(4)2．三视图与直观图的联系与区分是什么？解：三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区分：①三视图从细微环节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形态．正投影问题如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()【解析】因为三个关键点M，N，D在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1的中点，AD的中点及点D，故选A．【答案】Aeq\a\vs4\al()正投影问题是一种新奇题型，在解决这类问题时肯定要牢牢把握一个原则：过主要点向投射面作垂线，得到投影点，连点成线，由线得图．如图所示，E，F分别为正方风光 ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的面上的正投影可能是下图中的________．解析：在面ADD′A′和面BCC′B′的正投影如图③所示，在其他面上的正投影如图②所示．答案：②③几何体三视图的画法画出如图所示的正四棱锥的三视图．【解】四棱锥的三视图如图所示．eq\a\vs4\al()(1)在画三视图时，务必做到主(视图)左(视图)高平齐，主(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)左(视图)宽相等．(2)三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方．1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()解析：选D．由三视图的画法可知，该几何体的左视图应为选项D．2．画出如图所示几何体的三视图．解：图①为六棱柱，可按棱柱的三视图画法画出；图②为一个圆柱与一个长方体的组合体，按圆柱、长方体的三视图画出它们的组合形态，三视图如图所示．由三视图还原为实物图如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．【解】画法：(1)画轴．如图(1)，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．(2)画圆柱的两底面．先画出底面⊙O．在z轴上取O′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′(与画⊙O一样)．(3)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图(2)．eq\a\vs4\al()由三视图还原为实物图是由几何体画三视图的逆向思维，在还原时要首先确定好投视方向，要从三视图所反映的几何体的轮廓线推想该几何体的大致形态，又要依据三视图画图规则中反映的对齐关系画准其大小比例．还要弄清虚实线的含义，综合分析，想象实物图，从而精确无误画实物图(直观图)．已知某几何体的三视图如图所示，试画出其直观图．解：由三视图可知，该几何体由正方体和四棱柱组成，如图所示．1．三视图是指主视图、俯视图和左视图，画图时应遵循“长对正、高平齐、宽相等”或“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”的原则，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不行见轮廓线要用虚线画出．2．画组合体的三视图的步骤3．由三视图画直观图的步骤1．画三视图时要留意的问题(1)先画主体部分，后画次要部分．(2)几个视图要协作着画．一般是先画主视图再确定左视图和俯视图．(3)组合体的各部分之间要画出分界线．2．由三视图画直观图的留意事项一个几何体一旦视察的方向确定，则三视图是唯一的，但从三视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性．例如球的主视图是圆，但主视图是圆的几何体还可以是圆柱、圆锥等．1．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D．正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形，球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故选D．2．一件物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的________，长度与主视图一样，左视图放在主视图的______，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．答案：下面右面3．某个几何体的三视图如图，这个几何体是________．答案：圆锥,[学生用书P85(单独成册)])[A基础达标]1．有一个圆柱形笔筒如图放置，它的左视图是()答案：C2．下列说法中正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图肯定是三个全等的正方形解析：选C．球的三视图与它的摆放位置无关，从任何方向看都是圆．3．如图所示，有且仅有两个视图相同的几何体是()A．①② B．①③C．①④ D．②④解析：选D．在这四个几何体中，图②与图④均只有主视图和左视图相同．4．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()解析：选A．由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．主视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B错；左视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错．5．某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不行能是()解析：选D．由于该几何体的主视图和左视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不行能是D．6．如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如图；③存在圆柱，其主视图、俯视图如图．其中真命题的个数是__________．解析：①②③均是正确的，对于①，底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；对于②，长方体即符合题意；对于③，圆柱平卧．所以共有3个真命题．答案：37．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________．解析：要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的，可得在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是图①；在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是图②；在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是图③．答案：①②③8．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的主视图(如图所示)的面积为8，则左视图的面积为________．解析：设该三棱柱的侧棱长为a，则2a＝8，所以a＝4．该三棱柱的左视图是一个矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，为eq\r(3)，所以左视图的面积为4eq\r(3)．答案：4eq\r(3)9．如图是一个几何体的直观图，试画出它的三视图．解：该组合体是一个正六棱柱中间挖去了一个圆柱，它的三视图，如图所示．10．如图是一个棱柱的三视图，请依据三视图的作图原则列出方程组，求出x，y的值．解：棱柱的底面是一个直角三角形，依据“长对正，高平齐，宽相等”的原则可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝8，,x－y＋5＝3y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,x－4y＝－5，))解得x＝7，y＝3．[B实力提升]11．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B．从主视图和俯视图可解除A、C，由左视图可知D错误．故选B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于________．解析：由三视图可知此几何体的直观图如图所示，其中AB⊥AC，DC⊥AC，DC⊥BC，则BC＝eq\r(32＋42)＝5，DA＝eq\r(32＋52)＝eq\r(34)，DB＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，因为5＜eq\r(34)＜5eq\r(2)，所以最长的棱长为5eq\r(2)．答案：5eq\r(2)13．如图是依据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)，试画出它的三视图．解：这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成