《极限思想在中学数学中的应用研究》9900字（论文）

极限思想在中学数学中的应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u1．绪论 ．绪论1．1研究背景在数学学习过程中，极限思想既是一种解决数学问题的基础思想，也是解决问题十分有效的思维方式，在数学学习中，运用这种思维方式在解决问题中的重要程度可见一斑．众所周知的刘徽在计算圆周率时使用的割圆术，将圆分割成正多边形，进行多次分割，分割越来越细，当正多边形的边越来越多，则其形状和面积都会越来越近似于圆，得到的数据也就越准确．这就是最早的、最典型、最原始的极限概念．从古到今在数学的发展历程中，极限思想的形成与发展可谓是源远流长．回想一下在小学的时候我们就在无意识的接触到了极限思想，当我们开始学习最简单的图形—点和线时，学习了直线和射线的概念．我们了解到线段的两端向外无限延伸得到的就是数学上的直线，把线段一端无限延长形成的图形为射线．在学习线段、直线、射线时认识了“无限延长”这就把我们的认知从有限过渡到了无限．还有在学习小数的除法时，有时能够除尽，有时也遇到除不尽的情况．就比如小学最简单的十以内的除法，因为除不尽所以商的小数部分有无穷多个，这就能使学生体会到数学中的无限．再后来通过初中对有理数和无理数的学习，更加具体有效的让我们理解了有限和无限之间的关系．进入高中阶段，我们在理解极限的基础上不断的运用极限思想解决数学问题．例如：在描述这个集合时，由于集合里面的元素个数是无限的我们不能用列举法一一把所有元素列举出来，所以我们运用描述法来表示这个集合．关于等差数列、等比数列等运用中，在函数、立体几何、平面解析几何等也运用了极限思想．由此可知“无限”“极限思想”运用在高中数学学习中无处不在．本文第四章对极限思想在中学数学的应用进行了具体的描述，希望这能对学生学习极限有所帮助．在进入大学后很多专业都有关于极限思想的学习，并且是大学学习非常重要的内容．其实在我们学习过程中，能够发现很多知识点在学过后很容易忘记．高中学习的内容在高考完几个月就会忘记，但是在高中所学习的解题方式或思想方法却很难忘记．而极限思想就是一种对学习有极大影响的思维方式，在我们学习数学过程中尤为重要．所以当代教育工作者在教学过程中更应该重视学生思维的形成，使其在学习的过程中体会并灵活运用逻辑思维能力，并运用到生活中去，进而来帮助学生更简单的学习数学．1．2研究的意义1．2．1理论意义“让数学变成一门科学，让数学在理论上和实践运用上都结合并且发展到科学领域，作为严谨的、深度的、富有逻辑性的理念，贯穿到完整的学科中去，如果一种思想一致持续运用，那么说明已经去其糟粕，是科学锤炼后的精华．不难发现，我们的数学学科中如果缺少了极限思想，几乎就是一片空白了．我们应该明白极限的思想对数学的重要性，它不可取代，脱离了这种思想的数学近于一无所有．”REF_Ref16522\r\h[1]我们可以看到极限思想在数学思维中不可或缺的重要位置．在现实教学过程中进行有意义的数学思想教学不仅可以强化学生的学习能动性，还能提高学生对数学学习的热情，使得数学教育效率更高，甚至有事半功倍的效果．本文通过分析极限思想在中学的数学教育中的运用情况，让人们体会到极限思想在中学数学中的重要性．从而改变人们对极限思想的认识，使教师在教学中更加重视极限思想的培养，进而来帮助学生更充分的理解极限思想和运用极限思想．1．2．2现实意义从教育教学的角度来讲给教师更好的进行数学教学活动提供参考．数学课程不仅要符合课程标准的要求，还要遵循青少年身心发展的规律．老师在引导学生学习时，应正确认识老师和学生的关系和教师的职责，老师是学习的引路人，不可越俎代庖，采用不恰当的教育方式导致学生的积极性降低．教育者要从学生已经掌握的经知识出发，让受教育亲自体验知识的发生过程，抓住重点，自主构建属于学生认知结构所能接受的教学模式．本文通过探究中学数学中极限思想的应用，初步了解极限思想给数学带来的更多解题思路，发现学生在中学学习过程中存在的极限思想，给教师更好的进行极限思想的教学提供参考．从科学研究的角度来讲极限思想是微积分建立的基础，是数学家研究微积分的基本手段．