湖北省重点高中智学联盟高二年级上册期末联考数学试题

湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高二年级期末联考

数学试题

命题学校：薪春县第一高级中学命题人：邵海建审题人：张蕾

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

a1

1.数列｛"/满足XJ%，则%021=（）

125

A——B.-C.-D.3

232

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求生021的值.

1

【详解】——，4=3,

1-4

11

•.a=-----二—

21-42

12

•a3=；=T，

1一%3

1-。3

，数列｛%｝是以3为周期的周期数列，

•____J_

,•〃2021=〃2+3x673==一］，

故选：A.

2.直线xcosa+by+2=0的倾斜角范围是

5

B.0,—u一n，兀

66

o,9万n5

C.D.—,一万

666

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，设直线的倾斜角为。，根据直线方程，求得—无＜tan，V走,

即可求解.

33

【详解】由题意，设直线的倾斜角为。

直线xcosa+6y+2=0的斜率为k=—

即浮tan，邛,c万泊,

又由，e[0,i）,所以0,—u

6

故选B.

【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运

算能力，属于基础题.

2

3.与双曲线V—L=1有相同的焦点，且短半轴长为2百的椭圆方程是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先求得双曲线的焦点坐标以及焦点所在坐标轴，然后求得椭圆的。力,从而求得椭圆方程.

2

【详解】双曲线V—三=1的焦点在y轴上，且焦点为（0,土君），

所以椭圆的焦点在y轴上，且°=石，

依题意，椭圆短半轴匕=26，则a=J/+c2=5,

22

所以椭圆的方程为匕+土=1.

2520

故选：B

4.等比数列｛4｝的各项均为实数，其前〃项和为S,,,已知$3=14,s6=y,则%=（）

11

A.2B.-C.4D.-

2A

【答案】B

【解析】

【分析】通过讨论9的取值情况，确定qwl，利用等比数列的求和公式S,=4（1一,）,建立方程组，求

i—q

出q和4=8,进而求得为的值.

【详解】当公比4=1时，S3=3q可得q=甘，代入$6=601=28,与其二号矛盾，所以4/1；由

%（1寸）_]4

S3=

等比数列的前九项和公式S=%（［二匕）,可得＜"q

'l—q6。一力_63

^6=

1-q4

a91

两式相除，得1+^=7,可解得9=

82

当q时，代入原式可求得4=8,则由等比数列的通项公式%=囚义/=8义I14

故选：B

5.已知点尸为抛物线C：9=2/（夕＞0）的焦点，过点p且倾斜角为60。的直线交抛物线。于A,8两点,

若|冏・|四|=3,贝|P=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线A3的方程，代入。的方程，设

4（%,％）,8（%2，%），根据根与系数关系即可得出石+々,X］%与。的关系，通过抛物线上的点到焦点的

距离与该点到抛物线准线距离相等可知|E4|=g+Xi，|EB|=”+/，代入|E4|-|FB|=3即可转化为关于

2的二元一次方程，即可求解.

【详解】由题意知/l，。］"的方程为y=G（x—9，代入C的方程，得3——5内+手=0,

设g,y”（孙%），则芯+%当3=勺；

因|出=^+玉,怛邳=5+尤2,且1M・1用|=3,

所以1曰+Xi][~^+工2J=3,整理得5+5（玉+x2）+XjX2=3,

所以乙+".2+乙=3,结合。>0,解得〃=3.

42342

故选：C

6.若为圆C：（x—2y+（y—2）2=1上任意两点，p为直线3x+4y—4=0上一个动点，则

/MPN的最大值是（）

A.45B.60C.90D.120

【答案】B

【解析】

【分析】由图上易知，当P不动时，PM,PN为两切线角最大,再将4/PN的最值问题转化为PC的最

值问题可求.

