2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第1课时余弦定理习题含解析新人教A版必修第二册

.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后篇巩固提升基础达标练1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=()A.1 B.2 C.4 D.6解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).答案C2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sinC的值为()A. B. C. D.解析由余弦定理,得cosC=.因为C∈(0,π),所以C=,sinC=.故选C.答案C3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不行以是()A.1 B.2 C.3 D.4解析若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>,故<a<.答案ACD4.假如将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形态是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加的长度确定解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cosθ=.因为m2>0,a+b-c>0,所以cosθ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.答案A5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为()A. B. C. D.3解析在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cosA=,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sinA=3sin60°=.故选B.答案B6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为.

解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cosC==-,且0<C<π,∴C=.答案7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cosA=.

解析由B=C,得b=c=a.由余弦定理,得cosA=.答案8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为;最小角的余弦值为.

解析由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为C,cosC=.答案309.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的度数为.

解析由余弦定理,得2accosB·tanB=ac,整理,得sinB=,所以B=60°或120°.答案60°或120°实力提升练1.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=,则最大角的余弦值是()A.- B.- C.- D.-解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cosA==-.答案C2.(2024吉林长春高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC()A.肯定是锐角三角形 B.肯定是直角三角形C.肯定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形解析由>0得-cosC>0,所以cosC<0,从而C为钝角,因此△ABC肯定是钝角三角形.答案C3.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A. B.C. D.解析cosB==,∵0<B<π,∴B∈.答案A4.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=.

解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=,所以sin∠ABD=.答案5.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.

解析因为sin∠BAC=,且AD⊥AC,所以sin,所以cos∠BAD=.在△BAD中,由余弦定理,得BD==.答案6.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cosθ=<0,解得<a<8.综上可知实数a的取值范围是(2,8).素养培优练在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的大小;(2)求AB的长.解(