重难点专项突破03实际问题与二次函数（6种题型）（解析版）

重难点专项突破03实际问题与二次函数（6种题型）【题型细目表】题型一：图形问题题型二：图形运动问题题型三：拱桥问题题型四：销售问题题型五：投球问题题型六：喷水问题【考点剖析】题型一：图形问题一、解答题1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）果农小张准备投资观光采摘水果项目：在如图的正方形果园（阴影部分）中种植水果，在正方形果园四周建造宽2.5m的观光道路．建造道路的成本为80元/m2，第一季水果销售，预计平均每平方米获得毛利润20元．(1)当果园边长为米时，设第一季水果销售的毛利润减去道路建造成本后的利润为元，求与之间的函数解析式．(2)当为何值时，的值最小？(3)要使得，求的最小值（精确到，）．【答案】(1)(2)当时，最小(3)边长的最小值为43【分析】（1）根据题意，数形结合即可得到与之间的函数解析式；（2）将（1）中化为顶点式为，由二次函数图像与性质即可得到答案；（3）由（1）可知，满足条件的值，先解出，再由二次函数图像与性质求解即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知，，与之间的函数解析式；（2）解：由（1）知，,抛物线开口向上，当时，有最小值；（3）解：由（1）知，当时，，解得，，（负值，舍弃），由二次函数图像与性质可知，要使得，的最小值约为．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数解实际应用题、二次函数图像与性质、二次函数与方程及不等式的关系等知识，读懂题意，准确找到函数关系式是解决问题的关键．2．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）如图1所示，装置是王老师设计的用来画二次函数图像的工具．直角三角板可以在直板L上滑动，其中，在边处，存在像拉链一样可以展开的细线，一端固定在定点A处．点P处为拉链展开处，且随着三角板的移动，开始时，点D，A，B在同一直线上，点P为中点．点P处的铅笔头可以画出点P移动的轨迹．在画轨迹时，需保持细线拉直，如图2．(1)根据题意得，与的关系为：___________；(2)若已知点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点；①用x，y表示出和的长；②若长，那么三角板向右滑动的最大距离是多少？【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）根据题意可得点在的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得答案；（2）①根据点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点，则可得点，，进而得出答案；②根据，从而得出点的纵坐标最大为，根据题意得出抛物线解析式，进而得出点横坐标的最大距离．【详解】（1）解：根据题意点在的垂直平分线上，∴，故答案为：；（2）①∵点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点，∴，，∴，；②由（1）得，即，∴，整理得，∵，∴得最大值为，∴点的纵坐标最大为，∴，解得：，∴此时点的横坐标为，∴三角板向右滑动的最大距离为．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，垂直平分线的性质，读懂题意，清楚理解题目中所给的信息是解本题的关键．3．（2023·浙江·九年级专题练习）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上．（1）当点在线段上时，①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？【答案】（1）①；②饲养场的宽为11米；（2）饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．【分析】（1）①根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度．②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可．（2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值．【详解】解：（1）①∵饲养场BDEF是一个“日”形，∴四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形．∴DE=BF，DB=GH=EF．∵EF=x，∴DB=GH=EF=x．又∵AB=3，∴．∴．∴．故答案为：（）．②∵要求所围成的饲养场的面积为66平方米，∴．∴．解得，，∵点在线段上，且BC=9，∴，即．解得．∴x=11，即饲养场的宽为11米．答：饲养场的宽为11米．（2）设饲养场的面积为，的长为米．①当点在线段上时，根据（1）可得：，∵，∴当时，有最大值，最大值为，且当时，随的增大而减小．∵当点在线段上时，需满足，∴时，有最大值，最大值为（平方米）．此时，满足点F在线段BC上．②当点在线段的延长线上时，设DE为y米，由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，，∵BC=9，∴．∴．∴．解得．∴．∴．∵，∴当时，有最大值，最大值为（平方米）．此时，满足点F在线段BC的延长线上．∵，∴饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．答：饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义．4．（2023·浙江杭州·校考一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)x的值为2m；(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；；（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x=时，S有最大值，最大值为，即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）．在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表材料甲乙价格（元/）6030设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元．(1)的长为______米（用含x的代数式表示）；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由．【答案】(1)(2)(3)够用，理由见详解．【分析】（1）通过线段的数量关系直接求解．（2）根据数量关系直接列函数即可．（3）先根据二次函数的图像与性质求出函数最小值，直接比大小即可．【详解】（1），，四个阴影部分是四个全等的矩形，，，，故答案为：；（2）每个矩形阴影部分面积为，中心区正方形的面积为，，由题可知，，解得，；（3），对称轴为，中心区的边长不小于3，，，当时，y随x增大而增大，即时，，1万幅作品消耗的费用为690万；，当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用．