如图，尸6为两切线，p为直线3x+4y—4=0上一个点,

所以NMPN</APB当PM,PN为两切线是取等号；

又ZAPB=2ZAPC,故只需求(sinNAPC)1mx,

AT

sinZAPC=—=2,

PC

1TTTT

(sinZAPC)ZAPC=ZAPB=-

'/max263

故选：B

7.在平面直角坐标系中，定义W+|y|称为点p（x,y）“5和”，其中。为坐标原点，对于下列结论：（1）

"5和''为1的点P（x,y）的轨迹围成的图形面积为2；（2）设尸是直线2x—y-4=0上任意一点，则点

P(x,y)的“5和”的最小值为2；⑶设尸是直线奴-y+b=O上任意一点，则使得“5和”最小的点有无

数个”的充要条件是。=1;(4)设P是椭圆/+六=1上任意一点，贝『'3和"的最大值为班.其中正确的

结论序号为()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)

C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据新定义“5和”，通过数形结合判断(1)正确，通过研究函数最值对选项(2)(3)(4)逐一判断即可.

【详解】⑴当N+|y|=l时，点P(x,y)的轨迹如图，其面积为2,正确；

(2)尸是直线2x—y—4=0上的一点，y=21一4,

4-3x,x<0,

.•.国+田二国+|2]—4]=<4一1,0<%<2,可知，x<0,0vxv2时递减，时递增，故国+忖的

3x-4,x>2,

最小值在x=2时取得，(|x|+|y|)min=2,正确；

(3)同(2),国+仅|=冈+麻+4，可知当a=±l时，都满足，“3和”最小的点有无数个，故错误;

X=cos0,

(4)可设椭圆参数方程为《:.国+\y\=|cos0\+|A/2sin6>|,

y=yflsin&

易知其最大值为石，正确.

故选：B.

【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“5和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即

突破难点.

/_i\n+2015

8.若数列{4},{a}的通项公式分别是4=（—1）"+2。1%,优=2+口------且％,＜仅对任意〃eN*恒成

n

立，则实数。的取值范围是（）

A."1]B1.2,JC1.2,|]D.1,|]

【答案】C

【解析】

【分析】对九分奇数和偶数进行讨论，结合对任意"CN*恒成立，即可求得实数。的取值范围.

【详解】当“为奇数时，由己知名＜包，所以—。＜2+！，a＞-\2+-,

n\nJ

因为%V2对任意〃£N*恒成立，

所以q＞-f2+—j,

L'1」max

所以12—2,

当〃为偶数时，an-a,bn=2--,

n

因为为＜么对任意nGN*恒成立，

3

所以a＜一,

2

3

综上：—2V1＜一.

2

故选：C

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=”第一枚正面朝上"，事件3="第二枚正面朝上”，则下

列结论正确的是（）

A.P（A）=1B.P（AB）=1C.事件A与B互斥D.事件A与3相互独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误.

【详解】对于AB,抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有｛正，正｝,｛正，反｝,｛反，正｝,｛反，

反｝,其中满足事件A的有｛正，正｝,｛正，反｝两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有｛正，

正｝一种情况，

211

：.P（A）=-=~,P（AB）=-,A正确，B正确；

事件A与事件3可以同时发生，，事件A与事件B不互斥，C错误；

事件A的发生不影响事件8的发生，，事件A与事件8相互独立，D正确.

故选：ABD.

10.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）

A.若数列｛。“｝的前几项和+Zw+c（a,4c为常数）则数列｛4｝为等差数列

B.若数列｛4｝的前n项和S“=2H+1-2,则数列｛%｝为等差数列

C.数列｛%｝是等差数列，S〃为前〃项和，则",凡"-5〃,53“-525..仍为等差数列

D.数列｛为｝是等比数列，S.为前〃项和，则邑,52“一5〃,53〃一52门..仍为等比数列.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，结合等差数列、等比数列通项公式和前几项和的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】根据题意，结合等差数列、等比数列的性质依次分析：