本文通过探究中学数学中关于极限思想的教育和运用，如在函数中的应用、在三角函数中的应用、以及几何题目等方面的运用，从而论证该思想在学习数学中的重要性，由此来说明在教学中培养学生的极限思想是非常重要的．REF_Ref16633\r\h[2]1．3极限思想的研究现状在本课题的研究中，陈中华认为极限思想是一种使学生能简单、快速解决数学问题的思想方法，在学生数学学习中具有重要的作用，同时在数学发展史中也有重要地位．他主要介绍了，在数学解题时我们应该如何运用极限思想，和极限思想在数学各方面的应用．陶振乾教授则是从数学文化的角度来探究极限概念的形成过程，分析了在高中课程中是如何设置极限这一内容的，还对极限思想蕴涵的文化性进行了剖析，给现代教育教学提出了很多优秀的建议．这些建议给中学数学教师和学生带来了帮助．在西方国家，极限概念的形成时间比较早，经历了一系列不同阶段的摸索与探析，发展成为一套严谨、有规格的形式体系，并且设置了特有的符号，演化出成熟的使用规范．张雪通过类比法来探究运用常规方法解题和运用极限思想解题之间的区别，然后再利用极限思想解决函数、数列、不等式等问题，让人们感受运用极限思想解题的简单、快捷．王智勇、王春秀为了能完成培养专门技术性人才的计划，花费相当精力专门研究了极限思想的定义及其特点、运用和相关评价．他们的研究涵盖了从古代刘徽的割圆术到现在学生的数学学习及科研项目中关于该思想的了解和应用，探究出了学生在数学问题的提出和思维过程中如何运用极限思想的路线图．2．极限思想的发展历程2．1极限思想的萌芽极限思想的由来类似于多数事物，主要是来自人类在历史进程中的社会和生活经验，由于生活中出现许多无穷的事物而产生的．溯其根源，大概能追溯到古希腊的“穷竭法”，这是现有资料中关于极限思想的最早体现．经研究发下，极限思想在我国历史中最早期出现于《庄子·天下篇》中惠施的“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”REF_Ref16754\r\h[3]每日取木棒的一半，随着时间的增加，木棒的剩余量越接近零，但又不是零的极限状态就是极限思想的初步形成．从实际应用的角度出发，我国把极限思想真正应用到实践中去的是数学家刘徽，他在古代落后的数学环境下准确地计算出了圆周率．虽然人们当时对极限概念有一定的理解，但是缺少“无穷小量”的概念，所以不能用数学语言描述极限．因为当时的社会生产力水平低和经济状况落后等原因．极限思想并没有被作为一门单独学科来研究．从现在表示极限的符号“”、“”来看，“无穷”不仅是组成极限的一部分，还是理解极限非常重要的途径．很好的理解无穷是更好的理解极限的前提．2．2极限思想的发展随着时代的不断进步，在人们对极限思想的初步认识下微积分产生了．到了17世纪，由于极限思想的不断发展人们发现了许多问题．其中有两类关于极限的问题，但由于极限概念的不完善导致没有解答．接着就来到了牛顿时代，在解决速度和切线问题时．由于极限概念仅限于直观描述而没有具体准确的极限定义，导致牛顿在描述无穷小量这个问题时含糊不清有时是零有时不是零．由于牛顿不确切的描述引起数学届的争论，从而引发出第二次数学危机．事实上，这次危机出现的根本成因应该为“没有准确的极限概念和对极限的模糊不清．”，所以建立清楚的极限概念和牢固的极限理论基础是非常必要的．到18世纪已经建立了初步的、粗糙的极限理论．数学家达朗贝尔在1754年提出“理性的”极限概念，提倡用理性的极限思想代替人们当时使用的不准确的极限理论．但他本人并没有提供这样的理论．到了19世纪数学家终于给出了极限相对准确的定义，而这个数学家就是柯西．它提出了在数和函数上，当一个变量的值越接近某一定值时，这个变量与这一定值的差趋向于无穷小，那么就说这一定值是该函数的极限值的变量极限．在这个研究成果的基础上，柯西把一个极限为零这个变量值定义为无穷小，把这两个概念巧妙结合并使用．由于他对无穷小量的定义，使得极限的概念明确化起来．在此基础上，柯西用它对导数、连续、微分、定积分等概念进行了明确．尽管柯西使一直粗糙的极限定义有了开端，不过他在定义极限时所运用的语言并不都是精确的数学语言，例如定义中有的“要多小有多小”和“无限趋近”等．再后来由于人们对极限的不断研究，发现极限理论想要获得更加精确的定义那就需要实数理论的同步发展．