【点睛】此题考查实际问题和二次函数中的图形问题，用到了数形结合的思想，将图形的面积用二次函数表示出来，解题关键是在自变量的取值范围中取到二次函数的最大值，自变量的取值范围容易被忽略，是易错点．6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求A、C两点的坐标；（2）当为轴对称图形时，求抛物线的解析式；（3）当关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，；；（3）存在，；；；．【分析】（1）分别令代入解析式求出坐标即可；（2）当为轴对称图形时时，要进行分论讨论所有存在的情况，求出点的坐标，根据两根式求出解析式；（2）利用分论讨论思想和图形关于轴的对称性来求解．【详解】解：（1）当时，，解得：；当时，；，（2）当时，有一种情况：设，，由两点间距离公式得：，解得：（与重合，舍去）、、根据两根式，设抛物线的解析式为：，将点代入上式，解得：，当时，有一种情况：同理：设，，由两点之间的距离公式得：，解得：，、、由两根式，设抛物线的方程为：，将点代入上式，解得：，当时，有两种情况：同理：设，，由两点之间的距离公式得：，解得：，分论如下：、、由两根式，抛物线的方程设为：，将点代入上式，解得：，、、由两根式，抛物线的方程设为：，将点代入上式，解得：，（3）由（2）知，抛物线解析式为当为正方形一边时，设，，①当在x轴上方，且为正方形一边时，，根据对称性；有；②当在x轴下方，且为正方形一边时，，根据对称性：有；当为正方形对角线时时，设，解得：，③当在x轴上方，且为正方形对角线时，，有；④当在x轴下方，且为正方形对角线时，，有．【点睛】本题考查了求解函数与坐标轴的交点坐标，分类讨论求解二次函数的解析式，动点问题，是函数与几何问题的综合题型，题目较难，解题的关键是：利用数形结合的思想，进行分类讨论，逐一解决．7．（2023秋·浙江宁波·九年级校考期末）已知抛物线．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3，B（0，3），C（﹣1，0）(2)y＝﹣x+3，P的坐标为（1，2）(3)D（，）或（，）．【分析】（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m可求得m的值，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐标；然后根据抛物线的对称性求得对称轴，进而确定点C的坐标；（2）先用待定系数法即可求得直线AB的解析式，把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；（3）过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，表示出DE，然后根据三角形面积公式得到关于x的方程，解方程求得x的值即可．【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），∴C（﹣1，0）．（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，∵把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，∴P的坐标为（1，2）．（3）解：∵抛物线有一点D（x．y），∴D（x，﹣x2+2x+3），过D点作DE⊥x轴，交直线AB于E，∴E（x，﹣x+3），∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴DE=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+2x∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，∴S△ABD＝S△ABC＝，∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，∴DE·（3-x）+DE·x=（﹣x2+3x）×3＝，解得x＝，∴y＝﹣x2+2x+3＝或∵在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y）∴D（，）或（，）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积等知识点，求出相关点的坐标是解题的关键．题型二：图形运动问题一、单选题1．（2023·浙江温州·统考三模）如图，正方形的边长为，点P，Q同时从点A出发，速度均为，若点P沿向点C运动，点Q沿向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分两种情况讨论：当Q、P两点分别在、上时，可得，；当Q、P两点分别在、上时，连接，可得，，根据的面积为正方形的面积减去面积、面积和面积，进而有，，综上可以求出S与t的关系式，即可求解．【详解】解：当Q、P两点分别在、上时，，，的面积为：，；当Q、P两点分别在、上时，连接，如图所示：根据题意有：，则，∵正方形的边长为，∴，∴，同理可得，∵根据的面积为正方形的面积减去面积、面积和面积，∴，∴，∴，，则有，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的知识，掌握函数图象的性质以及分类讨论是解答本题的关键．二、填空题2．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，在中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为______．【答案】1或【分析】因为、运动到不同位置时，的面积不同，所以对的取值范围进行分类，，，，然后进行分别求解即可.【详解】解：四边形是平行四边形，由图得：∴，，当时，，，是等边三角形，，，解得，（舍去）；当时，如图，，，，，解得：（舍去）；当时，如图，，，，∴，，解得：或（舍去）；综上所述得：当时，或．【点睛】本题考查了动点在平行四边形中产生的面积问题，求二次函数解析式，掌握“化动为静”是解题的关键．三、解答题3．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣2＋m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）．(1)求点P的坐标，并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？(2)若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围．【答案】(1)点P坐标为（m，﹣2），点P的运动轨迹为直线y＝﹣2(2)﹣2＜m＜或6﹣＜m＜8【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）根据抛物线顶点坐标可得抛物线平移规律，通过数形结合方法求解．【详解】（1）解：∵y＝x2﹣2mx﹣2+m2＝（x﹣m）2﹣2，∴点P坐标为（m，﹣2），点P的运动轨迹为直线y＝﹣2．