对于A中，若数列｛4｝的前几项和Sn=an'+bn+c,

当c=0时，由等差数列的性质，可得数列｛4｝为等差数列；

当C/0时，则数列｛4｝从第二项其为等差数列，所以A不正确；

对于B中，若数列｛%｝的前几项和S〃=2向-2,

可得％=工=2,g=52-S1=4,«3=S3-S2=8,则成等比数列，

则数列｛g｝不是等差数列，所以B不正确；

对于C中，数列｛%｝是等差数列，S）,为前九项和，则S.E"—5〃鸟,一$2”,…

即为+a2++an->an+l+an+2++“2"，”2"+1+”2"+2++%"，''

可得S2“—5“=邑”—S2”—S2”=・=n2d（常数），仍为等差数列，所以C正确;

对于D中，数列｛%｝是等比数列，S,为前几项和，

当q=—1时，若〃为偶数时，5〃,邑”一5”,53”一52门..均为0,不是等比数列，

所以｛%｝是等比数列，Sn为前九项和，则Sn,反“-Sn,S3n-S2n,...不一定为等比数列.

故选：ABD.

11.已知正方体ABC。—的棱长为2,M为。A的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点,

A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为兀

7T

B.若MN与平面A8CD所成的角为一，则N的轨迹为圆

3

C.若N到直线BBI与直线DC距离相等，则N的轨迹为抛物线

TT

D.若RN与A8所成的角为则N的轨迹为双曲线

【答案】BCD

【解析】

【分析】设中点为H,NW中点为。，连接尸。，计算出尸。可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算

出DN,可判断B；根据抛物线定义可判断C；以ZM、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，利用

向量的夹角公式计算可判断D.

（详解】对于A,设MN中点为H,0M中点为Q,连接HQ,则HQ//DN,且HQ=^DN,

如图，若MN=2,则所以ON?=叱2—=4—1=3,DN=6，则HQ=等，所以点H的轨

迹是以。为圆心，半径为走的圆，面积S=7i，=至，故A错误；

24

2

DMTVDM—____7

对于B,tanZMND=——，NMND=—,则〃八一n~3,所以N的轨迹是以。为圆心，半径

DN3tan-

3

为正的圆，故B正确;

3

对于C,点N到直线8瓦的距离为BN,所以点N到定点8和直线。C的距离相等，且8点不在直线。C

上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；

对于D,如图，以ZM、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设

N（”0）,R（0,0,2）,A（2,0,0）,5（2,2,0）,

DNAB12yl

所以2N=（x,y,-2）,AB=（0,2,0）,cos60=

2

ccZ___=1

化简得3y2_炉=4,即44-\所以N的轨迹为双曲线，故D正确;

22

12.己知椭圆C：三+£=1（。〉6〉0）的左，右焦点分别是耳，F],其中归国=2c.直线/过左焦

点《与椭圆交于A,8两点，则下列说法中正确的有（

A.若存在AABF2,则△A3K的周长为4a

b2

B.若A8的中点为则左0".左==

a

若至・然=3。2,则椭圆的离心率的取值范围是

D.若|A到最小值为3c,则椭圆的离心率e=；

【答案】AC

【解析】

【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出后.R=x：+y；-c2,进而根据A在椭圆

22

上进行消元得到J%；+/—2/,然后结合椭圆的范围得到2片的范围，最后求出离心率的

aa

范围；根据A3的最小值为通径的长度生求得答案.

a

【详解】对A,根据椭圆的定义△A3K的周长为|+|34|+|A巴|+||=4。，故A正确;

对B,设4（%,%）,3（%2，%），则瓦（西,所以1=%,%=%+%,

K2

+%

2F

〃=1=X；—X；।弁―£—0=（%+%）（%—%）22

由bb

N2—，即左.”.左=-4，故B错误;

%1

+〃2b（%+x2）（石-x2）aa~

2F——I

〃

•Jr、

对C,AFJ-A与=（-c一石，一yJ（c-X],-yj=片+y；-°2,根据y；=Z?21--\

Ia）

222222

AF.AF2=^-xf+a-2ce[«-2c,a-c],则/-2c?<3c?</一。?=>e=工e，故

aa52

C正确;

2

对D,容易知道，A3的最小值为通径长度2b工工所以妾2b-=3c,整理为

aa

2b~=3ac=^2（a2-c2}=3ac,Bp2c2+3ac-2a2=0.两边同时除以〃，得2e2+3e—2=0，解得:

e=~,或e=—2（舍），所以椭圆的离心率e=L,故D错误.