REF_Ref16953\r\h[4]最后，德国数学家魏尔斯特拉斯对极限给出了严格的定义，他不仅仅打造出实数系的理论，还研究设计出独特的“”语言．这种语言对极限做出了详细精准的定义，颠覆了过去对于该定义一直模糊的状态，解决“贝克莱悖论”问题．2．3极限思想的形成极限思想的形成应该是从柯西给出极限比较精确的定义开始的，在这之前的极限都是没有准确的表述的．接下来真正对极限进行准确的描述的应该是魏尔斯特拉斯．他的“”语言让极限从动态观点过渡到静态观点，在解决问题的时候能通过和之间的关系实现极限概念的“算术化”．其中他提出了具体的数列极限定义和函数极限概念，使之前的“无穷小”、“要多小有多小”等模糊的说法可以用具体的数学语言描述出来．以此为前提，魏尔斯特拉斯还通过“”语言对一系列重要的数学概念进行了明确定义，如连续函数、导数、微积分等等，他彻底改变了过往诸多数学概念不清晰的状况，使得概念明确，使用便利，在数学发展史上发挥着重要作用．2．4极限思想的探索虽然“”语言解决了人们关注的世纪性问题，并给出了严密的极限概念，但作为微积分的基础其复杂的逻辑机构让微积分入门成了一个难题．科技的高速发展带来了许多研究领域的突破性进步．在极限的研究领域也涌现出了许多专家学者，其中最值得提的应该是张景中院士．他提出了和语言同样严格语言，这种语言更容易被初学者掌握．语言的提出让学生学习极限思想变得更加简单，也使学习微积分变得更加容易．数列极限定义：若存在恒正递增无界数列，使得对一切，总有，则．函数极限定义：设函数在的空心邻域有定义，是指存在零的某右邻域内的恒正递减无界函数，

使得当时，总有．REF_Ref16999\r\h[5]其实在学习这一极限概念时，应该先理解无穷小量和无限的概念，再学习严格的“”语言，最后再学习严格化的基础实数理论．在中学学习中使用张景中院士给出的关于导数的定义来进行求极值更为简单．3．概念及简介3．1极限基本概念3．1．1应用数列的极限定义在中学数学教材中，用描述的方法给出了无穷数列的极限概念．其实数列极限的定义还可以用更加明确的数学语言表达．定义：数称为数列的极限，对于任意正数，不论她怎么小，总存在着数列的这样一个项数，当为大于的一切值时，不等式成立．“数是数列的极限”之句话，可用记号写出：或者借助不等式写成：当时，．3．1．2应用函数的极限定义对于一般函数，假设建设它定义在上，除了如同数列一样，可以考查当自变量时，函数值的变化趋势外，还可以考查自变量(在函数的定义域内取值，为一实数）时，函数值的变化趋势．若对于任意给定的正数，不论它怎样小，总存在着一个正数，当时，不等式成立，则称常数为函数当时的极限，记为这里我们用“”代替在数列中用到的“”．“”表示自变量的值可以大于任何正数．同样的，对于任意给定的正数，不论它怎样小，总存在正数，当时，不等式成立，则称常数为函数当时的极限，记为“”表示自变量的值可以小于任意负数．如果有,和，那么可以说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作也可以表示为“”时，“”．由上述可知，函数的极限是与自变量趋近那一边有关．也就是说函数的极限由自变量趋近那一边决定．REF_Ref17045\r\h[6]3．2数学极限思想数学极限思想是指通过构造对应的函数或对应的数列，当自变量或项数趋向于正无穷或负无穷或某一定值时，使通项或函数项在不断变化中趋向于某固定常量，用这样的思想思考和研究解决数学问题被叫做极限思想．数学中极限思想是指在处理问题时用发展的眼光来看待问题，使我们的思想从有限过渡到无限，这是数学思想方式一个质的飞跃，这种思想方式的转变在我们解决问题时具有非常重要的指导意义．在现实生活中，当我们遇到复杂、困难的数学问题时，我们一般会运用常规的思维方式来进行解题，但运用常规方法解题不仅速度慢还很容易出错．这个时候我们就可以借助数学极限思想方法，试着改变研究条件或改变研究条件的趋近方式，即在解决问题的过程中把目光进行发散，不能把关注点放在一个地方．比如将关注一个点，变换到关注一个区间上，对区间进行研究时就可以构造函数了，构造函数后再回到原来关注的点上就可以求得极限．