（2）解：∵点B坐标为（6，2），∴点A坐标为（6，0），点C坐标为（0，2），随着m增大，抛物线自左向右移动，如图，当抛物线右侧经过点C时，将（0，2）代入y＝x2﹣2mx﹣2+m2可得2＝﹣2+m2，解得m＝2（舍）或m＝﹣2，m增大，图象右移过程中，当抛物线左侧经过原点时，0＝﹣2+m2，解得m＝﹣（舍）或m＝，∴﹣2＜m＜符合题意．当抛物线右侧经过A（6，0）时，0＝36﹣12m﹣2+m2，解得m＝6+（舍）或m＝6﹣，当抛物线左侧经过B（6，2）时，2＝36﹣12m﹣2+m2，解得m＝4（舍）或m＝8，∴6﹣＜m＜8符合题意．综上所述，﹣2＜m＜或6﹣＜m＜8．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，根据二次函数图象由参数变化而平移的规律，数形结合求解．4．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表．t（秒）00.40.811.21.6…s（米）00.0160.0640.10.1440.256…(1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式；(2)经过多少秒时，路程为0.225米？(3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度）【答案】(1)二次函数，(2)1.5秒(3)7秒【分析】（1）先根据一次函数和反比例函数的性质排除不是这两种函数，即符合二次函数关系，然后用待定系数法求解即可；（2）把代入解析式求解即可；（3）根据两球滚过的路程差为1.6米列方程求解即可．【详解】（1）∵，∴s与t不是一次函数关系．∵，∴s与t不是反比例函数关系，∴s与t是二次函数关系，设，把代入得，解得，∴；（2）把代入，得，解得（负值舍去），答∶经过1.5秒．（3）由题意得∶，解得．答：总时间为7秒．【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的应用，求出二次函数解析式是解答本题的关键．5．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）D（﹣2，3）;（3）B1的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．【分析】当x＝0时，当y＝0时求出A，B点在代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c，即可求解.取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，因为B、B′关于x轴对称，所以AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，设AB′：y＝kx﹣2，代入A点求出k值，则，再由直线BD和抛物线交于点D列方程组求出，再根据象限即可求解.因为△BOC绕点M逆时针旋转90°，所以∥x轴，∥y轴，分类讨论当B1、O1在抛物线上时和当B1、C1在抛物线上时两种情况.【详解】解：（1）y＝，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，∵B、B′关于x轴对称，∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，设AB′：y＝kx﹣2，代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣，则BD：y＝﹣x+2，解得，，∴D（﹣2，3）．（3）∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，∴B1O1∥x轴，O1C1∥y轴，当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得x＝﹣，则B1（﹣，）；当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，则B1（﹣3，2），∴B1的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．【点睛】本题主要考查二次函数综合题，灵活运用是关键.6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x﹣3；（2）当x＝时，四边形BOCP面积最大值为，此时点P（，）；（3）存在，点P的坐标为（，）或（，）或（0，3）．【分析】（1）对于y＝−x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3，令y＝−x2＋2x＋3＝0，解得x＝−1或3，进而求解；（2）由四边形BOCP面积＝S△OBC＋S△PHC＋S△PHB＝×OB•OC＋×PH×OB＝×3×3＋×3×（−x2＋2x＋3＋x−3）＝﹣x2+x+，即可求解；（3）分∠PBD为直角、∠PDB为直角两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），∵点D与点C关于x轴对称，故点D（0，﹣3），设直线BD的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BD的表达式为y＝x﹣3；（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），则四边形BOCP面积＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝×OB•OC+×PH×OB＝×3×3+×3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x+，∵﹣＜0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x＝时，四边形BOCP面积最大值为，此时点P（，）；（3）存在，理由：①当∠PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为（0，3）；②当∠PDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，故设直线PD的表达式为y＝﹣x+t，将点D的坐标代入上式得，﹣3＝0+t，解得t＝﹣3，故直线PD的表达式为y＝﹣x﹣3②，联立①②并解得：x＝，故点P的坐标为（，）或（，），综上，点P的坐标为（，）或（，）或（0，3）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．7．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．抛物线经过点与点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意可知点B、D的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；（2）先分别表示出点P、Q的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可知点B、D的坐标分别为（2，0），（0，2），将（2，0），（0，2）代入，得解得∴二次函数的表达式为；（2）∵正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，∴点P的横坐标为-m，点Q的横坐标为2-m，当x=-m时，，当x=2-m时，∵点纵坐标是点纵坐标的2倍，∴解得，（舍去）∴m的值为．