22

故选：AC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设点M在直线x+y-1=0上，一/与>轴相切，且经过点（—2,2）,则的半径为.

【答案】1或5##5或1

【解析】

【分析】由点/在直线x+y—1=0上设加（。,1—。），圆与V轴相切，

应用数形结合可得出。与半径的关系，

再根据圆经过点（-2,2）也可写出。与半径的关系，求解即可.

【详解】由点M在直线x+y—1=0上，设

又训与。轴相切,且经过点（-2,2）,

半径r=|a|=J（a+2）2+（1-a-2产,且a<0.

解得a=-l或a=-5.则M的半径为1或5.

故答案为：1或5

14.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列

就叫做“和差等比数列已知｛。“｝是“和差等比数列“，4=2,4=3,则使得不等式4〉10的”的最小

值是.

【答案】5

【解析】

【分析】根据“和差等比数列”的定义，依次求得生，%，%的值，从而求得正确答案.

氏+。［5L

【详解】依题意，-~-7=5,

%—61

〃3+〃2_43+3_-冷力/曰_9

一-5,斛付《=二，

//―32

解得54

-8一

54

女旦=3^=5,解得%=型>10,

%一百

所以使得不等式an〉10的〃的最小值是5.

故答案为：5

22

15.己知圆（X—2）2+y=9与x轴的交点分别为双曲线C：鼻一4=1（。>0,6>0）的顶点和焦点，设耳，居

ab

\PFX

分别为双曲线C的左，右焦点，尸为。右支上任意一点，则J』的取值范围为__________.

愿|+4

9

【答案】（1,小

【解析】

I明Z-4

=1+

【分析】根据题意求出双曲线方程，令/=|尸闾e[4,+o））,根据双曲线定义可得：|pF|2+4^4,

t

然后利用函数的单调性即可求出结果.

【详解】因为（X—2）2+V=9与X轴交点的坐标分别为（—1,0）,（5,0）,

由题意可知：a—\->c=5,

因为尸为C右支上任意一点，根据双曲线的定义有I尸图—|%|=2a=2,

归耳「_（t+2）2_t2+4t+4_4

即归£|=2闾+2,令"|尸闾[4,转），则府二=了工=下丁二？，

t

444

因为/+—在[4,+s）上为增函数，所以1+―24+—=5,

tt4

所以『eQ乳所以1+7£0可，即归?6（1,：.

t+~t+-\PF2[+45

9

故答案为：（1,1].

16.在棱长为1的正方体ABC。—44GR中，P是线段3C1上的点，过A的平面a与直线。。垂直，

当尸在线段BG上运动时，平面a截正方体ABCD-A.B.C.D.所得截面面积的最小值是.

【答案】近

2

【解析】

【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积最小即可.

【详解】当尸在8点时，平面AC£A，平面a截正方体ABC。-ABIGR所得的截面面积为:

1义0=0是最大直

当尸在C1点时，DG，平面，平面a截正方体ABC。—A4GR所得的截面面积为:

1义0=0是最大值.

当尸由8向C1移动时，平面a截正方体ABC。—A4CR所得的截面4班"E由A向8移动，当产到

BG的中点时，取得最小值，如图

此时E为AB的中点，产为2G的中点，（尸在底面ABCD上的射影为£归，H是的中点，此时

ECLDH,可得DP_LEC,同理可得DP1.B,可证明。尸，平面AECR），

AE=CE=1,AC=6,EF=6,四边形AECE是菱形，所以平面a截正方体ABC。—44Goi

2

所得的截面面积为：--EF-AC=-x^xV3=—是最小值.

222

故答案为：也

2

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.已知线段A3的端点3（4,3）,端点A在圆。：（》+1）2+/=4上运动.