在解决问题时运用发展的、动态的思想来研究和处理问题，能使我们更快的找到解题办法，从而帮助我们更简单快速的解题．4．极限思想在中学数学中的应用4．1极限思想在函数中的应用在中学数学学习的过程函数几乎无处不在．在这个阶段需要掌握的主要是正比例函数以及反比例函数等，可以用传统的解析列式表达或选择运用图像．由于这些都是比较直观的表达形式所以更加方便初中生对知识点掌握．到了高中就是运用函数理念进行拔高，将其运用到处理曲线、数列、不等式等题目的解析中，涉及函数的问题是整个数学逻辑思维学习中的大块头，需要重点把握．在数学的研究领域，本质上涵盖了两个方面的类别：一是单个集合之间的关系，二是集合与集合之间．所谓函数体现的就是集合与集合之间的关系。自变量和因变量之间相互影响是函数反应出来的关系，这是一种重要的方法论．所以，函数的重要性毋庸置疑。其实，在高等数学中也是继续延续函数思维的学习和掌握深度．因此，在一开始的数学思维培养中，老师有必要从思维上强化理解，从函数出发引导学生加深认识，锻炼解决函数的思路．例题一：研究函数的图像．分析：函数的定义域为．当时，在时，．当时，．当时，在时，，当时，．由此可以做出函数的图像，如图1图1例题二：函数的在定义域上，则其值域为（）解析：当时，有时，．当时，．则当的定义域在时值域的范围在从上，而可排除．故选择．4．2极限思想在数列中的应用我们的在学习数列时出现了有穷极限和无穷极限，遇到数列呈现收敛趋势时，趋向无穷大，且邻近某个常数时，极限的方法就可以发挥作用，引导出清晰的思路．在中学数学学习中，很多数列问题都必须用极限思想来解决，由于数列中出现的无穷、无限不能用其他方法解决，下面我们就一起来看一下例题：例题三：求数列的数列和解析：，，所以当时，分母也趋向于无穷大．这时就趋近于，取得的极限为．那．这就是数列问题中的极限思想．例题四：数列，已知且数列为等比数列，求常数．分析：本题是关于无穷等比数列的题，可以根据等比数列的通项公式，运用极限思想解题．第一步：设数列的公比为．第二步：运用等比数列的基本定义对公比两边求极限，说明等比数列的极限存在．最后对进行求解．解：设公比为，则两端同时取极限得：当时，当时，此时即得整理得，可得解得或．4．3极限思想在解析几何中的应用进入高中的学习后曲线出现在我们视野中，如抛物线、椭圆、双曲线等，随着曲线的出现也增加了高中数学学习的难度．但在解题时如果能灵活的运用极限思想，那就能更加简便快捷的解题．例题五：已知抛物线的，焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段长为m，的长为n，则等于（）图2解析：本题主要是关于变与不变的问题，在看到题目后我们一般的解题方法是探求的关系，但运用这样的解题方法不仅过程繁琐，计算也非常复杂．遇到此类题目时如果能充分运用运动和变化的关系，对的极限的具体位置进行探究，这样可以简化解题方法．我们发现可以顺时针或逆时针旋转，当绕点顺时针旋转时可以与轴重合，当绕点逆时针反方向旋转时也能达到相同的效果．当顺时针方向旋转时与重合，点的运行轨迹到达无穷远，相应地，逆时针旋转也能获得相同结果．这两种情况所求得的答案都是一样的，虽然这时的线段不能称它为抛物线的弦，但它是弦的一种极限情形．由顺时针方向旋转得，而，所以，故选．在面对这类客观选择题时，考察了学生思维的灵敏度，同时这样的试题也体现了选拔性．例题六：是椭圆的两个焦点，点是椭圆上的一个动点，当为钝角时，求点横坐标的取值范围？解析：这道题主要是先判断题目，题目中求为钝角时点的取值，那么我们知道当时为钝角．这时就要对点的轨迹进行分析，求出时坐标和会在什么范围．这里需要注意当趋向于长轴端点时，接近．当点越靠近短轴，那么为钝角存在，这时就可以说明点在短轴附近．那么我们要求当时，来得出点横坐标的取值范围．我们知道直径对的圆周角等于．那我们就可以设立相应的方程，求出椭圆和圆的交点，该交点就是进而得到点横坐标的取值范围．由圆的直径为，列出圆和椭圆的相关方程，得．因此得．在高中数学学习中对解析几何范围求解问题是经常出现的，由于它有一定的难度，所以解题时总是要花费很长时间．如果能应用极限思维，那问题就能更快、更简单的解决．4．4极限思想在三角函数中的应用在高中的学习中，三角函数进入了我们的视野．