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，正方形的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．8．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点M抛物线的顶点．（1）连接，求与对称轴的交点D坐标．（2）点是对称轴上的一个动点，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出点B、C的坐标和对称轴，从而可得点D的横坐标，再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，然后将点D的横坐标代入直线BC的函数解析式即可得其纵坐标；（2）先根据二次函数的对称性可得点C关于对称轴的对称点的坐标，然后根据两点之间线段最短、两点之间的距离公式求解即可得．【详解】（1）对于二次函数，当时，，解得或，则，当时，，则，二次函数化成顶点式为，则二次函数的对称轴为，点D为BC与二次函数的对称轴的交点，点D的横坐标为1，设直线BC的函数解析式为，将点代入得：，解得，则直线BC的函数解析式为，将代入得：，即点D的坐标为；（2）如图，作点C关于对称轴MN的对称点，连接，由二次函数的对称性得：点一定在此二次函数的图象上，其纵坐标与点C的纵坐标相同，且，则，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，设点的坐标为，二次函数的对称轴为，点C的坐标为，，解得，即，则最小值，故的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的对称性找出最小值是解题关键．9．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为C，点B为抛物线对称轴上一动点．（1）抛物线的函数表达式为________，抛物线的对称轴为________．（2）线段绕点B顺时针旋转得到，当点P落在抛物线上时，求出点B坐标．（3）当点B在x轴上时，M，N是抛物线上的两个动点，M在N的右侧，若以B，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M的横坐标．【答案】（1），直线；（2）；（3）M的横坐标为或【分析】（1）把代入函数解析式，求出a的值即可得函数关系式，再进行配方可得函数的对称轴；（2）设，过B作轴垂足为E，过点P作垂足为F，证明得，可得，代入抛物线解析式得方程，求解即可；（3）分两种情况，根据平行四边形的判定与性质求解即可．【详解】解：（1）把代入得，解得，a=-0.25∴抛物线的函数表达式为，由∴抛物线的对称轴为直线，故答案为：，直线；

（2）∵点B为抛物线对称轴上一动点∴设过B作轴垂足为E，过点P作垂足为F∵，∴，∵，∴∴∴，∵点P落在抛物线上，∴把代入，整理得得所以（3）①如图，当为边时，∵四边形是平行四边形，∴∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点C∴设点，则N坐标为∵点N在抛物线上，∴把代入得，解得②如图，当为对角线时，∵四边形是平行四边形，∴∵，∴，∴设点，则N坐标为∵点N在抛物线上，∴把代入得，解得所以点M的横坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，用S表示的面积，t表示移动的时间．(1)求秒时，的面积；(2)求S关于t的函数关系式，并求面积的最大值；(3)当t为何值时，PQ的距离最短，并求这个最短距离．【答案】(1)5cm2(2)，最大值cm2(3)当时，PQ的最小值为cm【分析】（1）根据三角形面积公式代入数据即可得出结论；（2）根据三角形面积公式代入数据，再利用二次函数的性质即可得出结论；（3）根据勾股定理及二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）解：，，，，．（2）解：，，最大值．（3）解：，当时，PQ的最小值为cm．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，根据已知求出，是解题的关键．11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），直角三角形；（2）；（3）M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．【详解】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理证出AC2+BC2=AB2，则△ABC是直角三角形；（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10﹣t，由已知条件证明Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；（3）分当BM=BA，AM=AB，MA=MB三种情况分类讨论，由两点间的距离公式计算即可，解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，∴A（5，0），B（0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，∵抛物线过点A（5，0），C（8，4），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣x，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1，当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，∴2t=10﹣t，∴t=，∴当运动时间为时，PA=QA；（3）存在，∵y=x2﹣x，∴抛物线的对称轴为x=，∵A（5，0），B（0，10），∴AB=5设点M（，m），①若BM=BA时，∴（）2+（m﹣10）2=125，∴m1=，m2=，∴M1（，），M2（，），②若AM=AB时，∴（）2+m2=125，∴m3=，m4=﹣，∴M3（，），M4（，﹣），③若MA=MB时，∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，∴m=5，∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，∴点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣），“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点．12．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）当m＝0时①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为；②点（，﹣）在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数y＝（x﹣1）2+2关于点P的相关函数y＝﹣（x+3）2﹣2，则m＝；（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mx﹣m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为6，求m的值．