（1）点M在线段A3上，且AM=』AB,求点/的轨迹方程；

3

（2）若直线丁=左（％—2）与点M的轨迹相交，求实数人的取值范围.

【答案】⑴。+6—1）2=9

7

（2）k<—

24

【解析】

【分析】（1）利用相关点法即可求得点M的轨迹方程；

（2）利用直线与圆相交列出关于实数上的不等式，解之即可求得实数人的

【小问1详解】

设点M（x,y）,

f_3、

x-xQ=—（4-%O）%=5%-2

由题意可得即<；可得，33，

%=三-万

因为点A在圆。上，所以（%+1）2+y；=4,

即（'x—"=4,化简可得（x—g]2/八216

+（y-i）=丁

故点/的轨迹方程为1x—j+（y-l）2=^.

【小问2详解】

由(1)得点M的轨迹方程为(X—g[+(y—1)2=T，

此圆圆心坐标为[l，1],半径为g.

2>1-1

由直线y=Mx—2)与点M的轨迹相交，可得(3J4,

y/i+e<3

77

解之得左<——，则实数化的取值范围为左<.

2424

18.甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个.现分

别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：

直径误差(mm)-0.3-0.2-0.10+0.1+0.2+0.3

从甲加工的钢球中抽到的个数26820563

从乙加工的钢球中抽到的个数14724662

(1)估计这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球的个数；

(2)以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为-0.2mm的钢球中抽取5个,

再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；

(3)你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由.

【答案】⑴1062；

(2)—；

10

(3)乙更符合标准，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过±0.1mm的个数即可；

(2)先求出比例，结合古典概型的概率计算即可；

(3)观察表格中的数据，即可下结论.

【小问1详解】

由题意知，加工直径误差不超过M).1mm的钢球中，

3337

甲：——x600=396个，乙：——x900=666个，

5050

所以这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球一共有396+666=1062个；

【小问2详解】

甲、乙加工钢球的总数之比为600:900=2:3,

所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A,B,,乙占3个，记为a,b,c

从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab.ac,be,共十个,

则全是乙加个的基本事件为：ab.ac,bc,共3个;

3

所以所求概率为。=一；

10

【小问3详解】

乙加工的钢球更符合标准.

理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm的个数：甲有20个，乙有24个，20<24；甲生产

的钢球中误差达到±0.3的个数较多.

19.已知双曲线C的焦点/（2,0）和离心率e=2’.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线/:y=Ax+0与曲线C恒有两个不同的交点A和且。4.O3>2，求上的取值范围.

【答案】（1）土—丁二

3-

【解析】

【分析】（1）利用双曲线焦点求出C,再通过离心率求出。，即可根据双曲线性质求出6,再通过焦点所在

轴确定双曲线形式，代入。，6即可得出答案；

（2）联立直线与双曲线方程消去y利用已知结合判别式列出不等式转化求解得出Z的初步取值范围，再通

过设出A,2坐标，利用韦达定理得出占+%与斗％2与4的关系，通过。4.03>2得出%马+%%〉2,

再转化为左的不等式得出左的另一个范围，最后综合即可得出答案.

【小问1详解】

双曲线C的焦点为歹（2,0）,

「.c=2,且焦点在工轴上,

双曲线C的离心率6=个上

3

c2也

..——-----,

a3

a=A/3，

:.b—4(？—=1，

，双曲线。的方程为：—-/=1；

3

【小问2详解】

联立直线与双曲线方程消去y得：(1—3/)V—6后"-9=0,

；直线/:y=履+0与曲线C恒有两个不同的交点A和8,

△=72左2+360—3左2)〉0

・1-3上2

解得左2<1且左2,1

3

设点A(ax),5(九2,%),

而66k_9

%+“2=匚犷，%％=一匚/，

\x2+yxy2=xxx2+（气+6）（kx、+

=（左2+1）/9+0左（玉+々）+2,

3左2+7

3k2—1

又OA.OB>2）

x；x2+yxy2>2,

342+7

>2,

3k②—T

1,

解得—<左2<3,

3

:.-<k2<1,

3

则人的取值范围为：-1,--^-

20.已知正项数列｛4｝的前〃项和S“，满足S“=2%-2(〃eN*),数列也｝的前〃项积为加.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令g=a/,,求数列的前"项和.

