离散型随机变量的方差（1）课件高二下学期数学人教A版选择性

离散型随机变量的方差（1）

复习引入1.离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…XnPp1p2…pi…Pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn加权平均数平均水平2.两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝____.p3.离散型随机变量的均值的性质如果X是一个随机变量，则E(aX＋b)＝__________.aE(X)＋b一组数据是x1，x2，…，xn，用

表示这组数据的平均数，这组数据的方差为s2＝

=

，标准差为s＝

.4.方差、标准差的定义说明：标准差和方差刻画了数据的

程度或

幅度．标准差（或方差）越大，数据的离散程度越

；标准差（或方差）越小，数据的离散程度越

．问题：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.如何评价这两名同学的射击水平?由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.探究：离散型随机变量的方差X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03

,

.通过计算可得，为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.0671098P0.10.20.30.4X0671098P0.10.20.30.4Y比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn设离散型随机变量X的分布列如下表所示.随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，‧‧‧，(xn－E(X))2.Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn设离散型随机变量X的分布列如下表所示.随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，‧‧‧，(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均（即偏差平方的平均值），来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋‧‧‧＋(xn－E(X))2pn.我们把随机变量X的这个平均值称为随机变量X的方差，用D(X)表示.一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称离散型随机变量的方差：为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).归纳总结随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.问题：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.如何评价这两名同学的射击水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03解：∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.解：随机变量X的分布列为例题课本69页在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论：证明：解法2：随机变量X的分布列为说明:方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.课本69页求离散型随机变量X的方差的步骤反思归纳练习则D(X)等于（

）1.已知随机变量X的分布列如下表：课本70页随堂检测A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2解析：X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的均值E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.所以选项B的情形对应样本的标准差最大.现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（

）A.甲 B.乙

C.甲、乙均可 D.无法确定2.由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4解析：∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，故派甲运动员参加较好.4.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示.降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的期望是

，工期延误天数Y的方差为_____.解析：由已知条件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8.5.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).解：这3张卡片上的数字之和为ξ，ξ的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上