【答案】（1）①y＝x+1；②a＝；（2）-1；（3）m的值为或．【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝x﹣1旋转变换可得相关函数为y＝x+1；②将（，﹣）代入可得a的值，（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；（3）在相关函数中，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．【详解】解：（1）①∵一次函数y＝x﹣1，k=1,过（0，-1）∴绕点P（0，0）旋转180°后k不变，过（0，1）∴关于点P的相关函数为y＝x+1，故答案为：y＝x+1；②∵，∴y＝﹣ax2﹣ax+1关于点P（0，0）的相关函数为，∵点A（，﹣）在函数的图象上，∴，解得a＝，（2）∵函数y＝（x﹣1）2+2的顶点为（1，2），函数y＝﹣（x+3）2﹣2的顶点为（﹣3，﹣2），这两点关于中心对称，∴，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．（3）∵，∴关于点P（m，0）的相关函数为，①当，即m≤﹣2时，y有最大值是6，∴，∴，（不符合题意，舍去），②当时，即﹣2＜m≤4时，当时，y有最大值是6，∴∴，（不符合题意，舍去），③当，即m＞4时，当x＝m+2时，y有最大值是6，∴，∴（不符合题意，舍去），综上，m的值为或．【点睛】本题考查了二次函数的性质问题以及中心对称，（3）是本题的难点，需要分三类进行讨论，研究函数的变化轨迹，是很好的一道压轴问题．13．（2022秋·浙江·九年级期中）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点E的坐标为（，），S△ABF＝；（3）存在，P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．【详解】解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，．．．8分∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），∴S△ABF＝＝＝；（3）存在，∵y＝x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x=1，设P（1，m），分三种情况：①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，解得：m=8，∴P（1，8）；②点A为直角顶点时，由勾股定理得：∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4﹣1）2+（m﹣52，解得：m=﹣2，∴P（1，﹣2）；③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（1+1）2+m2=（4+1）2+52，解得：m=6或m=﹣1，∴P（1，6）或P（1，﹣1）综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．题型三：拱桥问题一、解答题1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为10m，一身高为1.8m的同学站在门内，在离门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高h．【答案】5m【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经过原点等等．【详解】解：如图建立平面直角坐标系设抛物线解析式为.由题意知B、C两点坐标分别为，把B、C两点坐标代入抛物线解析式得，解得．∴抛物线的解析式为．∴该大门的高h为5m．【点睛】本题考查了二次函数的应用，建立适当的直角坐标系，根据题目所给数据求点的坐标，再求抛物线解析式，从而解答题目的问题．2．（2023春·浙江衢州·九年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校联考阶段练习）横跨“信安湖”上的衢江大桥主桥采用V型腿钢构加拱桥组合结构形式，其中主拱线形呈抛物线状．图2是图1的示意图．已知拱线与桥面的两交点A，B之间的距离为，拱线的最高点距桥面，为两桥墩，与之间的距离为．(1)建立适当的平面直角坐标系，并求出拱线所在抛物线的解析式．(2)当桥墩露出水面部分高，此时水面与桥面的距离为多少米？【答案】(1)(2)【分析】（1）以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系，得出，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意得出点C的横坐标为，代入（1）中解析式求解，然后结合题意即可得出结果．【详解】（1）解：如图所示，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立直角坐标系，∵交点A，B之间的距离为，拱线的最高点距桥面，∴，设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）∵与之间的距离为．∴点C的横坐标为，当时，∵桥墩露出水面部分高，∴，∴水面与桥面的距离为．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，建立适当的直角坐标系确定解析式是解题关键．3．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．(1)求抛物线的函数表达式．(2)求支柱的长度．(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．【答案】(1)(2)5.5米(3)不能，理由见解析【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入求得a的值，即可得出函数关系式；（2）将代入函数关系式求得y的值，可求出支柱的长度；（3）将代入函数关系式求得y的值，再与进行比较即可．【详解】（1）设抛物线的函数表达式为．

把代入得：，解得．

抛物线的函数表达式为．·（2）当x=5时，．，∴（米）．（3）不能，理由如下：当时，．∴这艘货船不能顺利通过拱桥．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．4．（2023·浙江温州·统考模拟预测）如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？【答案】（1）；（2）不能并列通过两艘游轮；（3）12【详解】（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则A、B、F的坐标分别为（-50，0），（50，0），（0，20），设抛物线的解析式为y=ax2+20，将B的坐标代入求出a即可.（2）求出x=30时的函数值，即可判断函数值大于等于16可以通过，小于16不能通过.（3）求出x=±30、±20、±40的函数值，即可判断.解：（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.则A、B、F的坐标分别是（-50，0），（50，0），（0，20）．