其实三角函数就是根据角的变化而变化的，在三角函数的解题思路中，极限思想可以体现在大家能够参考角的取值范围其极端状态来简化思路．例题七：对任何都有解:由于取值范围是，且由于的数值变化有连续性，可知对应的三角函数值的变化也有连续性．因为和时选择均有定义，可选择极限思想观察变化的极端状态：和．当时，则，排除．当时，有，排除，故选．例题八：若，则解析：由题目我们知道了角的四个取值范围，这时我们就可以运用排除法．对四个选项一一进行分析，但角的取值都是不定值．所求的角非特殊角，可将等式两边均看作连续的函数，采纳极限思想，对函数求极限然后进行比较．当时，，此时有．当时，，此时有．当时，，此时有．当时，，此时有．当时，，此时有．因此在区间两函数大小从大于变为小于，所以要等式成立，则的取值在上，故选．4．5极限思想在不等式中的应用我们使用的中学课本中，不等式的相关内容过于笼统，远远不能满足该部分内容作为数学体系中的重点的要求．解决不等式的方法多种多样，常见的有综合法、放缩法、等．但传统的方法无法做到解决所有难题，这是我们可以选择用极限思想考虑做题思路。运用极限思想可以使问题变得更加简单，方便学生准确快速的解题．下面我们就来看看极限思想在不等式中是如何运用的．例题九：设函数．若时，，求的取值范围．解:对所有的都成立，可得:(1)当时，(2)当时，，设．把问题转化为求的最小值或下确界．，由一阶导知道当时取得最小值，可得的最小值为，于是可知．本题的难点应该是如何将的取值转换成一个函数来求解．例题十：设函数，则满足的解集是解析：这题主要是对不等式方程组求解．当选项中出现区间，那我们就可以运用排除法利用极限思想来解题．把题目中的选项一一带入不等式，看一下在未知数取何值时不等式成立，并出现临界．首先看题目选项中有，将这些数一一带入就可以求出的范围．当时，不等式没有意义，所以排除．当时，属于区间，所以得到不满足临界，所以可以排除．当时，属于区间，所以得到满足临界，所以应该选．5．极限思想的意义与作用极限思想反应的是一种变化趋势。它运用的是从数量关系或空间形式上出发，尝试量化无限变化里的某一变量．这种思想及时解题思维，又是学习数学整个逻辑体系中的应用手段．另外，极限思想的发现和使用具有创新性和颠覆性，可以推测和设定命题并加以论证．首先，从一定程度上可以说，没有极限就没有微积分．微积分学创立的前提是极限理论的发展与成熟运用；第二，极限思想这种方法运用的范围十分广泛，不仅仅局限于数学体系中的众多解题方法中，还广泛存在和应用于概率极限理论等相关的数学分支和其他学科中．第二，在现实生活中的赌博等游戏活动应用极广的就是概率论．假设在概率论中缺少了极限概念的应用，则其真正的含义和本质就没有办法反应出来。当今概率论广泛应用在各行各业，涉猎到各个不同的领域，该理论设立的前提是因随机变量序列的弱收敛等相关基础理论，这与极限思想的发展与运用紧密关联，或者说，脱离了极限思想，概率论的发展就不可能到达现有的成绩，更不能运用到各领域发挥着至关重要的作用．第三，极限思想的运用萌生出了诸多新的数学科学领域．具体地看，如现代数学科学家对于突变、分形、有限元法的解题方法等，都反应出了没有规律的前提下存在的极限性数学特征，这种可以广泛应用的无限逼近思想的应用在数学领域和其他相关领域的应用与发展都得到了相关证实．最后，通过研究发现极限思想在解决数学问题中发挥的作用和不可代替的地位，我们应当明白运用该方法的重要价值，以及学习并熟练掌握和运用它的必要性。在未来发展中，极限发展将持续渗透到其他行业和领域，逐渐发挥更大的效能，其在数学发展史上将发挥越来越重要的作用．REF_Ref16999\r\h[5]参考文献陈中华．极限与极限思想在中学数学中的应用[D]．海南师范大学硕士学位论文．2014：1-40．许艳红．高中生对极限概念理解的研究[D]东北师范大学硕士学位论文．2015．王艳妮．中学理科极限思想的教学与应用[D]．西北大学硕士学位论文．2014．顾沛．数学文化[M]．5、2版．北京：高等教育出版社．2017．11，3（1）：122-133．吴振英，陈湛本．论极限的思想方法[J]．广州大学学报(自然科学版)，2003(05):410-413．邵一丹．高中数