、CnCn+\.

【答案】(1)4=2"(“eN*)

(2)前2项和为2—1(〃eN*)

【解析】

【分析】(1)首先令〃=1,求出首项q=2,当时，根据a〃=S"—S“_］求出｛4｝为等比数列，然后

根据等比数列的通项公式进行求解即可.

(2)首先求出他,｝的通项公式，进而通过(1)求出g的通项公式，代入，后利用裂项相消的方法进

行求和即可.

【小问1详解】

由题意：S“=2a”—2,(〃eN*)①，

当”=1时，可得q=2,

当时，S“T=2a“_i-2(n»2,〃eN*)②，

由①-②得：an=2«„_122,"eN*),

由%为正项数列，得｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列.

因此可得％=2.2"T=2"eN*)

【小问2详解】

由于数列也｝的前〃项的乘积为〃!，

当〃=1时，得4=1；

当论2时，得1=(，])!=7z(〃22/eN*)；

-4=1符合通项，故得勿="(〃eN*).

n

由(1)可知：cn=anbn=n-2,

%("+2)2+2]ii]

%・%+向[n-T伍+1)2'，'

令北为的前几项和，

CJ4+1

/111111111C1

"(卜限2-222-223-233-234-24n-2n(H+1)-2,,+1J(n+l)-^1'

21.图1是直角梯形ABC。，AB//CD,/。=90。，四边形A8CE是边长为2的菱形，并且/BCE=60。,

以BE为折痕将△8CE折起，使点C到达G的位置，且AC1=6.

m1图2

(1)求证：平面3。1石，平面ABED

(2)在棱。C上是否存在点P,使得点P到平面ABC1的距离为巫？若存在，求出直线“与平面

5

A3。所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，叵

5

【解析】

【分析】(1)在图1中，连接4C,交BE于0,由几何关系可得ACOA=OC=5结合图2

易得NAOC]是二面角A—BE—C]的平面角，由勾股定理逆定理可证OALOG，进而得证；

(2)以Q4,OB,OCX为无，》z轴建立空间直角坐标系，设DP=2Dq,2e[0,l],求得AP，同

\AP-n\

时求出平面ABC1的法向量〃=(x,y,z),由点面距离的向量公式d=求得X,进而求得理，结合

向量公式可求直线EP与平面ABC,所成角的正弦值.

【小问1详解】

如图所示：

在图1中，连接AC,交班于O,因为四边形ABCE是边长为2的菱形，并且NBCE=60。，所以ACJ.5E,

且OA=OC=技

在图2中，相交直线OA,。。均与BE垂直，所以ZAOC1是二面角A-BE-Q的平面角，因

为Aq=屈,所以的2+%；=鸡,OA1OQ,所以平面BG,E1平面ABED;

【小问2详解】

由(1)知，分别以Q4,OB,。。1为x,y,z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则

q(o,o,73),A(73,O,O),B(O,I,O),E(O,-I,O),DQ=一等，|，G，

AD=—¥，一|，0，AB=(-73,1,0),AC,=(-73,0,73),AE=(-^3-1,0),

设DP=ADCi，2e[0,l]，

则AP=AD+DP=AD+ADC.-2,--+-2,732.

I2222J

设平面ABC,的法向量为〃=(羽y,z),

AB•n=a—y3x+y=01

则〈一，取〃=

ACX-n=0—A/3X+A/3Z=0

因为点P到平面ABC,的距离为孚,

AP-n'2』+2®

所以d——；-i——,解得2=-,

\n\忑52

则孚43所以石―口¥5f

设直线EP与平面ABC,所成的角为0,

所以直线EP与