设抛物线的解析式为y=ax2+20，将B的坐标代入得：.∴抛物线的表达式是y=+20．

（2）把x=28+2=30代入解析式，，

∵12.8＜16

∴不能并列通过两艘游轮.

（3）由（2）得，当x=±30时，y=12.8，又∵当x=±20时，＞13，∴水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱.∵当x=±40时，，∴没在水面下的立柱总长为2×[(13-7.2)+(13-12.8)]=12米.

“点睛”本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键.5．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点．设该抛物线函数表达式为，则，∴，∴该抛物线的函数表达式是．任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，∴悬挂点的纵坐标，∴悬挂点的纵坐标的最小值是．当时，，解得或，∴悬挂点的横坐标的取值范围是．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，若顶点一侧挂3盏灯笼，则，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，若顶点一侧挂4盏灯笼，则，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2023·浙江金华·统考一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．②用含t的代数式表示a．(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．①求改造后水柱达到的最大高度．②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．【答案】(1)①；②(2)①水柱达到的最大高度8米；②【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解；（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．．【详解】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为．当时，把代入函数表达式，得．第一象限内水柱的函数表达式为．②把代入，得得（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为．．把代入，得，．水柱达到的最大高度8米．②把代入，得．要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为．，，解得．．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．题型四：销售问题一、解答题1．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）某超市以20元/千克的价格购进一批绿色食品，在整个销售旺季的40天里，设第天的销售单价为元/千克，与满足如下关系：，(1)第几天时销售单价为24元/千克？(2)如图，设第天的销售量为千克，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若超市第天销售该绿色食品获得的利润为元，求关于的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)第35天销售单价为24元/千克；(2)，第20天的利润最大，最大利润是1250元【分析】（1）把代入，解方程即可求得；（2）根据图象求得与之间的关系，然后根据利润等于售价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答即可求出最大利润．【详解】（1）解：由题意知，解得：，第35天销售单价为24元/千克；（2）当时，设，把点代入得，解得，由题意可知：当时，，当时，，w取得最大值1000元；当时，，当时，，w取得最大值1250元；综上可得：，第20天的利润最大，最大利润是1250元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．2．（2023·浙江·九年级专题练习）某创意公司开发了一种成本为20元/个的新型智力开发玩具，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格（元/个）…30405060…销售量y（万个）…5432…(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．(2)在“六一节”来临之际，为使利润最大，该公司应将销售价格定为多少元？【答案】(1)y与x的解析式为(2)为使利润最大，该公司应将销售价格定为50元/个【分析】（1）根据表格中数据可判断是一次函数，利用待定系数法即可解决问题．（2）设公司获得利润为w元，根据每个玩具的利润×销售量=总利润列出函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）根据表格中数据可知，y与x是一次函数关系，设y与x的解析式为，则，解得，∴y与x的解析式为；（2）设公司获得利润为w元，则，∵，∴当时，w有最大值，最大值为90万元，答：为使利润最大，该公司应将销售价格定为50元/个．【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质，解决实际问题中的最值问题．3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．当每件涨价元，所得利润．(1)当每件降价元，试求所得利润关于的函数关系式．(2)是否存在值，使？若存在，求出的值，否则说明理由．【答案】(1)(2)不存在．理由见解析【分析】（1）根据“每件商品的利润×数量=总利润”列出函数关系式；（2）根据一元二次方程根的判别式或结合二次函数的最值进行分析说理．【详解】（1）；（2）方法1：不存在．理由：令，∴，即，∵，∴原方程无实数根，即不存在方法2：不存在．理由：令，∴，即∵方程无实数根∴即不存在．方法3：不存在．理由：∵的最大值为6125元，∴不存在．【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键．4．（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考阶段练习）某超市销售某种儿童玩具，每件进价为50元．根据市场调查发现：该玩具销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件．要求销售单价不得低于成本，且不高于110元．(1)求该儿童玩具每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数表达式；(2)设超市每月销售这种玩具可获利W（元），当销售单价x为多少时W最大？W最大值是多少？【答案】(1)(2)销售单价定为80元时，每月有最大利润4500元【分析】（1）利用该商品每月的销售量降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；；（2）设每月所获利润为W，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【详解】（1），，（2），，，此图象开口向下，当时，有最大值为4500，答：销售单价定为80元时，每月有最大利润4500元．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．5．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）“味香园”葡萄基地是宁波市最大的葡萄生产基地，“味香园”葡萄以品种多，质量好而声名远播．某“味香园”农户准备将“巨峰”和“美人指”两种葡萄装箱销售，推出了两种方案：2千克“巨峰”和3千克“美人指”装一箱按批发价每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”装一箱按批发价每箱92元．(1)求“巨峰”和“美人指”两种葡萄批发价每千克分别是多少元？(2)某经销商在“味香园”按批发价购入一批“巨峰”葡萄进行销售，经调查发现：当销售价为每千克24元进行销售时，每天能卖出80千克；销售单价每降价0.2元，每天能多卖出4千克．求销售价定为每千克多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)“巨峰”批发价每千克16元，“美人指”批发价每千克22元(2)销售价为每千克22元时，最大，且为720元【分析】（1）设“巨峰”批发价每千克x元，“美人指”批发价每千克y元，根据“2千克“巨峰”和3千克“美人指”装一箱按批发价每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”装一箱按批发价每箱92元”列出方程组，解之即可；（2）设销售价定为每千克a元，每天的利润为w元，列出函数表达式，根据二次函数的性质可得结果．【详解】（1）解：设“巨峰”批发价每千克x元，“美人指”批发价每千克y元，由题意可得：，解得：，∴“巨峰”批发价每千克16元，“美人指”批发价每千克22元；（2）设销售价定为每千克a元，每天的利润为w元，由题意可得：，∵，∴开口向上，∴当时，即销售价为每千克22元时，最大，且为720元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数表达式．6．（2023秋·浙江温州·九年级期末）红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．①填空：与之间的函数关系式是___________；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?【答案】(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①；②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．【详解】（1）解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；（2）解：①，答：y与x之间的函数解析式为：；②∵，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴，∴，∵时，y随x的增大而增大，∴当时，．．答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．7．（2023·浙江·九年级专题练习）某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）．在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）8090100110日销售量y（件）240220200180(1)若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______（不用写自变量x的取值范围）；(2)若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？(3)为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）【答案】(1)(2)应定价100元(3)135元【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出方程进行求解即可；（3）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，确定二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，由图表可知：在一次函数的图象上，则：，解得：，∴；（2）解：由题意，得：，解得，，∵公司尽可能多让利给顾客，∴应定价100元；（3）解：由题意，得，，∵，∴当时，w有最大值，最大值为8450．答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，正确的列出一次函数解析式，一元二次方程，二次函数的解析式，是解题的关键．8．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为元，请用含的代数式表示该玩具的销售量______．(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；方案②：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．获利比较最多投入资金最少投入资金方案①获利较多时______元．0元方案②获利较多时______元．______元．【答案】(1)(2)元(3)见解析【分析】（1）根据销售量由原销量－因价格上涨而减少的销量可得；（2）根据利润=销售量×每件的利润，即可解决问题，根据题意确定自变的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题；（3）设投入资金为元，先表示出两种方案的获取利润表达式，再分类讨论可得．【详解】（1）根据题意，得：销售单价为元时，销售量为；故答案为：；（2）设商场获得的利润为根据题意解得，时，元（3）设投入资金为元，则：；；当时，即，解得，此时获利相同；当时，即，解得，此时①获利多；当时，即，解得，此时②获利多．获利比较最多投入资金最少投入资金方案①获利较多时10000元．/方案②获利较多时11250元．10000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，搞清楚销售量与售价之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，注意自变量的取值范围．9．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量将减少20千克．(1)设每千克涨价为x元，每天的总盈利为y元．若涨价x为整数，则总盈利y最大值为多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价多少元？【答案】(1)6120(2)每千克应涨价10元或5元【分析】（1）根据等量关系“总利润=每千克利润×数量”，列出y与x之间的函数关系，然后再利用二次函数的性质解答即可；（2）把代入（1）的解析式，根据题意即可解答．【详解】（1）解：设每千克涨价x元，获利y元则∵∴抛物线开口向下，x为整数，∴当或8时，y最大值为．（2）解：当时，解得：．所以每千克应涨价10元或5元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解答本题的关键．10．（2023·浙江·九年级专题练习）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？(3)该店主从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，同时最大限度的让利于顾客，求销售单价x应定为多少？【答案】(1)(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元(3)捐款后每天剩余利润不低于元，为最大让利，销售单价为50元【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；（3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可．【详解】（1）解：根据题意得：，∴与之间的函数关系式为；（2）根据题意得：，∵，∴当时，随的增大而增大，∵，∴当时，有最大值，最大值为，∴将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元；（3）依题意剩余利润为元，∵捐款后每天剩余利润不低于元，∵，随x增大而增大，由得或，∴捐款后每天剩余利润不低于元，，销售价最少50元．答：捐款后每天剩余利润不低于元，为最大让利，销售单价为50元．【点睛】本题考查列一次函数关系式，二次函数应用，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．11．（2023·浙江宁波·模拟预测）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（元/件）（件）1000095009000(1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值．【答案】(1)(2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元(3)3，4，5，6【分析】（1）用待定系数法即可求解即可；（2）由，根据函数的性质即可求解；（3）根据题意得，，则对称轴为直线，进而求解．【详解】（1）解：设和的函数表达式为，则，解得，故和的函数表达式为；（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，由题意得，解得，则，∵，∴当时，随的增大而增大，∵，x为正整数，∴当时，有最大值，最大值为，答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元；（3）根据题意得，，∴对称轴为直线，∵，∴当时，随的增大而增大，对称轴，大于等于，则对称轴大于等于，由于取整数，实际上是二次函数的离散整数点，取，，时利润一直增大，只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于就可以了，故，解得，∵，∴，整数的值为3，4，5，6．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式等知识，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．12．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如下表所示：第x天1234567…销售量y（件）220240260280300320340…为回馈项客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，当时，，当时，．已知该纪念品成本价为20元/件．(1)求y关于x的函数表达式，及z与x之间的函数关系式；(2)求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第10天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．【答案】(1)，；(2)这28天中第15天销售利润最大，最大利润为元；(3)第20天时，利润最大值为元时，．【分析】（1）由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，而销售单价z（元）与第x天（，且x为整数）成一次函数关系，再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）由总利润等于销售量乘以每件产品的利润建立二次函数的关系式，再利用二次函数的性质解得即可；（3）由题意可得：第10天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，设此时利润为：元，再建立二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案，当最大值为时，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，设，把，，，代入可得：，解得：，∴y关于x的函数表达式为；设，当时，，当时，，∴，解得：，∴z与x之间的函数关系式为：，（2）设总利润为元，则；当时，取得最大值，所以，第15天利润最大，最大值为：（元）．（3）由题意可得：第10天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，设此时利润为：元，则当又∵且，∴随x的增大而减小，当时，当最大值为时，∴，解得：，综上：第20天时，利润最大值为元时，．【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，理解题意，建立函数关系式是解本题的关键．题型五：投球问题一、解答题1．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点的正前方处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？【答案】（1）能射中球门；（2）他至少后退，才能阻止球员甲的射门．【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-，则抛物线是y=-（x-4）2+3，当x=0时，y=-×16+3=3-=＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=-（2-4）2+3=＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=-（x